Isıl iletkenlik
Isı iletim (veya termal difüzyon ) 'in bir moddur ısı transferi bir farktan kaynaklanan ısı , bir aynı ortamın ya da temas eden iki ortam arasında, iki bölge arasında, ve malzeme (ölçek genel değiştirmesini gerçekleştirmeden makroskobik aksine) konveksiyon olan başka bir ısı transferi modudur . Termal ajitasyonun aşamalı iletimi olarak yorumlanabilir : bir atom (veya bir molekül) kinetik enerjisinin bir kısmını komşu atoma verir.
Termal iletim a, taşıma işlemi bir iç enerji nedeniyle makroskopik ölçekte orta bir heterojenliği moleküler ajitasyona ve bağlantılı. Difüzyon fenomenine benzer geri dönüşü olmayan bir fenomendir . Gelen sıvı mikroskobik düzeyde (sıvılar ve gazlar), bu enerji nakil sonuçları anizotropi bir hız dağılımı fonksiyonu . Katılarda, termal iletim, iletim elektronları ve kristal kafesin ( fononlar ) titreşimleriyle birlikte sağlanır .
Fiziksel olaylar
Isı iletim hareketi olan ısı enerjisi soğuk bölümlerine bir sistemin sıcak kısım. Enerji bir sisteme yayıldıkça, sıcaklık farklılıkları azalır ve entropi artar.
En basit gaz durumunda, termal enerjinin yayılması, öteleme hareketi sırasında bir parçacık çarpışmalar sırasında momentumunun bir kısmını diğer parçacıklara bıraktığında meydana gelir.
Katılarda, öteleme hareketi fonon biçimini alır (şekle bakın). Fononlar, maddeye özgü ses hızında bir katıdan geçen temel (nicelleştirilmiş) titreşim enerjisidir. Fononların katıdaki etkileşimi, termal difüzyon gibi özelliklerini belirler. Örneğin elektrik izolatörleri genellikle düşük termal iletkenliğe sahiptir ve bu katılar termal izolatörler olarak kabul edilir (cam, plastik, kauçuk, seramik ve taş gibi). Bunun nedeni, katılarda atomların ve moleküllerin hareket etmekte serbest olmamasıdır.
Metal , bununla birlikte, yüksek bir ısı iletkenliğine sahiptir. Nitekim, yapıları kinetik enerjinin iletim elektronları , ışık ve son derece hareketli tarafından difüzyonuna izin verir . Metallerde elektriksel iletkenlik ile termal iletkenlik arasında neredeyse mükemmel bir korelasyon olmasının nedeni budur . Metallerde elektronik iletkenlik baskındır çünkü elektronlar yerelleştirilir , yani bir atoma bağlı değildirler ve bir kuantum gazı gibi davranırlar.
Modelleme hakkında genel bilgiler
Fourier yasası
Termal iletim a, kendiliğinden ısı transferi bir bölgesinden yüksek sıcaklıkta daha düşük bir sıcaklıkta bir bölgeye, ve sözde tarafından açıklanmıştır Fourier hakları matematiksel olarak kurulan Jean-Baptiste Biot içinde 1804 yılında Fourier deneysel ve daha sonra 1822 : ısı yoğunluğu akış, sıcaklık gradyanı ile orantılıdır .
φ→=-λ gr-ded→ T{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ varphi}} = - \ lambda \ {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ T}Orantılılık sabiti λ, malzemenin ısıl iletkenliği olarak adlandırılır . O her zaman olumludur.
Uluslararası Sistemin birimleriyle, ısıl iletkenlik λ metre-Kelvin ( W m 1 K −1 ) başına watt cinsinden ifade edilir . Isı akış yoğunluğu olduğu ifade metre kare başına vat ( W m -2 ), sıcaklık T olarak, kelvin ( K ).
φ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ varphi}}}
Fourier yasası, makroskopik bir yasadır. Isı transferlerinde yer alan fononların ortalama serbest yoluna ve dalga boyuna kıyasla yalnızca büyük boyutlu katılar için geçerlidir .
Fourier yasası, Fick'in parçacık difüzyon yasasına veya Ohm'un elektriksel iletim yasasına benzer fenomenolojik bir yasadır (Ohm, teorisini oluşturmak için termal ve elektrik arasında bir analoji kullandı). Bu üç yasa aynı şekilde yorumlanabilir: Yoğun bir parametrenin homojen olmaması (sıcaklık, birim hacim başına parçacık sayısı, elektrik potansiyeli ) dengesizliği (ısı akışı, difüzyon akımı, elektrik akım).
Tamamlayıcı
Isı transferini Ox'a göre bir süre için ifade edebiliriz dt . DS x alanının bir yüzeyinden geçen ısı miktarının dS x , transfer süresi dt ve sıcaklık T değişim hızı ile orantılı olduğu varsayılır :
dQx=-λx δTδxdSxdt{\ displaystyle dQ_ {x} = - \ lambda _ {x} \ {\ frac {\ delta T} {\ delta x}} dS_ {x} dt}Temel yüzey dS x boyunca termal akı yoğunluğu şu şekildedir :
dϕ=dQxdt=-λxδTδxdSx{\ displaystyle d \ phi = {\ frac {dQ_ {x}} {dt}} = - \ lambda _ {x} {\ frac {\ delta T} {\ delta x}} dS_ {x} \,}Akı yoğunluğunu Ox yönünde çıkarabiliriz:
φx=dϕdSx{\ displaystyle \ varphi _ {x} = {\ frac {d \ phi} {dS_ {x}}} \,}
φx=-λδTδx{\ displaystyle \ varphi _ {x} = - \ lambda {\ frac {\ delta T} {\ delta x}}}
Uzayın her bir yönündeki aynı mantık, Fourier yasasını verir.
Isı denklemi
Bir enerji dengesi ve Fourier yasasının ifadesi, homojen bir cisimde ısı iletiminin genel denklemine, sıcaklık taşıma denklemine yol açar :
T(r→){\ displaystyle T ({\ vec {r}})}
∇→⋅[λ(T)∇→T]+P(r→)=ρVSP(T)∂T∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ sol [\ lambda (T) \, {\ vec {\ nabla}} T \ sağ] + {\ mathcal {P}} ({\ vec {r} }) = \ rho \, C_ {P} (T) \, {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi t}}}veya
λ{\ displaystyle \ lambda} |
malzemenin W m −1 K −1 cinsinden ısıl iletkenliğidir ,
|
P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}} |
Malzemenin içinde üretilen enerjidir W m −3 ,
|
ρ{\ displaystyle \ rho} |
bir yoğunluk içinde kg / 3
|
VSP{\ displaystyle C_ {P}} |
J kg −1 K −1 cinsinden malzemenin özgül ısı kütlesidir .
|
Tek boyutlu biçimde ve P'nin sıfır ve iletkenlik sabitinin olduğu durumda , kişi şunları elde eder:
λ∇2T=ρVSP∂T∂t{\ displaystyle \ lambda \, \ nabla ^ {2} T = \ rho \, C_ {P} \, {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi t}}}Durağan rejimde, sıcaklık artık zamanla değişmediğinde ve P sıfırsa, şu şekilde azalır: ki bu bir Laplace denklemidir . T , bu durumda harmonik bir fonksiyondur .
