küresel koordinatlar
Geçmeden burada verilen formüller değiştirmeye kalkmayın tartışma sayfasında : Bu makale kongre kullanan
P ( ρ , θ , φ ) ait
fizikçiler tarif,
aşağıda .
Biz diyoruz küresel Koordinatları çeşitli sistemlerini dik koordinatlara ait uzay benzer kutupsal koordinatlarda düzlemin. Bu sistemlerde uzayda bir nokta, bir orijine (kutup) olan uzaklık ve iki açı ile tanımlanır . Genellikle coğrafi konum belirleme için kullanılırlar: rakım , enlem ve boylam bu koordinatların bir çeşididir. Astrometride birkaç küresel koordinat sistemi de kullanılmaktadır .
Açıların tanımı ile ilgili farklı konvansiyonlar vardır . Bu makalede, her kullanım (açık bir şekilde aksi belirtilmediği takdirde) Kongre , P ( ρ , θ , φ ) , ve özellikle de en sık fizik ve teknoloji, ρ , radyal mesafeyi temsil eder θ colatitude (0 ile tt ) ve cp boylam (0 ile 2π arasında ).
Tarih
Yunan astronomlarının ihtiyaçları onları trigonometri geliştirmeye yöneltti ; Özellikle İskenderiyeli Menelaos, küresel trigonometrinin temel ilişkilerini keşfetti . Of Göksel koordinat sistemleri yıldızlı pozisyonunu bulmak için ve kurmak için kataloglar için geri Timocharis Alexandria , Eratosthenes ve Hipparchus aynı açılar (kullanarak, Meyl ve rektasansiyonu özellikle) o anki astronomlar, bunları tam olarak tanımlamak vermedi 'rağmen; aslında, René Descartes , koordinat sistemlerinin matematiksel bir tanımını yapan, ancak kendisini Kartezyen koordinatlar durumuyla sınırlayan ilk yazardır . Görünüşe göre Alexis Clairaut , jeodezi çalışmasının bir parçası olarak küresel bir koordinat sistemini titizlikle tanımlayan ilk kişiydi ; Euler , özelliklerini ve adını taşıyan açılarla ilişkilerini sistematik olarak geliştirdi .
Temel tanımlar ve özellikler
Sözleşmeler
terimlerin tanımları
Bir ortonormal Kartezyen koordinat sistemi (O, x , y , z ) verildiğinde, bir P noktasının küresel koordinatları ( boylam ve enlem tanımlanmayan O'dan farklıdır ve Oz ekseninin n 'boylamı olmayan noktaları ) tarafından tanımlanır:
- yarıçapı , genellikle belirtildiği ρ (ama bazen r ); P noktasından O merkezine olan uzaklıktır ve bu nedenle ρ > 0 (veya O noktası için ρ = 0 );
- boylam ; dikey ekseni sınırlayan ve sırasıyla [ O , x ) ışınını ve P noktasını içeren yarım düzlemlerin oluşturduğu yönlendirilmiş açıdır . P'nin ( O , x , y ) düzlemindeki ortogonal izdüşümünü H ile gösterirsek , boylam x ve OH vektörlerinin oluşturduğu açıdır ;
- colatitude (veya zenit açıları); z ve OP vektörlerinin oluşturduğu yönsüz açıdır ;
- bazen enlem kullanılır ; bu, colatitude'un tamamlayıcı açısıdır ve bu nedenle ( Oz ekseninin noktaları hariç ) OH ve OP vektörleri tarafından oluşturulan yönlendirilmiş açıdır .
Kollatitude ve boylam bundan böyle sırasıyla θ ve φ harfleriyle belirtilecektir (ancak aşağıda bu harflerin bazen ters çevrildiğini göreceğiz). Enlem en çok δ olarak belirtilir.
Matematik ve fizikte açılar çoğunlukla radyan cinsinden ölçülür , ancak pratik uygulamalarda, özellikle coğrafya ve astronomide, derece olarak ölçülürler . Konvansiyonel olarak ve koordinatların benzersizliğini sağlamak için, boylam 0 ile 2π radyan (0 ° ve 360 °; veya bazen, özellikle coğrafyada -180 ° ile 180 ° arasındadır) ve birliktelik 0 ile 2π radyan arasındadır. π radyan (0 ° ve 180 °). Bu sözleşme kayıt ama için geçerlidir İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ve φ bir için daha geniş bir aralığını kapsayabilir parametreli eğri ( ρ ( t ), θ ( t ), φ ( t )) , ve yarı çapı daha sonra negatif olabilir; daha fazla ayrıntı bu sistemlerin matematiksel açıklamasına ayrılmış bölümde bulunabilir .
Işın-enlem-boylam kuralı
Bu kural ( P ( ρ , θ , φ ) şeklinde yazılır , burada θ enlem ve φ boylamı ifade eder ) pratikte en çok kullanılanıdır ve ISO/IEC 80000-2 standardı tarafından tanımlanmış olanıdır . Merkeze olan mesafe bazen r ile gösterilir .
