Sıska set
Olarak topoloji , bağlamda Baire boşlukların , bir yalın grubu (aynı zamanda İlk kategori ) teknik anlamda, küçük bir boyut olarak kabul edilebilir bir Baire alan bir parçasıdır. Bir comaigre grubu olan tamamlayıcı ince takımı ile ilgilidir. İnce olmayan bir parçanın ikinci kategori olduğu söyleniyor .
Tanım
Bir topolojik uzay E'nin bir alt kümesinin , tümü dahili olarak boş olan E'nin kapalı kısımlarının sayılabilir bir birleşimi içinde bulunduğunda zayıf olduğu söylenir .
Başka bir deyişle, bir alt kümesi E bunun sayılabilir birliktir ancak ve ancak yalın olduğu hiçbir yerde yoğun kümeleri içinde E .
Özellikleri
Ortam alanı E bir Baire uzayı olmadığında kavram " ilgisizdir" . Aslında, E , Baire'den değilse, zayıf bir kısım tüm alana eşit olabilir. Öte yandan, E Baire'den olduğunda , bu alanların tanımı hemen aşağıdaki karakterizasyonu sağlar:
Bir Baire uzayının bir kısmı:
- boş bir iç kısımda tutulduğunda zayıf F σ ;
- yoğun bir G δ içerdiğinde ekşi koma .
Aynı zamanda, sayılabilecek bir sıska buluşmasının sıska olduğu tanımından da anlaşılmaktadır. Bu, belirli bir alt küme kanıtlamak için kullanılan iyi bilinen bir izolasyon tekniği sağlamaktadır P bir (boş olmayan) Baire alan bir E boş değildir: tarif P setlerinin bir dizisinin bir sayılabilir kesişimi olarak p , n biz kanıtlamak mümkün onlar komaigralar. O halde P kümesinin kendisi gelir, E'de yoğundur ve a fortiori boş değildir. Çok daha iyi: eğer D olan , ayrı ve mükemmel bir ( diğer bir deyişle olmadan izole edilmiş nokta ), P olan sayılamaz , ve eğer D a, tamamen metriklenebilir mükemmel olmayan bir boş alan, p hatta sahip en az süreklilik gücünü .
Eğer O açık olan E daha sonra herhangi bir yalın kısmı O (için indüklenen topoloji ) içerisinde yağsız E (herhangi bir yerde yoğun bir parçadır itibaren O olarak hiçbir yoğundur E ).
Örnekler
- Bir gerçek sayılar kümesi ℝ, içinde tam metrik uzay ve bu nedenle Baire uzay, set ℚ rasyonel sayılar (hatta bir olan yalın olan yalın F σ o bir sayılabilir birlik olarak temsil edilebilir beri) tekiz . Bu örnekte, ince bir parçanın ortam uzayında hiçbir yerde yoğun olmaması için hiçbir neden olmadığına dikkat çekiliyor: burada tam tersine ℝ cinsinden yoğun.
- İrrasyonel ℝ \ ℚ kümesinin ince olmadığı sonucuna vardık : eğer öyle olsaydı, ℚ ile yeniden birleşmesi de zayıf olurdu; ancak içi boş olmayan ℝ'ye eşittir, bu nedenle ince değildir.
- Normal sayılar kümesi zayıftır, ancak tamamlayıcısı önemsizdir .
Referanslar
-
Laurent Schwartz , Genel topoloji ve fonksiyonel analiz , Hermann,1970, s. 322-323. İfade "ilgisiz" Bu kaynaktan bir alıntı; dahası, Schwartz yalnızca bir Baire alanı içindeki "yalın küme" terimini tanımlar.
-
(inç) James Dugundji , Topoloji , Boston, Allyn ve Bacon ,1966, 447 s. ( ISBN 978-0-697-06889-7 , çevrimiçi okuyun ) , s. 250tanımın bu alternatif sunumu için. Bu kitapta, ortam topolojik uzayı E ile ilgili özel bir kısıtlama yoktur .
-
Pierre Colmez , Analiz ve cebir unsurları (ve sayı teorisi) , Éditions de l'École Polytechnique,2012, 2 nci baskı., sayfa 223'teki egzersiz 14.3 için düzeltildi.
-
özel durumunda uzay ℕ w tarafından egzersiz V.3.9.b bkz (tr) P. Odifreddi , Klasik Özyineleme Kuramı , Elsevier, argo. "Mantık Çalışmaları ve Matematiğin Temelleri" ( n o 125),1992, 2 nci baskı. ( 1 st ed. 1989) ( çevrimiçi okuma ) , s. 475.
-
Bu örnek, diğer şeylerin yanı sıra, belirtilen, (in) " bir ölçüsüdür sıfır seti qui est kıt yok mu? » , MathOverflow'da .
İlgili Makaleler