Schwartz uzayı

Gelen matematik , Schwartz alan boşluk (bölgesinin azalan fonksiyonların hızla düşen süresiz türevlenebilir fonksiyonları , yanı sıra tüm siparişler bunların türevleri). İkili bu alanın bir alandır ılıman dağılımları . Fourier dönüşümü teorisinde boşluklar ve önemli bir rol oynar . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$

Tanım

Bir $f$ fonksiyonu sonsuza kadar türevlenebilir olduğunda uzayın bir parçasıdır ve eğer $f$ ve tüm türevleri hızla azalıyorsa , yani herhangi bir polinom fonksiyonu tarafından çarpımı sonsuza bağlanır. Ait fonksiyonların azaldığı söyleniyor . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$

İki çoklu endeks için normları şu şekilde tanımlarız : ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alpha, \ beta}}$

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} = \ | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f \ | _ {\ infty}}

burada seviyede bir türevdir ve $f$ . O zaman Schwartz uzayı şu şekilde tanımlanabilir: ${\ displaystyle D ^ {\ beta} f}$ $\beta$

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}) = \ {f \ {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ orta \ forall (\ alpha, \ beta) \ \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} <+ \ infty \}}

Herhangi bir belirsizlik yoksa, alan basitçe harfle temsil edilebilir . ${\ mathcal {S}}$

Özellikleri

Topoloji

Schwartz uzayı, yarı normlar ailesiyle ilişkili ilk topoloji olan ve aşağıdakiler tarafından tanımlanan filtreleme yarı norm ailesiyle ilişkilendirilene eşdeğer olan bir topoloji ile sağlanabilir : $(\ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}) _ {{\ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {N}}}$ $({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {{p \ in \ mathbb {N}}}$

{\ mathcal {N}} _ {p} (.) = \ sum _ {{| \ alpha |, | \ beta | \ leq p}} \ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}, \, p \ in \ mathbb {N}.

Schwartz uzayı, bu topoloji ile sağlanan bir Fréchet uzayıdır . Sayılabilir bir yarı normlar ailesiyle tanımlandığı için, aslında yerel olarak dışbükey , ayrılmış , ölçülebilir bir uzaydır ve tamamlandığı da gösterilmiştir .

Bir sekansın yakınsama ve aşağıdaki gibi, bu nedenle tanımlanır. Bir dizi işlev bir if ve if işlevine birleşir ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi$ $\ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ mathbb için \ mathbb {N} \ quad \ lim _ {{n \ için \ infty}} {\ mathcal {N}} _ {p} (\ phi _ {n} - \ phi) = 0.

Onun topolojik dual uzay olduğu ılıman dağılımları ${\ mathcal {S}} '$ .

Örnekler

Uzay boşluk içeriyorsa ait fonksiyonları C ∞ kompakt desteğiyle . Bu alan, aynı zamanda kaydetti olduğu yoğun içinde yukarıda tanımlanan (güçlü) yakınlaşma duygusu. ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal {D}$ $C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Ayrıca, bir polinomun ve bir Gaussianın çarpım formunun fonksiyonları gibi diğer unsurları da içerir:

x \, {\ mathcal {S}} içinde x ^ {\ alpha} e ^ {{- a \ | x \ | ^ {2}}} \ 'ye eşler

herhangi bir çoklu indeks α ve herhangi bir gerçek için .

a> 0

Uzay , $1 \leq$ $p$ $\leq + \infty$ için farklı $L$ $p$ uzaylarının bir vektör alt uzayıdır . Ayrıca, $L$ $\infty$ hariç, bu kümelerin her birinde yoğundur . ${\ mathcal {S}}$

Schwartz uzay operasyonları

Alan , dahili toplama ve türetme yoluyla kararlıdır ve bu işlemler sürekli operatörleri tanımlar. ${\ mathcal {S}}$
Uzay , dahili çarpma yoluyla veya herhangi bir fonksiyonuyla çarpma yoluyla bile kararlıdır. Özellikle, bir polinom fonksiyonuyla çarpma yoluyla kararlıdır. Herhangi bir işlevi için , tarafından tanımlanan operatör kendi içinde süreklidir . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ $f$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ mapsto f \ phi$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Çarpanları :

{\ mathcal {S}}

Çarpanlarının uzayını , tüm türevleri polinom büyümesi olan fonksiyonların alt kümesi olarak tanımlıyoruz , yani ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall \ alpha \ in (\ mathbb {N} ^ {N}) \ quad \ var C _ {\ alpha}> 0, \ var N _ {\ alpha} \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ Mathbb'de \ {R} ^ {N} \ quad | (\ kısmi ^ {\ alpha} f) (x) | \ leq C _ {\ alpha} (1+ | x |) ^ {{N _ {\ alfa}}}.

Yavaş büyüyen sonsuza kadar türevlenebilir fonksiyonlar uzayına diyoruz . ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Fourier dönüşümü bir indükler topolojik otomorfizm arasında . Bu otomorfizm tarafından verilir ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}}$ $\ left ({\ mathcal {F}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) {{\ rm {e} }} ^ {{- 2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x$ burada ters otomorfizm edilir verilen $\ xi x = \ toplam _ {{k = 1}} ^ {N} \ xi _ {k} x_ {k}.$ ${\ mathcal {{\ bar {F}}}},$ $\ left ({\ mathcal {{\ bar {F}}}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) { {\ rm {e}}} ^ {{2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x.$ Plancherel-Parseval teoremi biz kavuşturulması halinde söylüyor prehilbertian yapı ile indüklenen Fourier dönüşümü a, birim işlemci arasında kendi içinde. ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ supset {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Schwartz sınıfı, aşağıdaki özelliklere sahip evrişim ürünü ${\ mathcal {E}} '$ için emicidir : kompakt destekli ve Schwartz işlevli her dağıtım için ${\ Mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N}) içinde T \$ $\ phi \ içinde {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$

{\ Mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}) içinde T \ ast \ phi \.

Daha genel olarak, bunun konvolör setini , yani sürekli olarak gönderilen dağıtım setini ifade ediyoruz . Bu set, kompakt destekli dağıtımları içeren (yani, temperlenmiş dağılımların uzayının) bir vektör alt uzayıdır ve lokal integrallenebilir hızlı çürüme fonksiyonları . Bu nedenle hızla azalan dağılımların uzayına diyoruz . Büklüm ürün ile donatılmış, bir dahası birleştirici , değişmeli ve birleşik cebir üzerinde ve vardır yekpare modüller . ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ Mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N}) içinde T \$ $g \ mapsto g \ ast T$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {{c}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$

Notlar ve referanslar

Not

Referanslar

(tr) Harish-Chandra , “ Yarı basit Lie grupları için ayrık seriler. II. Karakterlerin açık belirlenmesi ” , Acta Math. , cilt. 116,1966, s. 1-111
L. Schwartz , " Dağıtım teorisi ve Fourier dönüşümü ", Annales de l ' Université de Grenoble , cilt. 23, 1947-1948, s. 7-24 ( çevrimiçi okuyun )
Laurent Schwartz , Dağıtım Teorisi , Paris, Hermann,1966, 418 s. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
[PDF] F. Golse , Dağılımlar, Fourier analizi, kısmi diferansiyel denklemler , École polytechnique, 2012, kurs broşürü