∇2T=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} T = 0}
Kalıcı ve tek boyutlu bir rejim durumunda, önceki denklem şuna indirgenir: çözümü T = Ax + b'dir, burada A ve B , sınır koşullarına göre sabitlenecek sabitlerdir.
d2Tdx2=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = 0}
Mikroskobik ölçek: Boltzmann-Peierls denklemi
Biz örneğin karşılaşmak gibi nanometrik ölçekte problemde mikroelektronik, ortalama serbest yol Fononların artık çalışılan nesne ve ısı difüzyon denkleminin büyüklüğüne göre geçerli küçük değil mi. Bu sorun çözüldü Rudolf Peierls bir yardımıyla olgusunun bir mikroskobik tarif vererek 1929 Boltzmann denklemine enerjisine d e cyclotron frekansının gibi, bir gaz olarak ele Fononlarla transfer fotonların gaz . Bu enerji alanı çarpı birimi indirgenir d S frekans aralığı olarak için, dν tasavvur edilen elementer bir katı açıya, dco ve zaman aralığı d t için vermek bir yoğunluk I ν
dEν=benνdSdνdΩdt{\ displaystyle \ mathrm {d} E _ {\ nu} = I _ {\ nu} \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d} \ Omega \, \ matematik {d} t}Bu miktar, radyasyon için spektral parlaklığın analogudur . Burada bir uzay boyutunda ve durağan durumda verilen Boltzmann denklemine uyar.
dbenνdτ(x,μ)=Gν(x)-benν(x,μ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} I _ {\ nu}} {\ mathrm {d} \ tau}} (x, \ mu) = G _ {\ nu} (x) -I _ {\ nu} (x, \ mu)}Onun için :
- τ = κ x miktarını tanıttık ; burada κ olan ortamın spektral soğurma katsayısı bağımsız olduğu varsayılır cyclotron frekansının . Bu miktar, ortalama serbest yolun tersidir l = 1 / τ , tipik olarak oda sıcaklığında birkaç on nm;
- açısal bağımlılığın, μ = cos θ ile karakterize edilen bir devrim olduğu varsayıldı ;
- kristal kusurlarından veya umklapp işlemlerinden kaynaklanabilecek difüzyon terimleri ihmal edilmiştir .
G ν , fononların termal ajitasyonla yaratılmasından kaynaklanan yaratma terimidir.
Termodinamik dengeye ulaşılması durumunda bu terim Planck yasası ile verilir (fononlar, fotonlar gibi bozonlardır , bu nedenle Bose-Einstein istatistiğine uyarlar )
Bν=2hν3vsm21tecrübe(hνkTm)-1,Bm=∫0∞Bνdν=σTm4π{\ displaystyle B _ {\ nu} = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c_ {m} ^ {2}}} {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {h \ nu} {kT_ {m}}} \ sağ) -1}} \ ,, \ qquad B_ {m} = \ int _ {0} ^ {\ infty} B _ {\ nu} \, \ mathrm {d } \ nu = {\ frac {\ sigma \; T_ {m} ^ {4}} {\ pi}}}veya
T m |
kristal kafes genişlemesi, burulma, bükülme) tüm serbestlik dereceleri için tek titreşim sıcaklığı,
|
h |
Planck sabiti ,
|
k |
Boltzmann sabiti ,
|
σ |
Stefan-Boltzmann sabiti ,
|
c m |
yayılma için grup hızı (tipik olarak birkaç bin m / s). Bazen Debye hızı olarak adlandırılan uzunlamasına ve enine hızların ortalamasıdır .
|
Ortamın termodinamik dengesi varsayımı üzerine, ışınımsal aktarımınkiyle aynı olan yoğunluk için bir denklem yazılabilir . Frekanstaki entegre yoğunluk için bir denklem elde ederiz :
benm=∫0∞benνdν{\ displaystyle I_ {m} = \ int _ {0} ^ {\ infty} I _ {\ nu} \, \ mathrm {d} \ nu}
dbenm(x,μ)dτ=Bm(Tm(x))-benm(x,μ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} I_ {m} (x, \ mu)} {\ mathrm {d} \ tau}} = B_ {m} (T_ {m} (x)) - I_ { m} (x, \ mu)}
Makroskopik ölçek ile bağlantı
I m'nin ilk anlarını tanıtalım :
- enerji |
Em=2π∫-11benmdμ=∫ρVSVdT{\ displaystyle E_ {m} = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} I_ {m} \, \ mathrm {d} \ mu = \ int \ rho \, C_ {V} \, \ mathrm {d} T}
|
- ısı akısı yoğunluğu |
φm=2π∫-11μbenmdμ{\ displaystyle \ varphi _ {m} = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu \, I_ {m} \, \ mathrm {d} \ mu}
|
burada ρ yoğunluk ve C V özgül ısı kapasitesidir .
Ne zaman :
- ortalama serbest yol, alanın boyutuna veya çözümü karakterize eden diğer herhangi bir miktara kıyasla küçüktür, yani ,l≪s|∂s∂x|{\ displaystyle l \ ll {\ frac {s} {\ sol | {\ frac {\ kısmi s} {\ kısmi x}} \ sağ |}}}
- karakteristik zaman , alandaki herhangi bir zamansal varyasyona kıyasla küçüktür ,tm=1κvsm{\ displaystyle t_ {m} = {\ frac {1} {\ kappa \, c_ {m}}}}tm≪s|∂s∂t|{\ displaystyle t_ {m} \ ll {\ frac {s} {\ sol | {\ frac {\ kısmi s} {\ kısmi t}} \ sağ |}}}
çeşitli yöntemler , bu miktarları aşağıdaki formda ilişkilendiren bir difüzyon denklemi elde etmeyi mümkün kılar:
φm=-vsm3∂Em∂x=-vsm3κdEmdT∂T∂x=-vsmρVSV3κdTdx{\ displaystyle \ varphi _ {m} = - {\ frac {c_ {m}} {3}} {\ frac {\ kısmi E_ {m}} {\ kısmi x}} = - {\ frac {c_ {m }} {3 \ kappa}} {\ frac {\ mathrm {d} E_ {m}} {\ mathrm {d} T}} {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi x}} = - {\ frac {c_ {m} \ rho \, C_ {V}} {3 \ kappa}} {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} x}}}Fourier yasasını ısı iletkenliği ile tanıyoruz .
λ=vsmρVSV3κ{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c_ {m} \ rho \, C_ {V}} {3 \ kappa}}}
Gösteri
Işınım transferinde olduğu gibi Boltzmann denklemini aşağıdaki sisteme indirgeyebiliriz
∂Em∂t+∂φm∂x=κ(4πBm-vsmEm)∂φm∂t+vsm2∂(EmDm)∂x=-vsmκφm{\ displaystyle {\ begin {dizi} {rcl} {\ frac {\ kısmi E_ {m}} {\ kısmi t}} + {\ frac {\ kısmi \ mathbf {\ varphi} _ {m}} {\ kısmi x}} & = & \ kappa \ left (4 \ pi B_ {m} -c_ {m} E_ {m} \ right) \\ [0.6em] {\ frac {\ partial \ mathbf {\ varphi} _ { m}} {\ kısmi t}} + c_ {m} ^ {2} {\ frac {\ partial \ mathbf {(} E_ {m} {\ mathsf {D}} _ {m})} {\ kısmi x }} & = & - c_ {m} \ kappa \ mathbf {\ varphi} _ {m} \ end {dizi}}}Biz varsayalım izotropik tensörünü :: bunun yöntemidir Eddington ya yöntemle P 1 .
