Tschirnhausen Küpü
İn geometrisi , Tschirnhausen kübik bir bir cebirsel eğri kutupsal denklem ile tanımlanan
r=-dekuru3(θ/3).{\ displaystyle r = a \ sec ^ {3} (\ theta / 3).}
Tarih
Bu eğri, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus , Guillaume de l'Hôpital ve Eugène Catalan tarafından incelenmiştir . "Tschirnhausen cubic" adı ilk kez 1900 yılında Raymond Clare Archibald tarafından zikredilse de, bazen "Hospital cubic" veya "Catalan trisectrix" olarak biliniyor.
Diğer denklemler
Let t (kahve renkli = θ / 3) . Göre De Moivre formülü , bu verir:
x=-deçünkü(θ)kuru3(θ3)=-de[çünkü3(θ3)-3çünkü(θ3)günah2(θ3)]kuru3(θ3)=-de[1-3bronzlaşmak2(θ3)]=-de(1-3t2),{\ displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) = a \ sol [\ cos ^ {3} \ sol ({ \ frac {\ theta} {3}} \ sağ) -3 \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [1-3 \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) \ sağ] = a (1-3t ^ {2}),}![{\ displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) = a \ sol [\ cos ^ {3} \ sol ({ \ frac {\ theta} {3}} \ sağ) -3 \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [1-3 \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) \ sağ] = a (1-3t ^ {2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c78d425f87ac9e1a5b902b529b8bc9628046866)
y=-degünah(θ)kuru3(θ3)=-de[3çünkü2(θ3)günah(θ3)-günah3(θ3)]kuru3(θ3)=-de[3bronzlaşmak(θ3)-bronzlaşmak3(θ3)]=-det(3-t2).{\ displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ sol ({\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) = a \ sol [3 \ cos ^ {2} \ sol ( {\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ tan \ left ({\ frac {\ theta } {3}} \ sağ) - \ tan ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) \ sağ] = (3-t ^ {2}).}![{\ displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ sol ({\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) = a \ sol [3 \ cos ^ {2} \ sol ( {\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ tan \ left ({\ frac {\ theta } {3}} \ sağ) - \ tan ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ sağ) \ sağ] = (3-t ^ {2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e810e64889f4c5d96bbc2b3274ea93736f9a47b)
bu parametrik bir denklem verir . T parametresi kolayca ortadan kaldırılabilir, bu da Kartezyen denklemini verir
27-dey2=(-de-x)(8-de+x)2{\ displaystyle 27ay ^ {2} = (ax) (8a + x) ^ {2}}
.
Eğri yatay olarak 8 a ile çevrilirse , denklemler olur
x=3-de(3-t2) , y=-det(3-t2){\ displaystyle x = 3a (3-t ^ {2}) \, \ y = (3-t ^ {2})}
veya
x3=9-de(x2-3y2){\ displaystyle x ^ {3} = 9a \ sol (x ^ {2} -3y ^ {2} \ sağ)}
,
kutupsal formu veren
r=9-dekuru(θ)(1-3bronzlaşmak2θ){\ Displaystyle r = 9a \ sec (\ teta) \ sol (1-3 \ tan ^ {2} \ theta \ sağ)}
.
Özellikleri
Kostik
Parabol kostiklere ışık kaynağı sonsuzda iken, Tschirnhausen üçüncü dereceli denklemlerin bulunmaktadır. Kaynağın yönü parabolün ekseni olduğunda, parabolün odak noktası olan bir noktaya indirgenir.
Ayrıca görün
İlgili Makaleler