Kartezyen koordinatlara geçiş ilişkisi şöyle yazılır:
{x=ρgünahθçünküφy=ρgünahθgünahφz=ρçünküθ{\ displaystyle {\ start {vakalar} x & = \ rho \ sin \ teta \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ teta \ sin \ varphi \\ z & = \ rho \ cos \ teta \ son {durumlar} }}Tersine, Kartezyen koordinatlarını bilerek, elimizde:
{ρ=x2+y2+z2θ=arccos(z/ρ)φ=arktan(y/x){\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arccos (z / \ rho) \\\ varphi & = \ arctan (y / x) \ end {durumlar}}}(bu son formül sadece pozitif x için geçerlidir ; genel durumda
atan2 ( y, x ) işlevini kullanabiliriz )
Işın-boylam-colatitude kuralı
Matematikte, önceki kural çoğunlukla tersine çevrilir ve enlem ve boylamı belirtir , ancak biz her zaman P ( ρ , θ , φ ) yazarız .
φ{\ görüntü stili \ varphi}θ{\ görüntü stili \ teta}
Kartezyen koordinatlara geçiş ilişkisi bu durumda yazılır:
{x=ρgünahφçünküθy=ρgünahφgünahθz=ρçünküφ{\ displaystyle {\ start {vakalar} x & = \ rho \ sin \ varphi \ cos \ teta \\ y & = \ rho \ sin \ varphi \ sin \ teta \\ z & = \ rho \ cos \ varphi \ end {durumlar} }}Yarıçap-boylam-enlem kuralı
Matematikçiler bazen coğrafyacılar tarafından kullanılan sözleşmelerden türetilen bu sistemi kullanırlar . Koordinatları şu şekilde adlandırıyoruz :
ρ,θ,δ{\ görüntü stili \ rho, \ teta, \ delta}
-
ρ{\ görüntü stili \ rho} noktadan koordinat sisteminin merkezine olan mesafeyi belirtir;
-
θ{\ görüntü stili \ teta}genellikle –180° ile 180° arasındaki eksenden ölçülen boylamı belirtir ( );x{\ görüntü stili x}-π≤θ≤π{\ görüntü stili - \ pi \ leq \ teta \ leq \ pi}
-
δ{\ görüntü stili \ delta}enlemi, ekvator düzleminden -90° ile 90° arasındaki açıyı ifade eder ( ).-π2≤δ≤π2{\ displaystyle - {\ dfrac {\ pi} {2}} \ leq \ delta \ leq {\ dfrac {\ pi} {2}}}
Kartezyen koordinatlar ve küresel koordinatlar arasındaki değişim daha sonra aşağıdaki formüllerle yapılır:
{x=ρçünküδçünküθy=ρçünküδgünahθz=ρgünahδ{\ displaystyle {\ start {vakalar} x & = \ rho \ cos \ delta \ cos \ teta \\ y & = \ rho \ cos \ delta \ sin \ teta \\ z & = \ rho \ günah \ delta \ son {durumlar} }}Bir sistemden diğerine geçmek kolaydır çünkü enlem ve enlem şu şekilde bağlantılıdır:
δ=90∘-φ{\ displaystyle \ delta = 90 ^ {\ circ} - \ varphi}(veya radyan cinsinden, )
δ=π2-φ{\ displaystyle \ delta = {\ frac {\ pi} {2}} - \ varphi}Colatitude gibi enlemin de φ ile gösterilmesi yaygın bir uygulamadır .
Kutupsal koordinatlarla bağlantı
Dikey düzlemde ( O , z , OP ), koordinat sistemi (ρ, θ) kutupsaldır. Yatay düzlemde ( O , x , y ), (ρsinθ, φ) aynı zamanda bir kutupsal koordinat sistemidir. Gerçekten de, izin Elimizdeki ve varsa , H izdüşümüdür P düzleminde xOy , ve ; P noktasının küresel koordinatları şunları doğrular:
r→=ÖP→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} = {\ overrightarrow {OP}}}θ=(Öz→,ÖP→)^{\ displaystyle \ teta = {\ widehat {({\ overrightarrow {Oz}}, {\ overrightarrow {OP}})}}}ÖH→=r→günahθ{\ displaystyle {\ overrightarrow {OH}} = {\ overrightarrow {r}} \ günah \ teta}φ=(Öx→,ÖH→)^{\ displaystyle \ varphi = {\ widehat {({\ overrightarrow {Ox}}, {\ overrightarrow {OH}})}}}
{z=ρçünküθx=ÖHçünküφ=ρçünküφgünahθy=ÖHgünahφ=ρgünahφgünahθ{\ displaystyle \ left \ {{\ start {matrix} z & = & \ rho \ cos \ teta && \\ x & = & OH \ cos \ varphi & = & \ rho \ cos \ varphi \ sin \ teta \\ y & = & OH \ sin \ varphi & = & \ rho \ sin \ varphi \ sin \ teta \ end {matris}} \ sağ.}
Diğer ortak koordinat sistemleriyle ilişki
-
Kartezyen koordinatlar (x, y, z)
-
Silindirik koordinatlar ( r , θ, z )
-
Küresel koordinatlar (ρ, θ, φ )
Kartezyen ( x , y , z ), silindirik ( r , θ, z ) ve küresel (ρ, θ, φ ) koordinatlar, aynı Kartezyen koordinat sistemine (O, x , y , z ) göre tanımlandığında, aşağıda verilen formüllerle ilişkilidir.