Dm{\ displaystyle \ textstyle {\ mathsf {D}} _ {m}}Dν=13ben{\ displaystyle \ textstyle {\ mathsf {D}} _ {\ nu} = {\ frac {1} {3}} {\ mathsf {I}}}
Sonra alırız
vsm2∂(EmDm)∂x=vsm23∂Em∂x{\ displaystyle c_ {m} ^ {2} {\ frac {\ kısmi \ mathbf {(} E_ {m} {\ mathsf {D}} _ {m})} {\ kısmi x}} = {\ frac { c_ {m} ^ {2}} {3}} {\ frac {\ kısmi E_ {m}} {\ kısmi x}}}Sabit bir akı yoğunluğu varsayımı altında, yukarıdaki sistemin ikinci denklemi yazılır
φm=-vsm3κ∂Em∂x{\ displaystyle \ varphi _ {m} = - {\ frac {c_ {m}} {3 \ kappa}} {\ frac {\ kısmi E_ {m}} {\ kısmi x}}}
Termal iletkenlik, yayılma hızı, özgül ısı kapasitesi ve ortamdaki ortalama serbest yol ile orantılıdır.
Sonuç olarak, termal difüzyon katsayısı yayılma hızı ve ortalama serbest yol ile orantılıdır.
D=λρVSV=vsm3κ{\ displaystyle D = {\ frac {\ lambda} {\ rho C_ {V}}} = {\ frac {c_ {m}} {3 \ kappa}}}
Bu difüzif yaklaşımla elde edilen ısı denklemi , bilgi yayılma hızının sonsuz olduğu parabolik bir denklemdir .
Kısa zaman ölçekleri: Cattaneo-Vernotte denklemi
Bazı durumlarda, akının yarı durağanlığı hipotezi artık geçerli değildir: örneğin, bir numuneyi ısıtmak için lazer darbesi gibi ultra kısa bir ısı kaynağı kullanılıyorsa.
Zamansal terimi akışta tutarsak (önceki kutuya bakın) şunu elde ederiz:
φm+tm∂φm∂t=-vsm3κ∂Em∂x=-λdTdx,tm=1κvsm{\ displaystyle \ varphi _ {m} + t_ {m} {\ frac {\ kısmi \ varphi _ {m}} {\ kısmi t}} = - {\ frac {c_ {m}} {3 \ kappa}} {\ frac {\ kısmi E_ {m}} {\ kısmi x}} = - \ lambda {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} x}} \ ,, \ qquad t_ {m} = {\ frac {1} {\ kappa c_ {m}}}}Fononların salınımı için bir gevşeme terimi içeren akının bu ifadesine, Carlo Cattaneo ve Pierre Vernotte'den sonra Cattaneo-Vernotte denklemi denir. Yönlendirdiği sistem , telgraf operatörlerinin tip denklemlerindendir . Bu sistemdeki Not hiperbolik kısmi diferansiyel denklem bilgi yayılma hızı C m / √ 3 ve c m .
Nanoskopik ölçek: ısı kuantumu
Nanoskopik boyutta sanal bir dalga kılavuzu düşünüyoruz . Rolf Landauer , termodinamik dengede bir ortam 1 ve bir ortam 2 arasındaki yayılma modu α için ısı akısının,
φα=∫0∞ℏωα(k)vsm(k)(değil2-değil1)Tαdk2π{\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ hbar \ omega _ {\ alpha} (k) c_ {m} (k) (n_ {2} -n_ {1 }) {\ mathcal {T}} _ {\ alpha} {\ frac {\ mathrm {d} k} {2 \ pi}}}veya
Kılavuz mükemmel alışverişi için iki yüzeyleri tarafından sınırlandırılmıştır: . Sonunda sıcaklık farkı olan iki ortam uygularız ve sınırı dikkate alırız . Bu sıcaklıkların, her mod için sadece dalga sayısı k = 0 hesaba katılma hakkına sahip olacak kadar düşük olduğu varsayılır.
Tα=1{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ alpha} = 1}ΔT=T2-T1{\ displaystyle \ Delta T = T_ {2} -T_ {1}}ΔT→0{\ displaystyle \ Delta T \ ile 0}
Bu varsayımlarla, mod başına iletkenlik kuantumunun
qα=φαΔT=πk23hT1+T22{\ displaystyle q _ {\ alpha} = {\ frac {\ varphi _ {\ alpha}} {\ Delta T}} = {\ frac {\ pi k ^ {2}} {3h}} {\ frac {T_ {1} + T_ {2}} {2}}}Bu değer deneysel olarak ölçüldü.
Kararlı durum iletimi
Kararlı bir durum, sıcaklık dahil herhangi bir miktarın zamandan bağımsız olmasıyla tanımlanır.
Not: Kararlı durum bazen kararlı durumla karıştırılırken, kararlı bir durum zamana bağlı olabilir (örnek: periyodik bir rejim).
Basit düz yüzey
Malzeme, iki paralel düzlemle sınırlı bir ortamdır (bir duvar durumunda). Her düzlem, tüm yüzeyi üzerinde homojen bir T sıcaklığına sahiptir. Kenar etkilerinden arınmış olması için düzlemlerin sonsuz boyutlara sahip olduğu düşünülmektedir. Sonuç olarak, ortam tek boyutludur ve akı yoğunluğu tüm noktalarda aynıdır. Ayrıca iletkenliğin sabit olduğu varsayılır.
T 1 ile apsis x 1'de bulunan düzlemin sıcaklığını ve T 2 apsis x 2'de bulunan düzlemin sıcaklığını gösterelim . E = x 2 - x 1 ile duvarın kalınlığını belirtin . Kararlı durumda, T , x'in afin fonksiyonudur , dolayısıyla:
T=T1+x-x1e(T2-T1){\ displaystyle T = T_ {1} + {\ frac {x-x_ {1}} {e}} (T_ {2} -T_ {1})}Yüzey ısısı akı yoğunluğu şöyle yazılır:
φ=-λdTdx=λe(T1-T2){\ displaystyle \ varphi = - \ lambda {\ frac {dT} {dx}} = {\ frac {\ lambda} {e}} (T_ {1} -T_ {2})}S yüzeyindeki termal akış şu değerdedir:
Φ=λSe(T1-T2)=T1-T2eλS{\ displaystyle \ Phi = {\ frac {\ lambda S} {e}} (T_ {1} -T_ {2}) = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {\ frac {e} {\ lambda S}}}}
Elektrik analojisi
Elektrikle analoji yaparak ( Ohm yasası ) iki ifadeyi paralel hale getirebiliriz:
U1-U2=Rben{\ displaystyle U_ {1} -U_ {2} = RI}
T1-T2=eλSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {e} {\ lambda S}} \ Phi}
Bir yandan voltajı ve sıcaklığı, diğer yandan yoğunluğu ve ısı akışını paralel olarak koyabiliriz:
U↔T,ben↔Φ{\ displaystyle U \ leftrightarrow T \ ,, \ qquad I \ leftrightarrow \ Phi}Daha sonra , ısı transferinde elektrik direnci ile karşılaştırılabilir bir rol oynayan bir termal direnç tanımlayabiliriz .
R↔Rthvs=eλS{\ displaystyle R \ leftrightarrow R_ {thc} = {\ frac {e} {\ lambda S}}}burada G malzemenin yüzey ve e kalınlığını. Isı yalıtım R THC homojen bir yapıdadır K W -1
Seri olarak düz yüzeyler
A , B ve C malzemelerini ilgili kalınlık e A , e B ve e C ve ilgili iletkenlikleri λ A , λ B ve λ C ile dikkate alıyoruz .
