Sembolik dinamikler

In matematik , sembolik dinamikleri çalışma dalıdır dinamik sistemlerin . Bu bir sistem incelenmesinden oluşmaktadır bölünmesine bölgelerin sonlu sayıda duruma alanı ve sistemin evrimi sırasında geçilen bölgelerin muhtemel dizileri ilgilenen kalarak. Her bölgeyle bir sembol ilişkilendirirsek, her bir yörünge ile bir (sonsuz) bir dizi sembol, dolayısıyla "sembolik dinamikler" adını ilişkilendirebiliriz.

Sembolik yörüngeler elbette sadece gerçek yörüngelerin bir yaklaşımıdır, ancak gerçek sistemin geçişlilik , tekrarlama veya entropi gibi belirli özelliklerini yansıtabilirler .

Alana genel bir giriş Lind ve Marcus'ta (1995) bulunabilir . Öncü makaleler arasında Morse ve Hedlund (1938) ve Hedlund (1969) sayılabilir . Ethan M. Coven ve Zbigniew H. Nitecki (2008) , özerk bir disiplin olarak sembolik dinamiklerin gerçekten Hedlund'un (1944) makalesi ile başladığını düşünür .

Misal

Bu yaklaşımı gösteren basit bir örnek fırıncının dönüşümüdür . Bir hamurun bir fırıncı tarafından yoğurulmasını modelleyen tek boyutlu bir sistemdir: Fırıncı, hamuru uzunluğunu iki katına çıkarana kadar uzatır, ardından başlangıç uzunluğunu bulmak için kendi üzerine katlar ve işlemi yineler. Bu dönüşümden genellikle kaotik bir sistem örneği olarak bahsedilir, çünkü bu yoğurma işlemi sırasında hamurun içine yerleştirilen bir fasulyenin yörüngesi başlangıç koşullarına duyarlıdır .

Hamuru aralıkta tanımlarsak, bu dönüşümü herhangi bir başlangıç pozisyonu ile yoğurma adımından sonraki bir pozisyonu ilişkilendiren bir fonksiyon olarak görebiliriz . $[0; 1]$ ${\ displaystyle \ scriptstyle T: [0; 1] \ rightarrow [0; 1]}$ $x$ $T (x)$

İki aralıklar halinde sistemin uzay bölümü ise ve , herhangi bir yörüngeye sahip ilişkilendirebilir bir sekans arasında ve başlangıçta pozisyonda yerleştirilir ise fasulye bulunmaktadır aralığın içinde her adımda gösterir . ${\ displaystyle I_ {0} = [0; 1/2 [}$ ${\ displaystyle I_ {1} = [1/2; 1]}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bigl (} T ^ {n} (x) {\ bigr)} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $X$ ${\ displaystyle 0}$ $1$ $x$

Bu durumda, sembolik sistemin bize gerçek sistemi mükemmel bir şekilde anlattığını görmek zor değil: dizi , gerçeğin ikili gelişimiyle örtüşüyor (eğer 1 sayısı elde edilene kadar n'inci basamağı ters çevirerek - tuhaf var). Özellikle, sistemin başlangıç koşullarına duyarlılık açıkça ortaya çıkmaktadır, çünkü hamurun hangi yarısının aşamalardan sonra çekirdek olduğunu bilmek için, başlangıç konumunun ikili gelişiminin n'inci rakamını bilmek gerekir. $X$ $x$ $değil$

Sembolik dinamikler sadece bu tür temel sistemler için geçerli değildir: Hadamard (1898) bu yaklaşımı negatif eğriliği olan yüzeylerdeki jeodezik akışları incelemek için kullanır .

Tanımlar

Vardiya operatörü ( shift İngilizce) tümüne sonsuz kelime için, tanımlanır $\ sigma$

x = a_0a_1 \ cdots a_n \ cdots

vasıtasıyla

\ sigma (x) = a_1 \ cdots a_n \ cdots

Aynı tanım iki taraflı sonsuz sözcükler için de geçerlidir. Bu durumda, bir bijeksiyondur. Ofset operatörü, Cantor'un topolojisi için sürekli bir işlevdir . $\ sigma$

Bir sembolik dinamik sistem (İngilizce subshift veya vardiya uzay alfabesi üzerine) bir olduğu üzerinde sonsuz kelimelerin boş olmayan kümesi olan $AT$ $S$ $AT$

vardiya operatörü için kapalı , $\ sigma$
topoloji için kapalı.

Aynı tanım iki taraflı sonsuz sözcükler için de geçerlidir.