Küresel koordinatların θ açısını (colatitude) silindirik koordinatların θ açısı ile karıştırmayın.
Koordinat sistemi
|
küresel koordinatlardan
|
küresel koordinatlara
|
---|
Kartezyen koordinatları
|
x=ρgünahθçünküφy=ρgünahθgünahφz=ρçünküθ{\ displaystyle {\ start {hizalanmış} x & = \ rho \ sin \ teta \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ teta \ sin \ varphi \\ z & = \ rho \ cos \ teta \ son {hizalanmış} }}
|
ρ=x2+y2+z2θ=arccos(z/ρ)φ={arccosxx2+y2sben y≥02π-arccosxx2+y2sben y<0φ=detdedeğil2(y,x){\ displaystyle {\ start {hizalanmış} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arccos (z / \ rho) \\\ varphi & = {\ {durumlar} \ arccos {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} & \ matematik {si} \ y \ geq {0 } \\ 2 \ pi - \ arccos {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} & \ matematik {si} \ y <0 \ end {durumlar}} \ \\ varphi & = {\ rm {atan2}} (y, x) \ end {hizalanmış}}}
|
---|
silindirik koordinatlar
|
r=ρgünahθθ=φz=ρçünküθ{\ displaystyle {\ start {hizalı} r & = \ rho \ sin \ teta \\\ teta & = \ varphi \\ z & = \ rho \ cos \ teta \ bitiş {hizalı}}}
|
ρ=r2+z2θ=arktan(r/z)φ=θ{\ displaystyle {\ start {hizalanmış} \ rho & = {\ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ teta & = \ arctan (r / z) \\\ varphi & = \ teta \ bitiş {hizalanmış}}}
|
---|
Yukarıdaki tabloda atan2 ( y , x ) pozitif x ve y için arctan ( y / x ) 'in farklı kadranlarındaki klasik devamıdır .
kullanmak
Bir dizi problemin simetrisi vardır; Belirli simetrilere sahip küresel koordinatların kullanılması, problemin ifadesini ve çözümünü büyük ölçüde basitleştirebilir.
Ek olarak, bir küre üzerindeki noktalarla birçok veri temsil edilebilir. Bu nedenle, aşağıdakilere izin veren bir koordinat sistemine sahip olmak önemlidir:
- bir noktanın konumunu not etmek (ölçüm);
- bir noktanın konumunu tanımlayın (örneğin bir hesaplamanın sonucu);
- bir nokta popülasyonu üzerinde istatistiksel bir analiz yapmak.
Bu tür verilere küresel veriler denir . Bu, küre üzerindeki konumlar gibi küresel bir nesne üzerindeki bir konum olabilir. Ancak bir küre üzerindeki bir nokta da bir yönü temsil edebilir - o zaman kürenin yarıçapı önemli değildir ve birim yarıçaplı bir küreye indirgeyebiliriz.
Coğrafi konum
Kendini Dünya yüzeyinde konumlandırmak için kullanılan coğrafi koordinatlar, küresel koordinatların bir çeşididir. Kartezyen koordinat sistemi olarak Dünya'nın merkezindeki orijini, Kuzey Kutbu'ndan geçen Oz eksenini , Greenwich meridyeninin yarı düzlemindeki Öküz eksenini ve Öküz ekseninin doğusundaki Oy eksenini kullanırlar. Kullanılan koordinatlar , küresel koordinatlarla (derece olarak ölçülür) ilişkili olan h (yükseklik), l (enlem) ve λ (boylam)' dır :
h=ρ-ρg(ben,λ)ben=90Ö-θλ=φ Eğer φ≤180Ö=φ-360Ö değilse{\ displaystyle {\ başlangıç {hizalanmış} h & = \ rho - \ rho _ {\ metin {g}} (l, \ lambda) \\ l & = 90 ^ {\ metin {o}} - \ teta \\ \ lambda & = \ varphi {\ metin {si}} \ varphi \ leq 180 ^ {\ metin {o}} \\ & = \ varphi -360 ^ {\ metin {o}} {\ metin {aksi halde}} \ bitiş { hizalanmış}}}burada ρ g ( l , λ ), ( l , λ ) yönünde bulunan jeoid noktasından Dünya'nın merkezine olan mesafedir . Tüm devrim elipsoid yerine geoidin kullanılır saat sonra da elipsoid olan yükseklik olarak adlandırılan, yükseklik veya elipsoid yüksekliği jeodezik olduğu; rakımdan en fazla yaklaşık +/- 100 m farklıdır. Elipsoidal yükseklik tamamen geometrik bir niceliktir, yükseklik ise fiziksel bir niceliktir. h niceliği , elipsoidin normali boyunca, ikincisi ile ele alınan nokta arasındaki ölçülen mesafedir.
