Küresel Bessel işlevi

Olarak analiz , küresel Bessel fonksiyonu olan özel fonksiyonlar inşa Bessel fonksiyonlarının geleneksel ve sahip olan bazı sorunlar yer küresel bir simetriye .

Bunlar şu şekilde tanımlanır:

{\ displaystyle j_ {n} (x) = {\ sqrt {\ pi \ 2x üzerinden}} J_ {n + {1 \ 2'den fazla}} (x),}

{\ displaystyle y_ {n} (x) = {\ sqrt {\ pi \ 2x üzerinden}} Y_ {n + {1 \ over 2}} (x) = (- 1) ^ {n + 1} {\ sqrt {\ pi \ 2 kattan fazla}} J _ {- n - {\ frac {1} {2}}} (x).}

Özellikle, kardinal sinüs fonksiyonuna karşılık gelir : $j_ {0}$

{\ displaystyle j_ {0} (x) = {\ rm {sinc}} (x) = {\ sin (x) \ x} üzerinden.}

Aynı prensipte, küresel Hankel fonksiyonlarını da tanımlayabiliriz :

{\ displaystyle h_ {n} ^ {(1)} (x) = {\ sqrt {\ pi \ over 2}} {H_ {n + {1 \ over 2}} ^ {(1)} (x) \ {\ sqrt {x}}} = j_ {n} (x) + {\ rm {i}} y_ {n} (x),} üzerinde

{\ displaystyle h_ {n} ^ {(2)} (x) = {\ sqrt {\ pi \ 2 üzerinden}} {H_ {n + {1 \ 2}} ^ {(2)} (x) \ {\ sqrt {x}}} = j_ {n} (x) - {\ rm {i}} y_ {n} (x).} üzerinde

Özellikleri

Küresel Bessel fonksiyonlarını Rayleigh formülüyle tanımlayabiliriz:

{\ displaystyle j_ {n} (x) = (- x) ^ {n} \ sol ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ sağ) ^ {n} { \ sin (x) \ over x},}

{\ displaystyle y_ {n} (x) = - (- x) ^ {n} \ sol ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ sağ) ^ {n} {\ cos (x) \ over x}.}

Üretme küresel Bessel fonksiyonları fonksiyonları şunlardır:

{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} j_ {n-1} (x) = {\ frac {\ cos ({ \ sqrt {x ^ {2} -2xt}})} {x}},}

{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-t) ^ {n}} {n!}} y_ {n-1} (x) = {\ frac {\ günah ({\ sqrt {x ^ {2} + 2xt}})} {x}}.}

Bu işlevler, radyal kısmının çözeltilerdir Helmholtz denklemi olarak küresel koordinatlar değişkenleri ayrılması ile elde edilen:

{\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 2x {\ frac {dy} {dx}} + (x ^ {2} -n (n +1)) y = 0.}