Varsayımlar, basit bir düz yüzey için olanlarla aynıdır. Her bir katman arasındaki temasın mükemmel olduğu düşünülür, bu da 2 malzeme arasındaki arayüzdeki sıcaklığın her bir malzemede aynı olduğu anlamına gelir (bir arayüzden geçerken sıcaklık sıçraması olmaz).
Termal dirençler şunları ekler:
T1-T4=(eATλATS+eBλBS+eVSλVSS)Φ =(RthAT+RthB+RthVS)Φ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = \ left ({\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S}} + {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ { B} S}} + {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S}} \ sağ) \ Phi \ = (R_ {thA} + R_ {thB} + R_ {thC}) \ Phi }
Gösteri
Genel olarak bizde
T1-T4=eλSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = {\ frac {e} {\ lambda S}} \ Phi}Ayrıştırırsak
A katmanı için :
T1-T2=eATλATSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S}} \ Phi}
B katmanı için :
T2-T3=eBλBSΦ{\ displaystyle T_ {2} -T_ {3} = {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ {B} S}} \ Phi}
C katmanı için :
T3-T4=eVSλVSSΦ{\ displaystyle T_ {3} -T_ {4} = {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S}} \ Phi}
Not: Varsayımla, akı (veya akı yoğunluğu) sabittir.
İle:
T1-T4=(T1-T2)+(T2-T3)+(T3-T4){\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = (T_ {1} -T_ {2}) + (T_ {2} -T_ {3}) + (T_ {3} -T_ {4}) \, }Bu nedenle
T1-T4=(eATλATS+eBλBS+eVSλVSS)Φ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = \ left ({\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S}} + {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ { B} S}} + {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S}} \ sağ) \ Phi \,}
T1-T4=(RthAT+RthB+RthVS)Φ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = (R_ {thA} + R_ {thB} + R_ {thC}) \ Phi \,}
Sıcaklık profili
Her bir malzeme için sıcaklık değişimi, türden bir yasayı izler:
T=T1-eXλXSΦ{\ displaystyle T = T_ {1} - {\ frac {e_ {X}} {\ lambda _ {X} S}} \ Phi \,}Bu nedenle sıcaklık değişimi, dikkate alınan malzemenin kalınlığında doğrusaldır. Eğim , her malzemenin λ ( termal iletkenlik ) özelliğine bağlıdır . Termal iletkenlik ne kadar düşükse (bu nedenle malzeme ne kadar yalıtkan olursa), eğim o kadar dik olacaktır.
Elektrik analojisi
Serideki elektrik dirençlerinin toplanması gibi, serideki termal dirençler de artar.
Paralel düz yüzeyler
Yan yana yerleştirilmiş düzlem malzemeleri düşünüyoruz. Her malzeme homojendir ve iki paralel düzlemle sınırlıdır. Bu, örneğin pencereli bir duvarın durumu.
Varsayımlar, basit bir düz yüzey için olanlarla aynıdır. Ayrıca her bir elementin (T 1 ve T 2 ) yüzeyinde sıcaklığın tekdüze olduğu düşünülmektedir .
S A , S B ve S C , A, B ve C elemanlarının ilgili yüzeyleri olsun.
Sonuç olarak, akışın her zaman bileşik duvara dik olduğunu varsayıyoruz; Bu gerçekçi değildir çünkü onu oluşturan her bir elemanın yüzey sıcaklığı farklıdır ve sonuç olarak bir yanal sıcaklık gradyanı vardır (termal köprülerin başlangıcında). Ayrıca, her duvar bağlantısına özgü doğrusal kayıp katsayıları kullanarak kompozit duvarda hesaplanan ısı akışını düzeltmek gerekir (ve bu önemsiz olabilir, bkz. Termal düzenleme TH 2000).
Termal iletkenlikler şunları ekler:
VSth=1Rth=1eATλATSAT+1eBλBSB+1eVSλVSSVS=1RthAT+1RthB+1RthVS{\ displaystyle C_ {th} = {\ frac {1} {R_ {th}}} = {\ frac {1} {\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S_ {A}}} } + {\ frac {1} {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ {B} S_ {B}}}} + {\ frac {1} {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S_ {C}}}} = {\ frac {1} {R_ {thA}}} + {\ frac {1} {R_ {thB}}} + {\ frac {1} {R_ {thC }}}}
Gösteri
Her eleman için akış, ilişkiye göre ifade edilir
T1-T2=eXλXSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {e_ {X}} {\ lambda _ {X} S}} \ Phi \,}Elektrik benzetmesini alarak
RX=eXλXSX{\ displaystyle R_ {X} = {\ frac {e_ {X}} {\ lambda _ {X} S_ {X}}} \,}nerede eşittir , ya da
bu nedenle biz var
X{\ displaystyle X}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}
ΦAT=T1-T2RAT{\ displaystyle \ Phi _ {A} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {A}}} \,}
ΦB=T1-T2RB{\ displaystyle \ Phi _ {B} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {B}}} \,}
ΦVS=T1-T2RVS{\ displaystyle \ Phi _ {C} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {C}}} \,}
Toplam akış, her bir elemandaki akışların toplamına eşittir
Φ=ΦAT+ΦB+ΦVS{\ displaystyle \ Phi = \ Phi _ {A} + \ Phi _ {B} + \ Phi _ {C} \,}
Φ=(T1-T2)(1RAT+1RB+1RVS){\ displaystyle \ Phi = (T_ {1} -T_ {2}) \ sol ({\ frac {1} {R_ {A}}} + {\ frac {1} {R_ {B}}} + {\ frac {1} {R_ {C}}} \ sağ) \,}
S toplam alan olsun
S=SAT+SB+SVS{\ displaystyle S = S_ {A} + S_ {B} + S_ {C} \,}Yüzey akısı daha sonra yazılır
φ=ΦS{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ Phi} {S}} \,}Yine de elektrik yasalarına benzer şekilde, termal direncin tersine bazen termal iletkenlik denir.
VSth=1Rth=1eATλATSAT+1eBλBSB+1eVSλVSSVS=1RthAT+1RthB+1RthVS{\ displaystyle C_ {th} = {\ frac {1} {R_ {th}}} = {\ frac {1} {\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S_ {A}}} } + {\ frac {1} {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ {B} S_ {B}}}} + {\ frac {1} {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S_ {C}}}} = {\ frac {1} {R_ {thA}}} + {\ frac {1} {R_ {thB}}} + {\ frac {1} {R_ {thC }}}}
Elektrik analojisi
Bu nedenle, paralel olarak dirençlerin elektriksel bağlantıları arasında bir benzetme yapmak da mümkündür.
|
|
ben=(1R1+1R2+1R3)ΔU{\ displaystyle I = \ sol ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + {\ frac {1} {R_ {3}}} \ sağ) \ Delta U \,}
|
Φ=(1Rth1+1Rth2+1Rth3)ΔT{\ displaystyle \ Phi = \ sol ({\ frac {1} {R_ {th1}}} + {\ frac {1} {R_ {th2}}} + {\ frac {1} {R_ {th3}}} \ sağ) \ Delta T \,}
|
Basit silindirik yüzey
Tek tüp, tek bir homojen malzemeden yapılmıştır. Tüpün her yüzeyinde sıcaklık homojendir. Borunun kenar etkilerinden arınmış olması için sonsuz uzunluğa sahip olduğu düşünülmektedir.