göksel koordinatlar
Bulmak için kullanılan gök koordinatlar, yıldızlı üzerine gökyüzü , bu aynı varyasyonu kullanacak ρ sabit (üzerine projeksiyon gök küre ). Örneğin, koordinat ekvatoral sistemi dışındaki nesneleri bulmak için kullanılan, güneş sistemi kullanır sapma (mukabil l , derece olarak ifade edilir) ve açılımlarının (mukabil A, 1 saat ile, saat olarak ifade edilen, = 15 °).
hesaplamalar
Küresel koordinatlar yaygın olarak üç durumda kullanılır:
- bir sarkaç durumunda olduğu gibi belirli bir noktadan sabit bir mesafede hareket;
- özellikle Coulomb potansiyelinde merkezi kuvvet hareketi ;
- küresel simetri ile ilgili problemler.
Sarkaç örneği
Coulomb cazibe örneği
küresel veri
Küresel veriler, küresel koordinatlarda ( ρ = 1 ile ) ifade edilen, uzaydaki bir çizginin yönlerinin okumalarıdır . Bu doğru yönlendirilmişse, bir birim vektörden (birim yarıçaplı bir küre varsaydığımız için) veya basitçe bir vektörden söz ederiz; yönlendirilmemişse, bir eksenden söz ederiz . Bir vektör, birim kürenin bir yarıçapıdır ve kürenin bir P noktası ile temsil edilebilir. Bir eksen, kürenin çapıdır ve taban tabana zıt iki noktadan biri, P veya Q ile temsil edilebilir.
Örnek veri:
Mesafe hesaplamaları
Navigasyon gibi pratik uygulamalarda, genellikle küresel koordinatları ( r sabitinde) tarafından verilen noktalar arasındaki mesafeleri hesaplamak gerekir , bu mesafeler küre üzerinde ölçülür (bunların büyük daire mesafeleri olduğunu söylüyoruz ). İki A ve B noktası için , iki OA ve OB yarıçapı arasındaki açının (radyan cinsinden) nerede olduğunu tanımlarız . Sağda gösterilen küresel üçgenin kenarları ve açıları arasında bir ilişki veren “ kosinüs formülü ” , A ( r , θ, φ ) ve B ( r , θ ', φ ') küresel koordinatlarını bilmemizi sağlar. ; yerleştirerek C (içinde r , 0,0), nihayet elde edilir:
dATB=rλ{\ displaystyle d_ {AB} = r \ lambda}λ{\ görüntü stili \ lambda}çünküvs=çünküdeçünküb+günahdegünahbçünküy{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ günah a \, \ günah b \, \ cos \ gama}λ{\ görüntü stili \ lambda}
dATB=rarccos(çünküθçünküθ′+günahθgünahθ′çünkü(φ′-φ)).{\ displaystyle d_ {AB} = r \ arccos {\ sol (\ cos \ teta \ cos \ teta '+ \ sin \ teta \ sin \ teta' \ cos (\ varphi '- \ varphi) \ sağ)}.}
eğrisel koordinatlar
Küresel koordinatlar, eğrisel koordinat sisteminin özel bir durumudur ve daha kesin olarak ortogonal koordinatlardır ; sadece bir koordinat değiştirilerek elde edilen doğruların dik açılarda kesişeceği şekilde üç sayı ile bir kayıt hakkındadır.
Görünüşünün daha matematiksel açıdan bakıldığında, bu karşılık türevlenebilir örten bir kendi içine, jakobiyen matris tarafından oluşturulan dik sütun vektörleri ; için ray-colatitude-boylam anlaşması , bu örten tanımlanır: . Pratikte (örneğin astrometride ), kişi genellikle uzaydaki bir noktanın küresel koordinatlarını, başka bir deyişle bu noktanın öncülünü ; bu nedenle her yerde sürekli bir uygulama elde etmek mümkün değildir (bu, holonominin sorunudur ), ancak biri öncül için (eksen üzerinde olmayan tüm noktalar için ) aşağıdaki gibi benzersiz bir sistem seçerse , benzersizlik vardır (belirli uygulamalarda, örneğin coğrafyada, enlemin yanı sıra konvansiyonun kullanılması tercih edilir ); eksen noktaları geleneksel olarak ve ile koordinatlara sahiptir ve orijin koordinatları için vardır ; bu uygulama (bazen ana koordinatlardan söz ederiz ) yarı düzlemin dışında süreklidir .
