Hiperbolik yer değiştirme

Geometride, hiperbolik değiştirmeler olan izometri a hiperbolik alan koruyucu yönünü başka bir deyişle, dönüşümler hizalamalar koruyucu mesafeler ve açılar koruyucu Bu boşluk (yönelim), ve özellikle de. Haritaların bileşimi için, bu yer değiştirmeler bir topolojik grup ve hatta bir Lie grubu oluşturur ; Bu grup tarafından geliştirilen bir yaklaşıma göre, uzay karakterize eden Felix Klein onun içinde Erlangen programı .

Öklid geometrisinde olduğu gibi, yer değiştirmelerin ortogonal simetrilerin ( antisplasmanlar olan ) bileşikleri olarak ifade edilebileceği gösterilmiştir ; bu onları sınıflandırmayı mümkün kılar (örneğin sabit noktaları belirleyerek ).

Hiperbolik düzlemdeki yer değiştirmeler

İki oluşan olarak düzleminin herhangi bir yer değiştirme (Öklit ya da hiperbolik) yazılabilir ortogonal simetriler daha genel olarak, bir yer değiştirmeleri iki hat (göre n- boyutlu bir alan yazılabilir oluşan olarak N ya da N + 1 simetri ortogonal hiper düzlemler , n'nin tek veya çift olmasına bağlı olarak ). Hiperbolik düzlem durumunda, aşağıdaki üç sınıfla sonuçlanırız:

İki eksen kesişir (veya birleştirilir): Öklid düzleminde olduğu gibi , kesişme noktasının merkezinde bir dönüş ve eksenlerin açısının iki katı bir açı elde ederiz .
İki eksen paralel asimptotlardır; sonsuz C noktasında kesişirler . Yörüngeleri olan apeirogons yazılıdır C merkez horocycles . Buna yer değiştirme horolasyon merkezi C denir .
İki eksen ultra paraleldir. Yer değiştirme, iki eksene dik ortak olan bir ötelemedir; diğer noktalarda, eksen için bu ortak dik olan , hiper döngülerde yazılı yörünge maymunlarına sahiptir.

Poincaré yarı düzlem modelindeki yer değiştirmeler

Gelen Poincare yarı düzlem modeli , onların puan temsil Kartezyen koordinatlarında ( x , y ) ile y > 0 ya da ile , polar koordinatları ( x = r cos bir , y = r sin a <0 ile) bir <π, r > 0. Hiperbolik yer değiştirmelerin üç temel tipten oluştuğunu gösteriyoruz (aşağıda yarım düzlemin Öklid geometrisi dilinde açıklanmıştır):

x eksenine paralel bir öteleme : p = (x, y) → q = ( x + c , y ), c ∈ R ;
merkezin bir homotetiği orijini: p = (x, y) → q = ( sx , sy ), s > 0;
bir ters çevirme (birim çember değişmez bırakarak): p = ( r cos a , r sin a ) → q = ( r −1 cos a , r −1 sin a ).

Çevirilerin hiperbolik düzlemin horolasyonlarını temsil ettiğini, merkez nokta y ekseninin sonsuzluğunu temsil ettiğini ve tersinmelerin antisplasmanlar olduğunu , dolayısıyla değişmez çember tarafından temsil edilen çizgiye göre ortogonal simetrileri doğrulamak kolaydır ; genişlemeler, iki eş merkezli daireye göre iki tersinden oluşur ve bu nedenle y ekseninde ötelenen yer değiştirmeleri çevirir. Hiperbolik düzlemin dönüşleri, ortak bir noktaya sahip dairelere göre iki ters çevirme oluşturarak elde edilir.

Poincaré disk modelindeki yer değiştirmeler

Poincare diski birim çemberin iç olarak tanımlanır kompleks düzlemde : D = { z ∈ C : | z | <1}. Bu modelde hiperbolik düzlemin çizgileri, D sınırına dik daire yayları ile temsil edilmektedir. Möbius dönüşümleri , bu modeldeki hiperbolik düzlemin izometrilerine karşılık gelir. Daha doğrusu, a ve b iki karmaşık sayı olsun . Biz var ve bu nedenle | z | <1 ima eder , bu da D'nin Möbius dönüşümünde değişmez olduğunu gösterir . ${\ displaystyle a {\ çubuğu {a}} - b {\ bar {b}} = 1}$ ${\ displaystyle | bz + {\ bar {a}} | ^ {2} - | az + {\ bar {b}} | ^ {2} = (a {\ bar {a}} - b {\ bar { b}}) (1- | z | ^ {2})}$ ${\ displaystyle | (az + {\ çubuğu {b}}) / (bz + {\ çubuğu {a}}) | <1}$ ${\ displaystyle f (z) = (az + {\ çubuğu {b}}) / (bz + {\ çubuğu {a}})}$

Bu dönüşüm uyumlu olduğundan (ve hiperbolik çizgileri temsil eden dairelerin yaylarını aynı özelliklere sahip diğer çember yayları üzerine gönderdiği için), bunun hiperbolik düzlemin yer değiştirmesinin bir temsili olduğunu görürüz; başkalarının olmadığını gösteriyoruz. Projektif bir bakış açısından, f'nin matris ile temsil edilebileceğini biliyoruz . ${\ displaystyle f = {\ begin {pmatrix} a & b \\ {\ bar {b}} ve {\ bar {a}} \ end {pmatrix}}}$

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Hiperbolik hareket " ( yazarların listesini görmek ) .

Henri Lombardi, Elementary Geometries (cilt 1) , Pufc , 1999, ( ISBN 978-2-913322-45-5 ) ; Çatlak. 9a: Beltrami modeli: hiperbolik düzlemin yer değiştirmeleri ve yer değiştirmeleri, s. 230-259.
Lars Ahlfors (1967) Hyperbolic Motions , Nagoya Mathematical Journal 29: 163–5, Project Euclid aracılığıyla
Francis Bonahon (2009) Düşük boyutlu geometri: öklid yüzeylerinden hiperbolik düğümlere , Bölüm 2 "Hiperbolik Düzlem", sayfalar 11–39, American Mathematical Society : Student Mathematical Library , cilt 49 ( ISBN 978-0-8218-4816- 6 ) .
Victor V. Prasolov & VM Tikhomirov (1997,2001) Geometri , Amerikan Matematik Derneği : Matematiksel Monografların Çevirileri , cilt 200, ( ISBN 0-8218-2038-9 ) .
AS Smogorzhevsky (1982) Lobachevskian Geometry , Mir Publishers , Moskova.