Karakterizasyon

Bir dizi sonsuz kelimelerin üzerinde bir takımı vardır ancak ve ancak dinamik bir sembolik sistem üzerinde sonlu kelimelerin böyle üzerinde sonsuz kelimelerin kümesidir hiçbir faktör içinde olan . Küme , bazen yasaklanmış faktörler kümesi olarak anılır . Setin benzersiz olmadığını unutmayın . $S$ $AT$ $X$ $AT$ $S$ $AT$ $X$ $X$ $X$

Bu karakterizasyon, sembolik dinamik sistemlerin özelliklerinin kombinatoryal özelliklere dönüştürülmesini mümkün kılar.

Set zaman sonlu, dinamik sistem bir denir sonlu tip sistemi ve set zaman bir olan rasyonel dil , sistem bir olduğunu Sofic sistem . $X$ $S$ $X$ $S$

Örnekler

Üzerinde bulunan tüm sonsuz sözcükler kümesine İngilizce'de tam vardiya denir . Sonlu tip bir sistemdir ( yasaklanmış faktörler kümesi boştur). $A ^ \ N$ $AT$ $X$
Ya . Faktörü içermeyen sonsuz kelimeler kümesi, sonlu tipte bir sistemdir. $A = \ {a, b \}$ ${\ displaystyle bb}$
Her zaman açık , en fazla birini içeren kelime kümesi , sonlu tipte olmayan bir karmaşık sistemdir. Yasaklanmış faktörler kümesi rasyonel dildir . $A = \ {a, b \}$ $b$ $X$ ${\ displaystyle ba ^ {*} b}$

Emlak

Dinamik bir sistem, kesinlikle başka bir dinamik sistem içermiyorsa minimumdur .

Morse, her dinamik sistemin minimal bir dinamik sistem içerdiğini kanıtladı.
Dinamik bir sistem üretilen kelime Sonsuz göre kaydırılır grubu topolojik kapaktır . Dinamik bir sistem, ancak ve ancak tekdüze bir şekilde tekrarlayan bir sözcük tarafından üretilen dinamik sistemse minimaldir. ${\ displaystyle Cl (O (x))}$ $x$ $x$
Bir kelime , ancak ve ancak her faktörü bir faktör ise aittir . Böylece, dinamik bir sistem ancak ve ancak minimal için tüm arasında . $y$ ${\ displaystyle Cl (O (x))}$ $y$ $x$ $S$ ${\ displaystyle Cl (O (x)) = S}$ $x$ $S$

Örnekler

Prouhet-Thue-Morse kelimesinin ürettiği sistem minimaldir. Prouhet-Thue-Morse kelimesinin zıttı (harfleri değiştirerek elde edilir), Prouhet-Thue-Morse kelimesinin kendisiyle aynı faktörlere sahiptir. Aynı sistemi üretirler
Her Sturm kelimesi minimal bir sistem oluşturur. Bu sistem, aynı eğime sahip Sturmian kelimelerden oluşur.

Referanslar

Jacques Hadamard , " Zıt eğrili yüzeyler ve bunların jeodezik çizgileri ", Journal of Pure and Applied Mathematics , cilt. 4,1898, s. 27
(en) Douglas Lind ve Brian Marcus, Sembolik Dinamikler ve Kodlamaya Giriş , Cambridge, Cambridge University Press,1995, 495 s. ( ISBN 0-521-55900-6 , çevrimiçi sunum )
(en) M.Lothaire , Cebirsel Kombinatorik Kelimeler Üzerine , Cambridge, Cambridge University Press,2002, 504 s. ( ISBN 0-521-81220-8 , çevrimiçi okuyun ) , "Sonlu ve Sonsuz Kelimeler"
Marston Morse ve Gustav A. Hedlund , " Symbolic Dynamics ", American Journal of Mathematics , cilt. 60, n, o , 4,1938, s. 815–866 ( DOI 10.2307 / 2371264 , JSTOR 2371264 )
Gustav A. Hedlund, " Kayma dinamik sisteminin endomorfizmleri ve otomorfizmaları ", Math. Sistem Teorisi , cilt. 3, n O , 4,1969, s. 30-375 ( çevrimiçi okuyun )
Gustav A. Hedlund, " Sturmian minimal setler ", Amer. J. Math. , cilt. 66,1944, s. 605-620 ( Matematik İncelemeleri 0010792 )

Ethan M. Coven ve Zbigniew H. Nitecki, " Bildiğimiz şekliyle sembolik dinamiklerin doğuşu üzerine ", Colloq. Matematik. , cilt. 110, n o 22008, s. 227-242

Ayrıca görün