$3{\ displaystyle \ matematik {R} ^ {3}}f:(ρ,θ,φ)↦(ρgünahθçünküφ,ρgünahθgünahφ,ρçünküθ){\ displaystyle f: (\ rho, \ teta, \ varphi) \ mapsto (\ rho \ sin \ teta \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ teta \ sin \ varphi, \ rho \ cos \ teta)}$3{\ displaystyle \ matematik {R} ^ {3}}f{\ görüntü stili f}Öz{\ displaystyle Oz}(ρ,θ,φ){\ görüntü stili (\ rho, \ teta, \ varphi)}ρ>0,0≤φ<2π,0<θ<π{\ displaystyle \ rho> 0,0 \ leq \ varphi <2 \ pi, 0 <\ teta <\ pi}-π<φ≤π,-π2<δ<π2{\ displaystyle - \ pi <\ varphi \ leq \ pi, - {\ frac {\ pi} {2}} <\ delta <{\ frac {\ pi} {2}}}Öz{\ displaystyle Oz}(ρ,θ,0){\ görüntü stili (\ rho, \ teta, 0)}ρ≥0{\ displaystyle \ rho \ geq 0}θ∈{0,π}{\ displaystyle \ teta \ in \ {0, \ pi \}}Ö{\ görüntü stili O}(0,0,0){\ görüntü stili (0,0,0)}{x≥0 ;y=0}{\ displaystyle \ {x \ geq 0 \; y = 0 \}}
Bu sistem özellikle küre üzerinde (üç koordinattan ikisinin sabitlendiği noktalara karşılık gelen) koordinat çizgilerini tanımlar ; bunlar ikişer ikişer dik olan daireler, meridyenler ( ) ve paralellerdir ( ).ρ=VSte{\ görüntü stili \ rho = C ^ {te}}φ=VSte{\ displaystyle \ varphi = C ^ {te}}θ=VSte{\ displaystyle \ teta = C ^ {te}}
diferansiyel özellikler
Küresel koordinatlardaki geçişe karşılık gelen referans formüllerinin değişimi (ışın-enlem-boylam sisteminde):
{x=ρgünahθçünküφy=ρgünahθgünahφz=ρçünküθ{\ displaystyle {\ start {vakalar} x & = \ rho \ sin \ teta \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ teta \ sin \ varphi \\ z & = \ rho \ cos \ teta \ son {durumlar} }} dolayısıyla Jacobian matrisi :
M=(günahθçünküφρçünküθçünküφ-ρgünahθgünahφgünahθgünahφρçünküθgünahφρgünahθçünküφçünküθ-ρgünahθ0).{\ displaystyle M = {\ start {pmatrix} \ günah \ teta \ cos \ varphi & \ rho \ cos \ teta \ cos \ varphi & - \ rho \ sin \ teta \ sin \ varphi \\\ günah \ teta \ günah \ varphi & \ rho \ cos \ teta \ sin \ varphi & \ rho \ sin \ teta \ cos \ varphi \\\ cos \ teta & - rho \ sin \ teta & 0 \ son {pmatrix}}.}
Referans yeni bir çerçeve olarak adlandırılır, referans yerel bir çerçeve , vektörler için , ve eşdoğrusal matrisin sütun vektörleri ile olan M ve meydana referans ortonormal çerçevesi ; sırasıyla OP tarafından taşındıkları, P'den geçen meridyene teğet ve P'den geçen paralele teğet oldukları gösterilmiştir , bu nedenle önceki bölümde açıklandığı gibi bu koordinat çizgileri dik açılarda kesişir .
(P,senρ→,senθ→,senφ→){\ displaystyle (P, {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}}, {\ overrightarrow {u _ {\ teta}}}, {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}})}senρ→=(günahθçünküφgünahθgünahφçünküθ){\ displaystyle {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}} = {\ start {pmatrix} \ sin \ teta \ cos \ varphi \\\ sin \ teta \ sin \ varphi \\\ cos \ teta \ bitiş {pmatrix } }}senθ→=(çünküθçünküφçünküθgünahφ-günahθ){\ displaystyle {\ overrightarrow {u _ {\ teta}}} = {\ başlangıç {pmatrix} \ cos \ teta \ cos \ varphi \\\ cos \ teta \ sin \ varphi \\ - \ günah \ teta \ bitiş { pmatris }}}senφ→=(-günahφçünküφ0){\ displaystyle {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}} = {\ başlangıç {pmatrix} - \ sin \ varphi \\\ cos \ varphi \\ 0 \ bitiş {pmatrix}}}
diferansiyeller
Sonsuz küçük hacim d 3 V = det M d ρ d θ d φ = ρ 2 sin θ d ρ d θ d φ şeklinde yazılır . Böylece, fonksiyonun tüm uzayı üzerinde üç katlı integral yazılacaktır:
f(ρ,θ,φ){\ displaystyle f (\ rho, \ teta, \ varphi)}