Sıcaklık değişimi şöyle yazılır:
T1-T2=Φ2πλLln(R2R1){\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \, \ lambda \, L}} \ ln \ sol ({\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} \ sağ)}
Gösteri
Boruyu oluşturan malzemenin içindeki bir dR varyasyonunu düşünürsek, Fourier yasası şu şekilde ifade edilir:
Φ=-λSdTdR{\ displaystyle \ Phi = - \ lambda \, S \, {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} R}}}(sabit durum varsayımı aslında silindirdeki ısı akışının sabit olmasını ve dolayısıyla seçilen konumdan bağımsız olmasını sağlar)
Φ{\ displaystyle \ Phi}
Tüp kalınlığında sıcaklık değişimi
S bir silindirin yüzeyi olsun:
S=2πRL{\ displaystyle S = 2 \ pi RL \,}Fourier yasasını şu şekilde yazabiliriz:
Φ=-λ2πRLdTdR{\ displaystyle \ Phi = - \ lambda 2 \ pi RL {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} R}} \,}dRR=-2πλLdTΦ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} R} {R}} = - {\ frac {2 \ pi \ lambda L \ mathrm {d} T} {\ Phi}} \,}∫R1R2dRR=-2πλLΦ∫T1TdT{\ displaystyle \ int _ {R_ {1}} ^ {R_ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} R} {R}} = - {\ frac {2 \ pi \ lambda L} {\ Phi }} \ int _ {T_ {1}} ^ {T} \ mathrm {d} T \,}lnR2R1=2πλLΦ(T1-T){\ displaystyle \ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} = {\ frac {2 \ pi \ lambda L} {\ Phi}} (T_ {1} -T) \,}Malzemedeki sıcaklık değişimi bu nedenle
T=T1-Φ2πλLlnRR1{\ displaystyle \ T = T_ {1} - {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda L}} \ ln {\ frac {R} {R_ {1}}} \,}Borunun tüm kalınlığı boyunca varyasyon şu şekildedir:
T1-T2=Φ2πλLlnR2R1{\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda L}} \ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} \, }
Eş merkezli silindirik yüzeyler
Eş merkezli boru, eş merkezli katmanlar halinde düzenlenmiş tüplerden oluşur. Tüpler arasındaki temasın mükemmel olduğu düşünülmektedir. Tüpün her yüzeyinde sıcaklık homojendir. Borunun kenar etkilerinden arınmış olması için sonsuz L uzunluğuna sahip olduğu kabul edilir.
Borunun toplam direnci, serilerden oluşan duvar gibi bir "seri" tip kanuna göre ifade edilir:
RthT=RthAT+RthB{\ displaystyle \ R_ {thT} = R_ {thA} + R_ {thB}}
Gösteri
İlk katmanda sıcaklık değişimi:
T1-T2=Φ2πλATLlnR2R1{\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda _ {A} L}} \ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1} }} \,}İkinci katmanda sıcaklık değişimi:
T2-T3=Φ2πλBLlnR3R2{\ displaystyle \ T_ {2} -T_ {3} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda _ {B} L}} \ ln {\ frac {R_ {3}} {R_ {2} }} \,}Borunun tüm kalınlığı boyunca:
T1-T3=Φ2πL(lnR2R1λAT+lnR3R2λB){\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {3} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi L}} \ sol ({\ frac {\ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1 }}}} {\ lambda _ {A}}} + {\ frac {\ ln {\ frac {R_ {3}} {R_ {2}}}} {\ lambda _ {B}}} \ sağ) \ ,}A katmanının ısıl direnci
RthAT=lnR2R1λAT2πL{\ displaystyle \ R_ {thA} = {\ frac {\ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}}} {\ lambda _ {A} {2 \ pi L}}} \,}B tabakasının ısıl direnci
RthB=lnR3R2λB2πL{\ displaystyle \ R_ {thB} = {\ frac {\ ln {\ frac {R_ {3}} {R_ {2}}}} {\ lambda _ {B} {2 \ pi L}}} \,}Borunun toplam direnci, serilerden oluşan duvar gibi bir "seri" tip kanuna göre ifade edilir:
RthT=RthAT+RthB{\ displaystyle \ R_ {thT} = R_ {thA} + R_ {thB} \,}
Dinamik rejimde iletim
Dinamik rejimde ısı denkleminin çözünürlüğü çok daha hassastır. Fourier dönüşümleri , evrişim çarpımı ve dağılımları kavramlarını kullanır . Bazı çözüm örnekleri veriyoruz.
Sınırsız alan durumu
Genel prensip
Isı denklemini şu şekilde yazalım:
∂T∂t-D∇2T=P{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi t}} - D \ nabla ^ {2} T = P}burada D, termal yayılma katsayısıdır ve burada P, ısı kaynaklarından ısıtmayı (K / s cinsinden) temsil eder. P, zamanın bir fonksiyonu ve ısı kaynağının konumu olabilir, aynı zamanda bir dağılım da olabilir . Örneğin, bir ısı miktarının anlık ve noktasal enjeksiyonu, t = 0 zamanında bir Dirac dağılımının çarpımı ile x = 0'da bir Dirac dağılımı ile temsil edilebilir; x, tek boyutlu bir problem durumunda apsisdir. veya genel durumda konum vektörü.
δ(t)δ(x){\ displaystyle \ delta (t) \ delta (x)}
Ayrıca kendimize etki alanının başlangıç durumunu veriyoruz , bu aynı zamanda x'in bir fonksiyonu veya bir dağılım da olabilir.
T0=T(0,x){\ displaystyle T_ {0} = T (0, x)}
Çözüm yöntemi şunlardan oluşur:
- diferansiyel denklemin tüm terimlerine x değişkenine göre bir Fourier dönüşümü uygular. Bu, x'e göre türetmeyi bir ürünle dönüştürür. Eğer alırsak , denklem şöyle olur:F(T)(p,t)=∫T(x,t)tecrübe(-2benπpx)dx{\ displaystyle F (T) (p, t) = \ int T (x, t) \ exp (-2i \ pi px) dx}
∂F(T)∂t+D4π2p2F(T)=F(P){\ displaystyle {\ frac {\ kısmi F (T)} {\ kısmi t}} + D4 \ pi ^ {2} p ^ {2} F (T) = F (P)}
veya daha doğrusu, dağıtımlar anlamında, başlangıç koşulunu hesaba katmak için:
∂F(T)∂t+D4π2p2F(T)=F(P)+F(T0)δ(t){\ displaystyle {\ frac {\ kısmi F (T)} {\ kısmi t}} + D4 \ pi ^ {2} p ^ {2} F (T) = F (P) + F (T_ {0}) \ delta (t)}
(∂δ(t)∂t+4π2Dp2δ(t))∗F(T)=F(P)+F(T0)δ(t){\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ kısmi \ delta (t)} {\ kısmi t}} + 4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} \ delta (t) \ sağ) * F (T) = F (P) + F (T_ {0}) \ delta (t)}
F'ye uyguladığımız operatör, t değişkenine göre bir evrişim ürünüdür ;
- değeri gösterilen operatörün karşılığını uygulayın , burada H Heaviside fonksiyonudur , sonuçta:H(t)tecrübe(-4π2Dp2t){\ displaystyle H (t) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t)}
F(T)=F(P)∗H(t)tecrübe(-4π2Dp2t)+F(T0)H(t)tecrübe(-4π2Dp2t).{\ displaystyle F (T) = F (P) * H (t) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t) + F (T_ {0}) H (t) \ exp ( -4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t).}Eğer F ( P ) bir fonksiyonu ve bir dağıtım bu ilişki için, olur t > 0:
F(T)=∫0tF(P)(τ)tecrübe(-4π2Dp2(t-τ))dτ+F(T0)tecrübe(-4π2Dp2t){\ displaystyle F (T) = \ int _ {0} ^ {t} F (P) (\ tau) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} (t- \ tau)) d \ tau + F (T_ {0}) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t)}- T'yi türetmek için ters Fourier dönüşümünü almak .
