Rasyonel fonksiyon

Gelen matematik bir rasyonel fonksiyonu olan bir oranı olan polinom fonksiyonları bir dizi K. olarak pratikte değerlerine, bu set genellikle (reals grubu) ya da (komplekslerinin grubu). P ve Q iki polinom fonksiyonu ise ve Q'nun bir değilse sıfır fonksiyonu , işlev için tüm tanımlandığı x şekilde tarafından $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$ $f = {\ frac {{\ mathrm {P}}} {{\ mathrm {Q}}}}$ $\ mathrm {Q} (x) \ ne 0$

f (x) = {\ frac {{\ mathrm {P}} (x)} {{\ mathrm {Q}} (x)}}

Rasyonel olmayan bir işlevin irrasyonel olduğu söylenir .

Tanım alanı

Sıfır olmayan herhangi bir polinom Q kabul edilebilir, ancak belirli bir olasılık, polinom fonksiyonlarının aksine, rasyonel fonksiyonların her zaman K'ye eşit bir alan tanımına sahip olmadığı anlamına gelir. ${\ mathrm {Q}} (a) = 0$

Polinom Q'nun köklerine rasyonel işlevin kutupları denir .

Örnek: ya

f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}

bu işlev herhangi bir x gerçek sayısı için tanımlanmıştır, ancak tüm karmaşık sayılar için tanımlanmamıştır . Payda, x = i ve x = -i olduğunda 0'dır , burada i hayali birimdir .

Kullanımlar

Rasyonel fonksiyonlar kullanılan sayısal analiz için sokmak ve pürüzsüz fonksiyonları. Yaklaşım, sembolik cebir ve sayısal hesaplama yazılımına çok uygundur çünkü polinomlar gibi, polinomlardan daha anlamlı olurken verimli bir şekilde değerlendirilebilirler.

Sıklıkla kullanılan bir teknik, Padé yaklaşımıdır . Üstel fonksiyon Padé approximant örneği ise göstermek sağlar t 0 dışında bir rasyonel sayıdır, exp ( t ) mantıksız. Padé yaklaşımı, örneğin ıraksak seriler çalışması için karmaşık analizde de kullanılan bir araçtır .

Basit öğelere ayrıştırma

Herhangi bir rasyonel fonksiyon, bir polinomun ve paydaları asal polinomların tam güçleri olan ve pay derecesi bahsedilen polinomunkinden daha düşük olan fraksiyonların toplamı biçiminde ayrışır.

Uygulamada, herhangi bir rasyonel fonksiyon, bir polinom fonksiyonunun ve tipteki fonksiyonların toplamı biçiminde ayrışır . İçinde , herhangi bir rasyonel fonksiyon, bir polinom fonksiyonunun ve tiplerin fonksiyonlarının toplamı şeklinde veya ikinci durumda $b$ $2$ $- 4$ $ac$ $<0$ ile ayrışır . $\ mathbb {C}$ $c \ over (az + b) ^ k$ $\ mathbb {R}$ $c \ fazla (ax + b) ^ k$ $dx + e \ over (ax ^ 2 + bx + c) ^ k$

Basit elemanlara ayrıştırma, integrallerin hesaplanmasını kolaylaştırmayı mümkün kılar .

Rasyonel işlev ve rasyonel kesir

Görünümünde bir matematiksel açıdan bakıldığında, ayırmak gerekir polinomu resmi ifade ve tüm ilkidir polinom fonksiyonu belirli bir etki alanında. Bu aynı zamanda polinomların bölümleri için de geçerlidir. Olarak genel cebir , dediğimiz rasyonel fraksiyonu bir elemanı fraksiyonlarının alan polinomların bir halka . Bu tanımı ayarlamak için, bir bütünlük alanından (integral üniter değişmeli halka) R'den başlamalı ve sonra inşa etmeliyiz

R [X, Y,…, T],

X, Y,…, T'deki polinomların halkası. Bu halka aynı zamanda bir bütünlük alanı olacaktır. R ve belirsiz X, Y,…, T katsayıları ile rasyonel kesirler kümesi olarak adlandırılan bu kümenin kesirlerinin alanını oluşturmak mümkündür.

Taylor Serisi

Bir rasyonel fonksiyonun Taylor serisi katsayıları , seri katsayılarını tanımlayarak açık hale getirilebilen doğrusal bir tekrarlama ilişkisini karşılar .

Örneğin, poz veriyoruz

{\ frac {1} {1-x}} = \ toplam _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {k} x ^ {k}

;

o zaman bizde:

1 = (1-x) \ toplam _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {k} x ^ {k}

1 = \ toplam _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {k} x ^ {k} - \ toplam _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {k} x ^ {{k + 1}}

1 = \ toplam _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {k} x ^ {k} - \ toplam _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} a _ {{ k -1}} x ^ {k}

1 = a_ {0} + \ toplam _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} (a_ {k} -a _ {{k-1}}) x ^ {k}

Serinin katsayılarının tanımlanması (1, seriden başkası değildir ) daha sonra ilişkileri sağlar $1+ \ toplam _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} 0.x ^ {k}$

{\ start {case} a_ {0} = 1 \\\ forall k \ geq 1, a_ {k} = a _ {{k-1}} \ end {case}}

hangi sonuçta yol olduğunu söylemek : Biz böylece rasyonel fonksiyonun Taylor serisi bulduk . $\ forall k \ geq 0, a_ {k} = 1$ ${\ frac {1} {1-x}} = \ toplam _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} x ^ {k}$ $x \ mapsto \ frac {1} {1-x}$

İlgili Makaleler

Yaklaşık Padé