∫φ=02π ∫θ=0π ∫ρ=0∞f(ρ,θ,φ)ρ2günahθdρdθdφ.{\ displaystyle \ \ int \ limitler _ {\ varphi = 0} ^ {2 \ pi} \ \ int \ limitler _ {\ teta = 0} ^ {\ pi} \ \ int \ limitler _ {\ rho = 0} ^ {\ infty} f (\ rho, \ teta, \ varphi) \ rho ^ {2} \ sin \ teta \, \ matrm {d} \ rho \, \ matrm {d} \ teta \, \ matrm {d } \ varphi.}- Yüzey elemanı için sabit olan p yazılı D'yi 2 S ρ = ρ 2 sin θ d θ d φ
- Katı açı elemanını çıkarıyoruz ( steradyan cinsinden ):dΩ=dSρr2=günahθdθdφ{\ displaystyle \ matematik {d} \ Omega = {\ frac {\ matematik {d} S _ {\ rho}} {r ^ {2}}} = \ günah \ teta \, \ matematik {d} \ teta \ , \ matematik {d} \ varphi}
- φ sabiti için yüzey elemanı yazılır d 2 S φ = ρ d ρ d θ
- Sabit θ için yüzey elemanı yazılır d 2 S θ = ρ sin θ d ρ d φ
Vektörler diferansiyeller için:
(senρ→,senθ→,senφ→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {u _ {\ rho}}}, {\ overrightarrow {u _ {\ teta}}}, {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}})}
dsenρ→=dθsen→θ+günahθdφsen→φdsenθ→=-dθsen→ρ+çünküθdφsen→φdsenφ→=-günahθdφsen→ρ-çünküθdφsen→θ{\ displaystyle {\ başlangıç {hizalanmış} {\ metin {d}} {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}} & = {\ metin {d}} \ teta \, {\ vec {u}} _ { \ teta} + \ günah \ teta \, {\ metin {d}} \ varphi \, {\ vec {u}} _ {\ varphi} \\ {\ metin {d}} {\ overrightarrow {u _ {\ teta} }} & = - {\ metin {d}} \ teta \, {\ vec {u}} _ {\ rho} + \ cos \ teta \, {\ metin {d}} \ varphi \, {\ vec { u}} _ {\ varphi} \\ {\ metin {d}} {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}} & = - \ sin \ teta \, {\ metin {d}} \ varphi \ , {\ vec {u}} _ {\ rho} - \ cos \ teta \, {\ metin {d}} \ varphi \, {\ vec {u}} _ {\ teta} \ bitiş {hizalanmış}}}
Sinematik
Bu paragraftaki hesaplamalar, t : zamanı ile parametrelenen bir eğrinin kinematik çalışmasına karşılık gelir .
t↦M(ρ(t),θ(t),φ(t)){\ displaystyle t \ mapto M (\ rho (t), \ teta (t), \ varphi (t))}
Zamana göre türevleri önceki diferansiyellerden çıkarırız:
senρ→˙=θ˙sen→θ+φ˙günahθsen→φsenθ→˙=φ˙çünküθsen→φ-θ˙sen→ρsenφ→˙=-φ˙günahθsen→ρ-φ˙çünküθsen→θ{\ displaystyle {\ başlangıç {hizalanmış} {\ nokta {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}}} & = {\ dot {\ teta}} \, {\ vec {u}} _ {\ teta} + { \ dot {\ varphi}} \, \ sin \ teta \, {\ vec {u}} _ {\ varphi} \\ {\ dot {\ overrightarrow {u _ {\ teta}}}} & = {\ nokta { \ varphi}} \, \ cos \ teta \, {\ vec {u}} _ {\ varphi} - {\ dot {\ teta}} \, {\ vec {u}} _ {\ rho} \ \ { \ nokta {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}}} & = - {\ dot {\ varphi}} \, \ sin \ teta \, {\ vec {u}} _ {\ rho} - { \ nokta { \ varphi}} \, \ cos \ teta \, {\ vec {u}} _ {\ teta} \ bitiş {hizalı}}}daha sonra kinematik miktarlar hız ve ivme :
ÖM→=ρsenρ→ÖM→˙=ρ˙senρ→+ρθ˙senθ→+ρgünahθφ˙senφ→ÖM→¨=(ρ¨-ρθ˙2-ρφ˙2günah2θ)senρ→+(ρθ¨+2ρ˙θ˙-ρφ˙2günahθçünküθ)senθ→+(ρφ¨günahθ+2ρ˙φ˙günahθ+2ρθ˙φ˙çünküθ)senφ→{\ displaystyle {\ start {hizalanmış} {\ overrightarrow {OM}} & = \ rho \, {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}} \\ {\ dot {\ overrightarrow {OM}}} & = { \ nokta {\ rho}} \, {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}} + \ rho {\ dot {\ teta}} \, {\ overrightarrow {u _ {\ teta}}} + \ rho \ sin \ teta \, {\ dot {\ varphi}} \, {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}} \\ {\ ddot {\ overrightarrow {OM}}} & = ({\ ddot {\ rho} } - \ rho {\ nokta {\ teta}} ^ {2} - \ rho {\ nokta {\ varphi}} ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta) \, {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}} + (\ rho {\ ddot {\ teta}} + 2 {\ nokta {\ rho}} {\ nokta {\ teta}} - \ rho {\ nokta {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ teta \, \ cos \ teta) \, {\ overrightarrow {u _ {\ teta}}} + (\ rho {\ ddot {\ varphi}} \ sin \ teta +2 {\ nokta {\ rho}} {\ nokta {\ varphi }} \ günah \ teta +2 \ rho {\ nokta {\ teta}} {\ nokta {\ varphi}} \ cos \ teta) \, {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}} } \ bitiş {hizalanmış}} }