Özel durum
Alırsak ve (belirli bir noktada anında ısı enjeksiyonu yaparsak ), yukarıda açıklanan yöntem şunlara yol açar:
T0=0{\ displaystyle T_ {0} = 0}P=δ(t)δ(x){\ displaystyle P = \ delta (t) \ delta (x)}
F(P)=δ(t){\ displaystyle F (P) = \ delta (t)}bu nedenle, t> 0 için:
F(T)=tecrübe(-4π2Dp2t){\ displaystyle F (T) = \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t)}ters Fourier dönüşümü olan t> 0 için:
T=tecrübe(-x24Dt)2πtD{\ displaystyle T = {\ frac {\ exp \ sol (- {\ frac {x ^ {2}} {4Dt}} \ sağ)} {2 {\ sqrt {\ pi tD}}}}} tek boyutlu durumda;
T=tecrübe(-r24Dt)8πtD3{\ displaystyle T = {\ frac {\ exp \ sol (- {\ frac {r ^ {2}} {4Dt}} \ sağ)} {8 {\ sqrt {\ pi tD}} ^ {3}}} } üç boyutlu durumda.
Isı kaynağı olmadan sınırsız alan
Isı kaynağı olmadan kendimize sadece ortamın başlangıç sıcaklığını verirsek (P = 0), o zaman şunu buluruz:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T=12πtD∫-∞+∞tecrübe(-(x-sen)24tD)T0(sen)dsen{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi tD}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ exp \ left (- {\ frac {(xu ) ^ {2}} {4tD}} \ sağ) T_ {0} (u) \, du} tek boyutlu durumda.
T=18πtD3∫R3tecrübe(-(r-s)24tD)T0(r)dxsdysdzs{\ displaystyle T = {\ frac {1} {8 {\ sqrt {\ pi tD}} ^ {3}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ exp \ left (- {\ frac {(rs) ^ {2}} {4tD}} \ sağ) T_ {0} (r) \, dx_ {s} dy_ {s} dz_ {s}} üç boyutlu durumda.
Isı kaynağı olmayan sınırlı alan durumu
Bir uçakla sınırlı alan durumu. Kelvin sorunu
X = 0 düzlemi ile sınırlı alanı varsayalım. Kendimize ek sınır koşulu olarak T (0, t) = 0 verirsek, o zaman başlangıç sıcaklık dağılımını x ve önceki sonucu uygulayın.
T0{\ displaystyle T_ {0}}
En meşhur vaka Kelvin problemidir . Toprak sabit bir sıcaklıkta, başlangıçta olduğu 1860'larda olarak ikinci düzeninin 3000 ° C ve basit iletim yöntemine göre soğutmalı. Sıcaklık gradyanının mevcut değerini derinliğin bir fonksiyonu olarak kullanarak, Dünya'nın yaşının bir tahminini çıkardı . Önceki çözünürlük yöntemini, Dünya'yı yüzey düzlemiyle sınırlı, düz ve sonsuz derinlikte kabul ederek uygulayabiliriz. Hesaplama şunlara yol açar:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T=T0πtD∫0xtecrübe(-sen24tD)dsen=T0erf(x2Dt){\ displaystyle T = {\ frac {T_ {0}} {\ sqrt {\ pi tD}}} \ int _ {0} ^ {x} \ exp \ left (- {\ frac {u ^ {2}} {4tD}} \ sağ) \, du = T_ {0} \, {\ rm {erf}} \ left ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {Dt}}}} \ sağ)}erf'in Gauss hata fonksiyonu olduğu söylenir .
Yüzeydeki sıcaklık gradyanı:
∂T∂x=T0πtD{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi x}} = {\ frac {T_ {0}} {\ sqrt {\ pi tD}}}}:
Bilmek yaklaşık 3 ° C derinliği ve D, 100 metre 10 olarak tahmin -6 m 2 s -1 , bunun bulmak 100 milyon yıl değer. Bu sonuç büyük ölçüde küçümseniyor çünkü Kelvin , Dünya'nın mantosundaki konveksiyon fenomenini görmezden geldi .
∂T∂x{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi x}}} t{\ displaystyle t}
İki paralel düzlemle sınırlanmış bir alan durumu
X = 0 ve x = L olmak üzere iki düzlemle sınırlı bir alan düşünün. Kendimizi sınır koşulları olarak T (0, t) = T (L, t) = 0 olarak verdiğimizi varsayalım. T'yi şu şekilde arayarak Fourier serisine dayalı bir çözünürlük yöntemi kullanıyoruz :
T=∑değil=1∞bdeğilgünah(değilπxL)tecrübe(-Ddeğil2π2tL2){\ displaystyle T = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin \ sol (n \ pi {\ frac {x} {L}} \ sağ) \ exp \ sol (- { \ frac {Dn ^ {2} \ pi ^ {2} t} {L ^ {2}}} \ sağ)}Bu ifade hem ısı denklemini hem de sınır koşullarını kontrol eder. Başlangıçtaki sıcaklık dağılımını kendimize verirsek , bunları belirlemek için onu Fourier serilerinde geliştirmek yeterlidir .
T0{\ displaystyle T_ {0}}bdeğil{\ displaystyle b_ {n}}
Örneğin, sabit alırsak şunu elde ederiz:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T=4T0π∑değil=0∞12değil+1günah((2değil+1)πxL)tecrübe(-D(2değil+1)2π2tL2){\ displaystyle T = {\ frac {4T_ {0}} {\ pi}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} \ sin \ sol ({ \ frac {(2n + 1) \ pi x} {L}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {D (2n + 1) ^ {2} \ pi ^ {2} t} {L ^ {2}}} \ sağ)}L'yi sonsuza doğru yönelterek, önceki paragrafın Kelvin çözümünü buluruz , önceki toplam , integrale yakınsayan bir Riemann toplamı olarak kabul edilir .
Küresel geometriye sahip bir alan durumu
Yayılımın küresel bir alanda yapıldığı ve sıcaklığın sadece merkezdeki r mesafesine bağlı olduğu durumda , Laplacian'ın küresel ifadesini hesaba katarak ısı denklemi olur :
∂T∂t=D(2r∂T∂r+∂2T∂r2){\ displaystyle {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi t}} = D \ sol ({\ frac {2} {r}} {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi r}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} T} {\ kısmi r ^ {2}}} \ sağ)}Poz verirsek , denklem şöyle olur:
F=rT{\ displaystyle F = rT}
∂F∂t=D∂2F∂r2{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi F} {\ kısmi t}} = D {\ frac {\ kısmi ^ {2} F} {\ kısmi r ^ {2}}}}Daha sonra F'yi belirlemek için önceki yöntemleri uygulayabilir ve ardından r'ye bölerek T'yi çıkarabiliriz .
