Örtük işlev

Gelen matematik , bir değişken diğerleri ile ilgili olarak açıklanmamış olan, farklı değişkenler arasında bir denklemi olarak adlandırılan kapalı denklemi . Bir kapalı fonksiyon örtülü böyle bir denklemden elde edilen bir işlevdir.

Daha kesin olarak, eğer $f$ , G'de E × F'nin bir fonksiyonuysa, burada E, F ve G normalleştirilmiş vektör uzayları veya daha basit R'nin aralıkları ise , $f ( x , y ) = 0$ denklemi $,$ eğer l 'biri yapabiliyorsa örtük bir fonksiyonu tanımlar. Denklemi sağlayan tüm çiftler $( x , y )$ için değişkenlerden birini diğerinin fonksiyonu olarak ifade edin.

Ve yine, denklem $f ( x , y ) = 0$ tanımlar E F örtülü bir fonksiyonu, mevcutsa adlandırılan kapalı fonksiyon $φ$ , örneğin, hepsi için $( x , y )$ e x F, $f ( x , y ) = 0,$ $y = φ ( x ) 'e$ eşdeğerdir . Bu , ikili ilişkinin grafiğinin : $x R y iff f ( x , y ) = 0'ın$ bir fonksiyonun grafiği olduğunu söylemek anlamına gelir .

İki gerçek değişkeni etkileyen bir denklem için örtük bir işlevin yerel varlığını açıkça açıklamadan kanıtlamak bazen mümkündür, böyle bir işlevin yeterli varoluş koşulları ve benzersizliği makalede ayrıntılı olarak açıklanmıştır: örtük işlevler teoremi .

Örnekler

$x 2 + y 2 = 1$ denklemi herhangi bir $y$ için örtük bir fonksiyon tanımlamaz , ancak pozitif $y$ için bu denklem $y = \sqrt 1 - x 2'ye$ eşdeğerdir ve $φ : x \to \sqrt 1 - x 2$ , açık fonksiyondur denklem ile ilişkili.
$x 2 + y 2 + ln z = 0$ denklemi $imp : ( x , y ) \to exp (- x 2 - y 2 )$ örtük fonksiyonunu tanımlamaya izin verir .
Eğer $f$ a, bijection E, F, denklem aşağıdaki gibi $y = f ( x )$ E, F arasında bir kapalı fonksiyon karşılıklı ilk olarak adlandırılan ve not indükler $f -1$ .

Örtük bir işlevin türevi

Açık olmayan biçiminde örtük bir işlev türetmek bazen mümkün ve daha basittir.

Eğer $f$ çevresinde sürekli iki değişkenli bir sayısal fonksiyonu olan $( x , 0 , y 0 )$ ve türevlenebilir $( x , 0 , y 0 )$ ve kısmi türevi ise $f$ ikinci değişkene göre kesintisiz olan ve değil kaybolmadı $( x 0 , y 0 )$ , türevin $cp$ içinde $x , 0$ olduğu:

${\ displaystyle \ varphi '(x_ {0}) = - {\ frac {f_ {x}' (x_ {0}, y_ {0})} {f_ {y} '(x_ {0}, y_ {0 })}}.}$

Bu formül belirterek açıklanabilir gradyan arasında $f$ de $( x 0 , y 0 )$ koordinatlarını var ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ f (x_ {0}, y_ {0}) = {\ begin {pmatrix} f_ {x} '(x_ {0}, y_ {0}) \\ f_ {y} '(x_ {0}, y_ {0}) \ end {pmatrix}}}$

ve $f'nin$ en büyük varyasyonunun yönünü gösterirken , vektör ${\ displaystyle N = {\ begin {pmatrix} 1 \\ - {\ frac {f_ {x} '(x_ {0}, y_ {0})} {f_ {y}' (x_ {0}, y_ { 0})}} \ end {pmatrix}}}$ buna normal olan sıfır değişim yönünü gösterir, yani teğetin yönü $f ( x , y ) = 0$ denkleminin eğrisine .

Örnek: denklemi $x 2 + y 2 = 1$ fonksiyonu ile ilişkili $f : ( x , y ) \to x 2 + y 2 - 1$ arasında olduğu sınıf C 1 , diğer bir deyişle bu, sürekli diferansiyel diferansiyel. Gibi ${\ displaystyle f_ {x} '(x_ {0}, y_ {0}) = 2x_ {0}}$ ve , ${\ displaystyle f_ {y} '(x_ {0}, y_ {0}) = 2y_ {0}}$ herhangi bir nokta için $( x 0 , y 0 )$ , $y 0 = φ ( x 0 )$ sıfır değil, elimizde ${\ displaystyle \ varphi '(x_ {0}) = - {\ frac {2x_ {0}} {2y_ {0}}} = - {\ frac {x_ {0}} {\ sqrt {1-x_ {0 } ^ {2}}}}.}$

Böyle bir türetme, fonksiyonun açıklanmasının imkansız olduğu durumda faydalı olabilir.

Örnek: $y 5 + x 2 y + 2 = 0$ denklemi , C 1 sınıfının $f$ fonksiyonuyla ilişkilidir . Denklemin grafiği bir fonksiyonun grafiğidir, çünkü herhangi bir x değeri için eşitliği doğru kılan en fazla bir y değeri vardır. Gibi ${\ displaystyle f_ {x} '(x_ {0}, y_ {0}) = 2x_ {0} y_ {0}}$ ve ${\ displaystyle f_ {y} '(x_ {0}, y_ {0}) = 5y_ {0} ^ {4} + x_ {0} ^ {2}}$ herhangi bir nokta için $( x 0 , y 0 )$ , $y 0 = φ ( x 0 ) ile$ , elimizde ${\ displaystyle \ varphi '(x_ {0}) = - {\ frac {2x_ {0} y_ {0}} {5y_ {0} ^ {4} + x_ {0} ^ {2}}}.}$ Özellikle, $x0 = 1$ ve $y0 = -1 için$ , $φ ' (1) = 1/3$

Ayrıca görün

Kartezyen denklem

Notlar ve referanslar

Lelong-Ferrand ve Arnaudiès 1977 , s. 235
Tam bir gösteri için herhangi bir post bac analiz kitabına bakınız, örneğin Lelong-Ferrand ve Arnaudiès 1977 , s. 236-237 veya Claude Deschamps ve André Warusfel, Mathematics 1 e yıllık PMSI, PCSI , PTSI, Dunod, coll. "Entegre ederim",1999, pp = 1019-1022.

Kaynakça

Jacqueline Lelong-Ferrand ve Jean-Marie Arnaudiès , Matematik kursu: Analiz , t. 2, Dunod,1977