Poincaré diski

İn geometrisi , Poincare disk (aynı zamanda konformal gösterimi ) a, modeli bir hiperbolik geometrisi olan N noktaları bulunan boyutlar açık ünite top boyutunun n hatları çevreler ya da yay diski içerdiği ve ve ortogonal onun sınır , yani topun çapları. Buna ek olarak Klein modeline ve Poincaré'in yarı düzlem , bu önerdiği Eugenio Beltrami hiperbolik geometrisi kıvamı Öklid geometrisinin bir kıvama eşdeğerde olduğunu göstermek için.

Mesafe işlevi

Eğer U ve V ikisi vektörler arasında n- boyutlu bir alan R , n sahip Öklid normuna norm 1 'den az olan, daha sonra aşağıdaki gibi bir izometrik değişmez tanımlamak mümkündür:

δ(sen,v)=2‖sen-v‖2(1-‖sen‖2)(1-‖v‖2),{\ displaystyle \ delta (u, v) = 2 {\ frac {\ | uv \ | ^ {2}} {(1- \ | u \ | ^ {2}) (1- \ | v \ | ^ { 2})}},}

Öklid normu nerede . Ardından mesafe işlevi şu şekilde tanımlanır: ‖ ‖{\ displaystyle \ | ~ \ |}

d(sen,v)=Arcosh⁡(1+δ(sen,v)).{\ displaystyle d (u, v) = \ operatöradı {arcosh} (1+ \ delta (u, v)).}

Böyle bir fonksiyon daha sonra sabit eğrilik -1'in hiperbolik uzayının bir modeli olan bir metrik uzay tanımlar . Bu model için, hiperbolik uzayda kesişen iki eğri arasındaki açı, modelin açısı ile aynıdır.

Metrik şekil

Yerel metrik bir koordinat noktada Poincare diskin aşağıdaki formül ile verilir: (x1,...,xdeğil){\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}

ds2=4∑bendxben2(1-∑benxben2)2{\ displaystyle ds ^ {2} = 4 {\ frac {\ sum _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ { 2}}}}

böylece, yerel olarak, bu metrik modelin bir Öklid metriğine eşdeğerdir  (en) . Özellikle, hiperbolik düzlemin iki çizgisi arasındaki açı, modelin iki yayı arasındaki Öklid açısı ile tamamen aynıdır.

Hiperboloid model ile ilişki

Poincaré diski, Klein modeli gibi , hiperboloid modelle ilgilidir . Hiperboloid modelin üst katmanının [ t , x 1 ,…, x n ] noktasını [-1, 0,…, 0] içinden geçen bir çizgi ile kesişerek hiper yüzey t = 0 üzerine yansıtmak mümkündür. . Sonuç, Poincaré diskindeki karşılık gelen noktadır.

Analitik geometri

İki noktadan geçen çizgi

Analitik geometride temel bir problem, iki noktadan geçen bir doğru bulmaktır. Poincaré diski ile çizgiler, bu formda denklemlere sahip çemberlerin yaylarıdır:

x2+y2+-dex+by+1=0,{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + 1 = 0,}

birim daireye ortogonal bir dairenin genel şekli veya çaplarıdır. Diskin bir çapa ait olmayan iki u ve v noktası verildiğinde, bu noktalardan geçen daire için elde ederiz:

x2+y2+sen2(v12+v22)-v2(sen12+sen22)+sen2-v2sen1v2-sen2v1x+v1(sen12+sen22)-sen1(v12+v22)+v1-sen1sen1v2-sen2v1y+1=0.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + {\ frac {u_ {2} (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2}) - v_ {2} (u_ { 1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2}) + u_ {2} -v_ {2}} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} x + { \ frac {v_ {1} (u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2}) - u_ {1} (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2}) + v_ {1} -u_ {1}} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} y + 1 = 0.}