Bu nedenle, R yarıçaplı bir top durumunda Kelvin probleminin çözümü (başlangıç sıcaklığı eşit olarak eşittir , yüzey sıfır sıcaklıkta tutulur) aşağıdaki T ifadesine yol açar:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T(r,t)=2T0∑değil=1∞(-1)değil+1sbendeğilvs(değilπrR)tecrübe(-Ddeğil2π2tR2){\ displaystyle T (r, t) = 2T_ {0} \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} \, {\ rm {sinc}} \ sol (n \ pi {\ frac {r} {R}} \ sağ) \ exp \ left (- {\ frac {Dn ^ {2} \ pi ^ {2} t} {R ^ {2}}} \ sağ)}sinc, kardinal sinüs fonksiyonudur .
Isı kaynaklı sınırlı alan durumu
Denklemi düşünüyoruz:
∂T∂t-D∇2T=P{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi t}} - D \ nabla ^ {2} T = P}P sıfır değil. Genellikle bu denklem için özel bir çözüm ararız, böylece T'den çıkarıldığında kendimizi ikinci bir üye olmayan bir denkleme indirgeyebiliriz. Burada, P'nin konum ve zamandan bağımsız olarak sabit bir ısı kaynağı yoğunluğunu temsil ettiği durumda bazı örnekler verilmiştir.
İki paralel düzlemle sınırlanmış alan
X = 0 ve x = L olmak üzere iki düzlemle sınırlı bir alan düşünün . İlk anda, alanın sıcaklığının sıfır referans sıcaklığa eşit olduğu ve alanın kenarlarının bu sıfır sıcaklıkta kalıcı olarak kalacağı varsayılır. T bu nedenle şunları doğrular:
∂T∂t-D∂2T∂x2=P{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi t}} - D {\ frac {\ kısmi ^ {2} T} {\ kısmi x ^ {2}}} = P}
Herhangi bir pozitif t için T (0, t ) = T (L, t ) = 0 .
0 ile L arasındaki tüm x'ler için T ( x , 0) = 0
Bağımsız işlev ait t tatmin ilk iki ilişkileri, böylece biz ayarlarsanız , daha sonra G tatmin:
Px(L-x)2D{\ displaystyle {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}G=T-Px(L-x)2D{\ displaystyle G = T - {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
∂G∂t-D∂2G∂x2=0{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi G} {\ kısmi t}} - D {\ frac {\ kısmi ^ {2} G} {\ kısmi x ^ {2}}} = 0}
G(0,t)=G(L,t)=0{\ displaystyle G (0, t) = G (L, t) = 0}
G(x,0)=-Px(L-x)2D{\ displaystyle G (x, 0) = - {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
Yukarıda görülen yöntemi G'yi bir dizi şeklinde arayarak uygulayabiliriz :
G=∑değil=1∞bdeğilgünah(değilπxL)tecrübe(-değil2π2DtL2){\ displaystyle G = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin \ sol ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ sağ) \ exp \ sol (- { \ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {L ^ {2}}} \ sağ)}ilk iki ilişkiyi kontrol eden. Simetri nedenlerinden ötürü, n çift olduğunda katsayıların sıfır olduğunu varsayabiliriz , öyle ki:
G(x)=G(L-x){\ displaystyle G (x) = G (Lx)}bdeğil{\ displaystyle b_ {n}}
G=∑değil=0∞b2değil+1günah((2değil+1)πxL)tecrübe(-(2değil+1)2π2DtL2){\ displaystyle G = \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {2n + 1} \ sin \ sol ({\ frac {(2n + 1) \ pi x} {L}} \ sağ) \ exp \ left (- {\ frac {(2n + 1) ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {L ^ {2}}} \ sağ)}:
T = 0 için şunlara sahibiz:
-Px(L-x)2D=∑değil=0∞b2değil+1günah((2değil+1)πxL){\ displaystyle - {\ frac {Px (Lx)} {2D}} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {2n + 1} \ sin \ sol ({\ frac {(2n + 1 ) \ pi x} {L}} \ sağ)}:
Onları bulmak geliştirerek içinde Fourier serilerinin . Bulduk :
b2değil+1{\ displaystyle b_ {2n + 1}}-Px(L-x)2D{\ displaystyle - {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
b2değil+1=-4PL2(2değil+1)3π3D{\ displaystyle b_ {2n + 1} = - {\ frac {4PL ^ {2}} {(2n + 1) ^ {3} \ pi ^ {3} D}}}Dolayısıyla G, sonra nihayet:
T=Px(L-x)2D-4PL2Dπ3∑değil=0∞1(2değil+1)3günah((2değil+1)πxL)tecrübe(-(2değil+1)2π2DtL2){\ displaystyle T = {\ frac {Px (Lx)} {2D}} - {\ frac {4PL ^ {2}} {D \ pi ^ {3}}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) ^ {3}}} \ sin \ left ({\ frac {(2n + 1) \ pi x} {L}} \ right) \ exp \ left ( - {\ frac {(2n + 1) ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {L ^ {2}}} \ sağ)}Tüm T sonsuza eğilimi, etki sıcaklığı doğru meyleder , iki kenarı ile ısı tahliyesi ile denge içinde daha sonra olmak ortam içinde termal ısıtma.
Px(L-x)2D{\ displaystyle {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
Bir planla sınırlı alan
X > 0'ın olduğu durumda aynı sorunun çözümü T'nin şu şekilde belirlenmesinden oluşur:
∂T∂t-D∂2T∂x2=P{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi t}} - D {\ frac {\ kısmi ^ {2} T} {\ kısmi x ^ {2}}} = P}
Herhangi bir pozitif t için T (0, t ) = 0 .
Tüm x > 0 için T ( x , 0) = 0.
Çözümü , seriyi bir Riemann toplamına asimile ederek , bir önceki paragrafta verilen ifadede L'yi sonsuza doğru yönelterek elde edebiliriz . Daha sonra aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
T=-Px22D+Px22Derf(x2Dt)+PxtDπtecrübe(-x24Dt)+Pterf(x2Dt){\ displaystyle T = - {\ frac {Px ^ {2}} {2D}} + {\ frac {Px ^ {2}} {2D}} \, {\ rm {erf}} \ sol ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {Dt}}}} \ right) + {\ frac {Px {\ sqrt {t}}} {\ sqrt {D \ pi}}} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {4Dt}} \ sağ) + Pt \, {\ rm {erf}} \ left ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {Dt}}}} \ sağ)}erf, Gauss hata işlevi olarak bilinen işlevdir . Ayrıca elde edilen yöntemi uygulayarak, bu ifade bulabilirsiniz genel ilke tek fonksiyonlar fonksiyonları, T ve P, de bütün alana genişletilebilir sonra, sınırsız bir etki ile ilgili x T'de kaybolur, böylece, x = 0.
Tüm T sonsuza eğilimi T yaklaşık olarak U eşittir t sonsuz domeninin edilene, benzer. Tek kenar ısıyı dağıtmak için yeterli değildir.