diferansiyel operatörler
Operatör nabla yazılır
∇→=(∂∂ρ,1ρ∂∂θ,1ρgünahθ∂∂φ){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} = \ sol ({\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ rho}}, {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ teta}}, {\ frac {1} {\ rho \ sin \ teta}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ varphi}} \ sağ)}Gradient , rotasyonel , diverjans ve Laplacian için ifadeleri çıkarıyoruz :
grded→ f=∇→AT→=∂f∂rr^+1r∂f∂θθ^+1rgünahθ∂f∂φφ^,geğirmek→ AT→=∇→∧AT→=1rgünahθ(∂∂θ(ATφgünahθ)-∂ATθ∂φ)r^+1r(1günahθ∂ATr∂φ-∂∂r(rATφ))θ^+1r(∂∂r(rATθ)-∂ATr∂θ)φ^,dbenv f=∇→⋅AT→=1r2∂∂r(r2ATr)+1rgünahθ∂∂θ(günahθATθ)+1rgünahθ∂ATφ∂φ,Δf=∇→2f=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2günahθ∂∂θ(günahθ∂f∂θ)+1r2günah2θ∂2f∂φ2=(∂2∂r2+2r∂∂r)f+1r2günahθ∂∂θ(günahθ∂∂θ)f+1r2günah2θ∂2∂φ2f.{\ displaystyle {\ başlangıç {hizalanmış} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ f = {\ overrightarrow {\ nabla}} {\ vec {\ mathrm {A}}} = {} & {\ kısmi f \ üzerinde \ kısmi r} {\ şapka {\ matematik {r}}} + {1 \ r üzerinde} {\ kısmi f \ üzerinde \ kısmi \ teta} {\ şapka {\ boldsymbol {\ teta}}} + {1 \ üzerinde r \ sin \ teta} {\ kısmi f \ üzerinde \ kısmi \ varphi} {\ şapka {\ boldsymbol {\ varphi}}}, \\ [8pt] {\ overrightarrow {\ operatöradı {rot}}} \ { \ vec {\ mathrm {A}}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ kama {\ vec {\ matematik {A}}} = {} & {\ frac {1} {r \ sin \ teta}} \ sol ({\ kısmi \ aşırı \ kısmi \ teta} \ sol (A _ {\ varphi} \ sin \ teta \ sağ) - {\ kısmi A _ {\ teta} \ aşırı \ kısmi \ varphi} \ sağ) { \ hat {\ mathbf {r}}} \\ [8pt] & {} + {\ frac {1} {r}} \ sol ({1 \ üzerinde \ sin \ teta} {\ kısmi A_ {r} \ üzerinde \ kısmi \ varphi} - {\ kısmi \ üzerinde \ kısmi r} \ sol (rA _ {\ varphi} \ sağ) \ sağ) {\ şapka {\ boldsymbol {\ teta}}} \\ [8pt] & {} + {\ frac {1} {r}} \ sol ({\ kısmi \ fazla \ kısmi r} \ sol (rA _ {\ teta} \ sağ) - {\ kısmi A_ {r} \ fazla \ kısmi \ teta} \ sağ) { \ şapka {\ boldsymbol {\ varphi}}}, \\ [8pt] {\ matematik {div}} ~ f = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ matematik {A}}} = {} & {\ frac {1} {r ^ {2}}} { \ kısmi \ fazla \ kısmi r} \ sol (r ^ {2} A_ {r} \ sağ) + {\ frac {1} {r \ sin \ teta}} {\ kısmi \ aşırı \ kısmi \ teta} \ sol (\ sin \ teta A _ {\ teta} \ sağ) + {\ frac {1} {r \ sin \ teta}} {\ kısmi A _ {\ varphi} \ aşırı \ kısmi \ varphi}, \\ [8pt ] \ Delta f = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} f = {} & {1 \ r üzerinde ^ {2}} {\ kısmi \ üzerinde \ kısmi r} \ sol (r ^ {2} { \ kısmi f \ üzerinde \ kısmi r} \ sağ) + {1 \ r üzerinde ^ {2} \ sin \ teta} {\ kısmi \ aşırı \ kısmi \ teta} \ sol (\ sin \ teta {\ kısmi f \ üzerinde) \ kısmi \ teta} \ sağ) + {1 \ r üzerinde ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta} {\ kısmi ^ {2} f \ üzerinde \ kısmi \ varphi ^ {2}} \\ [8pt ] = {} & \ sol ({\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi r} } \ sağ) f + {1 \ r ^ {2} \ sin \ teta} {\ kısmi \ aşırı \ kısmi \ teta} \ sol (\ sin \ teta {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ theta}} \ sağ) f + {\ frac {1} {r ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta}} {\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi \ varphi ^ {2} }} f. \ bitiş {hizalı}}}Olağan tensörler
