Harmonik fonksiyon

In matematik , bir harmonik fonksiyon bir olduğunu işlev tatmin olduğunu Laplace denklemi .

Harmonik fonksiyonlarla ilgili klasik bir problem Dirichlet problemidir : bir açık sınırında tanımlanan sürekli bir fonksiyon verildiğinde , açıklığın herhangi bir noktasında harmonik olan bir fonksiyonla onu genişletebilir miyiz?

Tanım

Let $U olabilir$ ℝ açık grubu $n$ . Bir iki kez türevlenebilir haritası $f : U$ → ℝ üzerinde harmonik olduğu söylenir $U$ ise

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x_ {2} ^ { 2}}} + \ cdots + {\ frac {\ kısmi ^ {2} f} {\ kısmi x_ {n} ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}

veya (burada büyük Yunanca harf delta, Laplacian operatörünü temsil eder ):

{\ displaystyle \ Delta f = 0}

Böyle bir işlev otomatik olarak C ∞ sınıfındadır .

ℂ üzerindeki harmonik fonksiyon

ℂ'yi ℝ 2 ile tanımlayarak , harmonik fonksiyonların holomorfik fonksiyonlarla çok ilişkili olduğunu göreceğiz .

Gerçek kısım ℂ açık sette bir holomorfik veya anti-Holomorfik fonksiyonun harmonik olduğunu.

Bu özelliğin tersi yanlıştır, öte yandan elimizde:

Ω basitçe bağlantılı açık bir ℂ kümesi olsun; Ω üzerindeki herhangi bir harmonik fonksiyon, Ω üzerindeki holomorfik fonksiyonun gerçek kısmıdır.

İlgili Makaleler