Küresel geometri alanı
Kenarı R yarıçaplı bir alan olan bir alan söz konusu olduğunda, biri küresel olarak Laplacian'ın ifadesini kullanır ve biri çözülmek üzere getirilir:
∂T∂t=D(2r∂T∂r+∂2T∂r2)+P{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi t}} = D \ sol ({\ frac {2} {r}} {\ frac {\ kısmi T} {\ kısmi r}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} T} {\ kısmi r ^ {2}}} \ sağ) + P}
Tüm t için , T (R, t ) = 0
Tüm r için , T ( r , 0) = 0
G, poz vererek sistemi doğrular:
G=rT+r3P-rR2P6D{\ displaystyle G = rT + {\ frac {r ^ {3} P-rR ^ {2} P} {6D}}}
∂G∂t=D∂2G∂r2{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi G} {\ kısmi t}} = D {\ frac {\ kısmi ^ {2} G} {\ kısmi r ^ {2}}}}
Tüm t için , G (R, t ) = 0
Tüm r için ,
G(r,0)=r3P-rR2P6D{\ displaystyle G (r, 0) = {\ frac {r ^ {3} P-rR ^ {2} P} {6D}}}
Fourier serisi yöntemi, G'yi bir dizi biçiminde aramayı önerir ; burada bir Fourier serisine genişleyerek bulunur . Elde ederiz :
∑değil=1∞bdeğilgünah(değilπrR)tecrübe(-değil2π2DtR2){\ displaystyle \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin \ sol ({\ frac {n \ pi r} {R}} \ sağ) \ exp \ sol (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {R ^ {2}}} \ sağ)}bdeğil{\ displaystyle b_ {n}}r3P-rR2P6D{\ displaystyle {\ frac {r ^ {3} P-rR ^ {2} P} {6D}}}
G=2PR3Dπ3∑değil=1∞(-1)değildeğil3günah(değilπrR)tecrübe(-değil2π2DtR2){\ displaystyle G = {\ frac {2PR ^ {3}} {D \ pi ^ {3}}} \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} } {n ^ {3}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi r} {R}} \ sağ) \ exp \ left (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2 } Dt} {R ^ {2}}} \ sağ)}:
ve bu yüzden :
T=R2P-r2P6D+2PR2Dπ2∑değil=1∞(-1)değildeğil2sbendeğilvs(değilπrR)tecrübe(-değil2π2DtR2){\ displaystyle T = {\ frac {R ^ {2} Pr ^ {2} P} {6D}} + {\ frac {2PR ^ {2}} {D \ pi ^ {2}}} \ toplam _ { n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {2}}} {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {n \ pi r} { R}} \ sağ) \ exp \ sol (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {R ^ {2}}} \ sağ)}sinc, kardinal sinüs fonksiyonudur .
Tüm T sonsuza eğilimi, Ti sıcaklığı sınırı dağılımı eğilimi gösterir .
R2P-r2P6D{\ displaystyle {\ frac {R ^ {2} Pr ^ {2} P} {6D}}}
Notlar ve referanslar
Notlar
-
vadeli sistemi bir gövde veya ısı değişimleri gerçekleşecek organları bir dizi atar.
-
elmas önemli bir istisnadır: rijit kristal kafes titreşim birçok nicelenmiş modu vardır. Sonuç olarak, elmas hem çok düşük bir ısı kapasitesine hem de yüksek bir termal iletkenliğe sahiptir .
-
Genellikle sıfırdır (örneğin duvarların yüzeyinde ısı birikintileri olması durumunda), ancak olmadığı birçok durumu belirtebiliriz; diğerlerinin yanı sıra, nükleer yakıt içinde iletim yoluyla ısı transferi çalışması veya yarı saydam malzemelerdeki ışık veya mikrodalgaların emilmesi, vb.
-
Sıcak malzemeleri yüzeye yaklaştıran konveksiyon, belirli bir süre sonra yüzeye yakın sıcaklık gradyanı konveksiyon durumunda kondüksiyona göre daha yüksektir. Sonuç olarak, belirli bir gradyana yol açan soğutma süresinin, iletim durumunda konveksiyona göre daha kısa olacağı tahmin edilecektir. Bkz. İngiltere P, Molnar P, Richter F, Kelvin, Perry and the Age of the Earth , Pour la Science , Şubat 2008, s. 32-37 , bir American Scientist makalesinden çevrilmiştir . İkinci ve daha marjinal bir hata kaynağı, Kelvin'in radyoaktivite nedeniyle enerji kaynağı terimini de ihmal etmesinden kaynaklanmaktadır.
Referanslar
-
José-Philippe Pérez ve AM Romulus, Termodinamik. Temeller ve uygulamalar , Paris, Masson ,1993, s. 153.
-
Pérez ve Romulus 1993 , s. 158
-
Pérez ve Romulus 1993 , s. 160
-
Bkz. Wiedemann ve Franz Law .
-
Joseph Fourier , Analitik Isı Teorisi ,1822[ basımların ayrıntıları ], Edward Leroy, " Isı denklemlerinin entegrasyonu üzerine " Asens , 3 E serisi, t. 14,1897, s. 379-465 ( çevrimiçi okuyun )ve harici bağlantılar ( aşağıya bakın ).
-
Fourier'den kaçan ısı akışları, Pour la Science n o 494 Aralık 2018 s. 63 .
-
(inç) Yuan Dong Nanosistemlerde Fourier Olmayan Isı İletiminin Dinamik Analizi , Springer ,2016( çevrimiçi okuyun )
-
O. Bourgeois, D. Tainoff N. Mingo, Vermeersch B. ve JL Barrat, " Fourier The'den kaçan ısı akışı " For Science , n o 494,2008, s. 58-65.
-
(De) RE Peierls , " Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen " , Annalen der Physik , cilt. 3,1929, s. 1055–1101
-
(inç) Ingo Müller ve Tommaso Ruggeri, Rational Extended Thermodynamics , cilt. 37, Springer , gün. "Doğa Felsefesinde Bahar Yolları",1998( ISBN 978-1-4612-7460-5 )
-
(inç) Michael M. Modest , Radiative Heat Transfer , Academic Press ,2003( ISBN 0-12-503163-7 )
-
(It) Carlo Cattaneo , " Sulla conduzione del calore " , Atti del Seminario Matematico ve Fisico dell 'Universita di Modena e Reggio Emilia , cilt. 3,1948, s. 83–101
-
P. Vernotte, " Isı denkleminin sürekli teorisinin paradoksları ", Bilimler Akademisi Bildirileri , cilt. 246, 1958 1958, s. 3154-3155
-
(in) Yoseph Imry, Mezoskopik Fiziğe Giriş , Oxford University Press ,2002( ISBN 0-19-850738-0 , çevrimiçi okuyun )
-
(in) JB Pendry , " Quantum Limits to the Flow of Information and Entropy " , Journal of Physics A: Mathematical and General , Cilt. 16, n o 10,1983, s. 2161-2171 ( çevrimiçi okuyun )
-
(inç) K. Schwab, EA Enriksen, JM Worlock ve ML Roukes, " Termal İletkenlik Kuantum Ölçümü " , Doğaya Mektuplar , cilt. 404,2000, s. 974-977 ( çevrimiçi okuyun )
-
Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t. 6: Akışkanlar mekaniği [ basımların ayrıntıları ].
-
Laurent Schwartz , Fiziksel Bilimler için Matematiksel Yöntemler , Hermann , 1965.
-
Jean-Louis Le Mouël, Dünya'nın soğuma , 196 inci Bütün Bilgi Üniversitesi Konferansı 2000, 14 Temmuz [1] veya [2]
-
John Perry, On the age of earth , 51 , Nature (7 Şubat 1895), 341-342
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">