Metrik tensör olduğu yazılı
gbenj=(1000ρ2000ρ2günah2θ){\ displaystyle g_ {ij} = \ sol ({\ başlangıç {matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ rho ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & \ rho ^ {2} \ günah ^ { 2} \ teta \ bitiş {matris} } \ sağ)}ve aralık
ds2=vs2dt2-dρ2-ρ2dθ2-ρ2günah2θdφ2.{\ displaystyle {\ metin {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ metin {d}} t ^ {2} - {\ metin {d}} \ rho ^ {2} - \ rho ^ {2} {\ metin {d}} \ teta ^ {2} - \ rho ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta \, {\ metin {d}} \ varphi ^ {2}.}Christoffel sembolünün sıfır olmayan öğeleri şunlardır:
Γθθρ=-ρΓφφρ=-ρgünah2θΓρθθ=Γθρθ=ρ-1Γφφθ=-çünküθgünahθΓρφφ=Γφρφ=ρ-1Γφθφ=Γθφφ=maliyetθ{\ displaystyle {\ başlangıç {hizalanmış} \ Gama _ {\ teta \ teta} ^ {\ rho} & = - \ rho \\\ Gamma _ {\ varphi \ varphi} ^ {\ rho} & = - \ rho \ günah ^ {2} \ teta \\\ Gama _ {\ rho \ teta} ^ {\ teta} = \ Gama _ {\ teta \ rho} ^ {\ teta} & = \ rho ^ {- 1} \\\ Gamma _ {\ varphi \ varphi} ^ {\ teta} & = - \ cos \ teta \, \ sin \ teta \\\ Gamma _ {\ rho \ varphi} ^ {\ varphi} = \ Gamma _ {\ varphi \ rho} ^ {\ varphi} & = \ rho ^ {- 1} \\\ Gamma _ {\ varphi \ teta} ^ {\ varphi} = \ Gamma _ {\ teta \ varphi} ^ {\ varphi} & = \ karyola \ teta \ son {hizalanmış}}}
n boyutunda genelleme
Gelen Öklid alan boyutunun n bir Kartezyen koordinatları noktası için, ( x 1 , ..., x , n ), tanımladığımızı hyperspheric koordinatları ( r , θ 1 , ..., İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin n -1 ) ile
r=‖x‖x1=rçünküθ1x2=rgünahθ1çünküθ2⋯xdeğil-1=rgünahθ1⋯günahθdeğil-2çünküθdeğil-1xdeğil=rgünahθ1⋯günahθdeğil-2günahθdeğil-1{\ displaystyle {\ start {matrix} r & = & \ | x \ | \\ x_ {1} & = & r \ cos \ teta _ {1} \\ x_ {2} & = & r \ sin \ teta _ {1 } \ cos \ teta _ {2} \\\ cdots && \\ x_ {n-1} & = & r \ sin \ teta _ {1} \, \ cdots \, \ sin \ teta _ {n -2} \ cos \ teta _ {n-1} \\ x_ {n} & = & r \ sin \ teta _ {1} \, \ cdots \, \ sin \ teta _ {n-2} \ günah \ teta _ {n- 1} \ bitiş {matris}}}ile
θ1,...,θdeğil-2∈[0,π]etθdeğil-1∈[0,2π].{\ displaystyle \ teta _ {1}, \ ldots, \ teta _ {n-2} \ in [0, \ pi] \ dörtlü {\ rm {ve}} \ dörtlü \ teta _ {n-1} \ içinde [0.2 \ pi].}
Küresel koordinatlar n = 3 özel durumunu (eksenlerin uygun bir numaralandırılmasıyla) ve kutupsal koordinatlar n = 2 durumunu oluşturur ; n = 4 durumu için madde 3-kürenin ilgili bölümüne bakılabilir .
Notlar ve referanslar
-
(tr) Eric W. Weisstein , “ Küresel Koordinatlar, ” ilgili MathWorld .
-
“Fizik bilimleri ve teknolojide kullanım için matematiksel işaretler ve semboller” : ISO 80000-2 (1. baskı, 1/12/2009) (s.24) [PDF] .
-
(in) NI Fisher , T. Lewis ve BJJ Lembleton , Küresel Verilerin İstatistiksel Analizi , Cambridge University Press ,1987, 329 s. ( ISBN 978-0-521-24273-8 , çevrimiçi okuyun ) , s. 1.
-
Geodesy.ign.fr sitesinde küre üzerinde enlem ve boylam olarak bilinen iki nokta arasındaki mesafe nasıl bulunur
-
(içinde) Luis Manuel Braga Costa Campos, Madde ve Kuvvet Uygulamaları ile Genelleştirilmiş Matematik Bilim ve Teknoloji için Matematik ve Fizik , CRC Press ,2014( çevrimiçi okuyun ) , s. 686-687.
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">