U ve v noktaları disk sınırının taban tabana zıt noktaları ise, bu şu şekilde basitleştirilir:

x2+y2+2(sen2-v2)sen1v2-sen2v1x-2(sen1-v1)sen1v2-sen2v1y+1=0.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + {\ frac {2 (u_ {2} -v_ {2})} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1} }} x - {\ frac {2 (u_ {1} -v_ {1})} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} y + 1 = 0.}

Açılar ve Poincaré disk

İdeal noktaları u ve v birim vektörleri tarafından verilen uçları olan bir çemberin yayı ile uçları s ve t olan yayı arasındaki açıyı bir formül yardımıyla hesaplamak mümkündür . Klein modeli ve Poincaré diski için ideal noktalar aynı olduğundan, formüller bu modellerin her biri için aynıdır.

Her modelde, çizgiler v = –u ve t = –s olacak şekilde çaplarsa , iki birim vektör arasındaki açıyı bulmak mümkündür . Formül aşağıdaki gibidir: θ{\ displaystyle \ theta}

çünkü⁡(θ)=sen⋅s.{\ displaystyle \ cos (\ theta) = u \ cdot s.}

Eğer v = - u ama t ≠ - s ise, formül, çapraz çarpım cinsinden olur ,

çünkü2⁡(θ)=P2QR,{\ displaystyle \ cos ^ {2} (\ theta) = {\ frac {P ^ {2}} {QR}},}

veya:

P=sen⋅(s-t),{\ displaystyle P = u \ cdot (st),} Q=sen⋅sen,{\ displaystyle Q = u \ cdot u,} R=(s-t)⋅(s-t)-(s∧t)⋅(s∧t){\ Displaystyle R = (st) \ cdot (st) - (s \ kama t) \ cdot (s \ kama t)}

Dizeler çap değilse, genel formül şunu verir:

çünkü2⁡(θ)=P2QR,{\ displaystyle \ cos ^ {2} (\ theta) = {\ frac {P ^ {2}} {QR}},}

veya:

P=(sen-v)⋅(s-t)-(sen∧v)⋅(s∧t),{\ displaystyle P = (uv) \ cdot (st) - (u \ kama v) \ cdot (s \ kama t),} Q=(sen-v)⋅(sen-v)-(sen∧v)⋅(sen∧v),{\ displaystyle Q = (uv) \ cdot (uv) - (u \ kama v) \ cdot (u \ kama v),} R=(s-t)⋅(s-t)-(s∧t)⋅(s∧t).{\ displaystyle R = (st) \ cdot (st) - (s \ kama t) \ cdot (s \ kama t).}

Kullanılması Binet-Cauchy kimliğini ve birim vektörler olduğu gerçeğini, nokta ürün açısından yukarıdaki ifadeleri yeniden yazmak mümkündür:

P=(sen-v)⋅(s-t)+(sen⋅t)(v⋅s)-(sen⋅s)(v⋅t),{\ displaystyle P = (uv) \ cdot (st) + (u \ cdot t) (v \ cdot s) - (u \ cdot s) (v \ cdot t),} Q=(1-sen⋅v)2,{\ displaystyle Q = (1-u \ cdot v) ^ {2},} R=(1-s⋅t)2.{\ displaystyle R = (1-s \ cdot t) ^ {2}.}

Notlar ve referanslar

1. Eugenio Beltrami , "  Öklid dışı geometriyi yorumlama girişimi  ", Ann. Norm Okulu. Sup. 6 ,1869, s.  251–288 ( çevrimiçi okuyun )

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• Hiperbolik geometri
• Klein modeli
• Poincaré'nin yarım planı
• Poincaré metriği
• Ters çevirme

Kaynakça

• (tr) James W. Anderson, Hiperbolik Geometri , Springer,2005, 2 nci  baskı.
• (o) Eugenio Beltrami, "  Temel Teoria degli spazii di curvatura costanta  " , Annali di Mat. , iI, cilt.  2,1868, s.  232-255
• (tr) Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane , Jones & Bartlett,1993

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">