Kostik

Bir kostik , optik ve matematikte , bir yüzey veya bir eğri üzerinde yansıma veya kırılmaya maruz kalan ışık ışınlarının zarfını belirtir .

Daha spesifik olarak, ışık ışınları sınırlı bir mesafedeki bir noktadan çıktığında meşale kostiği ve ışık kaynağı sonsuz bir uzaklıktaysa güneş kostiği söz konusudur.

Yansıtıcı bir kostik aynı zamanda katakustik olarak adlandırılırken , kırılma kostiği diakustik olarak adlandırılır .

In astronomi , kostiklere ile ilişkili yerçekimi seraplar .

Etimoloji ve tarih

Alman fizikçi Ehrenfried Walther von Tschirnhaus , hayatını geometrik optiğe ve astronomide kullanılmak üzere mercek ve ayna üretimine adadı . Bu bağlamda 1682'de kostikleri yansıtma yoluyla inceledi . O Yunanca kelime referans dönem "kostikle" seçtiği kaustikos gelen katein (yakmak).

Ayrıca, cebirsel eğrilerin kostiklerinin düzeltilebilir olduğunu kanıtladı : uzunlukları , integral hesapla belirli bir aralıkta analitik olarak hesaplanabilir .

Kostik kavramı ayrıca Jacques Bernoulli , Marquis de l'Hôpital ve La Hire tarafından da incelenmiştir .

Antikaustik veya ikincil kostik

Bir kostik oluşturmak için, antikustik veya ikincil kostik adı verilen yardımcı bir eğri kullanmak faydalı olabilir. Öyle involüt kostik. Başka bir deyişle, kostik olduğunu evolüt demek ki onun ikincil kostik ait odağını ait eğrilik merkezleri ikincil kostik.

Bir S kaynağı için bir eğrinin yansıması ile kostik durumunda , ikincil kostik, S'ye göre eğrinin ortotomikidir , yani eğriye teğetlere göre S'nin simetrik lokusudur . $({\ mathcal C})$ $({\ mathcal C})$

Gösteri

M bir noktadır , s bir kavisli absis eğrisinin için M birim vektör tanjant , N doğrudan dik birim vektör T M teğet göre S simetrik W, eğri tarif W ile Normal çizgilerin zarfı ve yakıcı olanın yansıyan ışınların zarfı olma evrimi , iki eğrinin çakıştığını göstermek için, W'daki normalin M'deki yansıyan ışın ile çakıştığını göstermek için yeterlidir , ya da yansıyan ışının W için teğete ortogonal olmasına rağmen . Şimdi, skaler ürünü ifade ederek: $({\ mathcal C})$ ${\ displaystyle T = {\ frac {dM} {ds}}}$ $({\ mathcal C})$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {O}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {O}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {O}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {O}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {O}})}$ ${\ displaystyle (\ dört | \ dört)}$

Yansıyan ışın, vektör tarafından yönlendirilir ${\ displaystyle \ mathbf {MW} = (\ mathbf {MS} | T) T - (\ mathbf {MS} | N) N}$
Bir tanjant vektör W olan . Bu vektör hesaplamak için, biz K eğriliği ise, o hatırlamak S. göre önceki ilişkiyi türetmek M'de, elimizdeki ve . Üstelik . Elde ederiz : ${\ mathcal O}$ ${\ displaystyle {\ frac {dW} {ds}}}$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle {\ frac {dT} {ds}} = KN}$ ${\ displaystyle {\ frac {dN} {ds}} = - KT}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {MS}} {ds}} = - {\ frac {dM} {ds}} = - T}$

{\ displaystyle {\ frac {dW} {ds}} = {\ frac {dM} {ds}} + {\ frac {d \ mathbf {MW}} {ds}} = T + (- T | T) T + (\ mathbf {MS} | KN) T + (\ mathbf {MS} | T) KN + (T | N) N + (\ mathbf {MS} | KT) N + (\ mathbf {MS} | N) KT}

{\ displaystyle = 2K (\ mathbf {MS} | N) T + 2K (\ mathbf {MS} | T) N}

ve iki vektör ve aslında ortogonaldir. ${\ displaystyle \ mathbf {MW}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dW} {ds}}}$

Bir S kaynağı için bir eğrinin n indisinin kırılmasıyla kostik durumunda , ikincil kostik, eğriye ve yarıçaplara ait M merkezlerinin çemberlerinin zarflarıdır . $({\ mathcal C})$ $({\ mathcal C})$ ${\ frac {SM} {n}}$

Geometrik örnekler

Dairelerin kostikleri

Buradaki yansıtma eğrisi bir çemberdir. Işık kaynağı sonsuz derecede uzak bir nokta olduğunda, kostik bir nefroidtir . Kaynak çemberin kenarındayken bir kardioiddir .

Aşağıda, bir animasyon, ışık kaynağı (mavi bir nokta ile temsil edilir) dairenin merkezinden geçen bir çizgiyi geçtiğinde bir çember kostiğin evrimini açıklar. Özellikle nefroidden kardioide geçişi gözlemliyoruz. Olay ve yansıyan ışınlar olmadan yalnızca yansıtan daire ve yakıcı gösterilmiştir. Yakıcı ve kaynak gerçek veya sanal olabilir (yani yansıtma çemberinin ötesindeki ışınların uzantılarında bulunur).

Sikloid kostik

Yansıtıcı yüzey bir sikloiddir ve ışık kaynağı, sikloidin ekseni boyunca sonsuz derecede uzaktadır. Kostik, ilk sikloidin iki katı büyüklüğünde iki sikloidden oluşur.

Parabol Kostikleri

Yansıtıcı yüzey bir parabol olduğunda ve ışık kaynağı sonsuzda olduğunda, kostik bir Tschirnhausen kübiktir . Kaynağın yönü değiştiğinde, oluşturulan tüm kostikler , parabolün odağına merkez benzerliği ile birbirine benzer kalır . Kaynağın yönü parabolün ekseni olduğunda kübik bu odak noktasına indirgenir.

Solda, böyle bir yakıcıyı temsil ediyoruz. Yalnızca yansıyan ışınlar gösterilir. Gelen ışınların yönü (gösterilmemiştir), parabole ve yakıcıya ortak teğet tarafından siyah olarak verilir. Parabolün solunda yansıyan ışınlar sonsuzluktaki bir kaynaktan sağa doğru gelir, parabolün sağında yansıyanlar ise sonsuzluktaki bir kaynaktan sola doğru gelir. Sağdaki şekilde, kaynağın yönü saat yönünün tersine döndüğünde kostiğin nasıl değiştiğini gösteriyoruz: sadece parabol ve yakıcıyı temsil ediyoruz, ne olay ışınlarını ne de yansıyan ışınları temsil ediyoruz.

Deltoid kostikleri

Yansıtıcı yüzey bir deltoid olduğunda ve ışık kaynağı sonsuzda olduğunda, kostik bir astroiddir . Kaynağın yönü değiştiğinde, üretilen tüm kostikler birbirine izometrik kalır . Aşağıda, solda, deltoid ve onun yakıcılığını temsil ettik. Sağdaki animasyon, kaynağın yönü değiştiğinde kostiğin evrimini gösterir. Mavi eğri, kostik tüberküllerin yeri olan yardımcı bir eğridir. Bu bir olan üç köpekdişi koni .

Kostik ve kaymaz yatak

Yukarıda kardioid ve nefroidin çemberlerin kostikleri olduğunu gördük . Bununla birlikte, bu iki eğrinin, başka bir daire üzerinde kaymadan bir yuvarlanan dairenin noktası tarafından oluşturulduğu bilinmektedir. Bu durum, sabit yarıçapta daha genel bir sonucun yalnızca özel bir durumudur. Boyle teoremi, herhangi bir yansıma kostiği için, bir yardımcı eğri ve yansıtma eğrisine teğet kalırken yardımcı eğri üzerinde kaymadan yuvarlanan değişken yarıçaplı bir daire olduğunu ve noktalardan birinin kostiği tanımladığını belirtir. Bu özellik iki örnekle gösterilmektedir. Solda, kardioid ve nefroid arasında bir daire şeklindeki kostiği görüyoruz. Sağ tarafta bir deltoid kostiği görüyoruz. Her iki durumda da, yansıtıcı eğri siyah, kostik kırmızı ve yardımcı eğri mavi renktedir.

Notlar ve referanslar

“ Yerçekimi serap simülatörü ” üzerine, ULG .ac.be .
Robert Ferreol ve Jacques Mandonnet, " Caustique " , Encyclopedia of olağanüstü matematiksel formlar (mathcurve) üzerine ,2012.
(inç) JW Bruce, PJ Giblin, CG Gibson, " Biz düz eğrilerin kostikleri " , Amer. Matematik. Aylık , n o 88bin dokuz yüz Seksen bir, s. 651-667
Robert Ferreol ve Jacques Mandonnet, " Anticaustique " , Encyclopedia of olağanüstü matematiksel formlar (mathcurve) üzerine ,2000.
(içinde) Arthur Cayley , " Kostikler üzerine bir anı " , Philos. Trans. R. Soc. Londra , n o 147,1857, s. 295-296 ( çevrimiçi okuyun )
(en) Jeffrey A. Boyle, " Yansıyan ışıktan kaynaklanan kostik zarflar oluşturmak için yuvarlanan daireler kullanma " , Amer. Matematik. Aylık , cilt. 122, n o 5,Mayıs 2015, s. 452-466 ( çevrimiçi okuyun )

Ayrıca görün

İlgili makale

Eğri Çizgiler İstihbarat Sonsuz Küçük Analizi ile, Marquis de l'Hôpital kostik çalışmaya iki bölüm ayırıyor.
Tüberkül

Dış bağlantı

Michèle Audin , " Günlük hayatta Caustics " , Images of mathematics üzerine

Kaynakça

A. Bouvier , M. George, F.Le Lionnais , Matematik Sözlüğü , PUF (1979)
(en) Jeffrey A. Boyle, " Yansıyan ışıktan kaynaklanan kostik zarflar oluşturmak için yuvarlanan daireler kullanma " , Amer. Matematik. Aylık , cilt. 122, n o 5,Mayıs 2015, s. 452-466 ( çevrimiçi okuyun )
(in) Arthur Cayley , “ kostikleri üzerine bir anı ” , Philos. Trans. R. Soc. Londra , n o 147,1857, s. 273-312 ( çevrimiçi okuyun )