Gauss sürekli kesir

Olarak karmaşık analiz , bir Gauss sürekli fraksiyon özel bir durumu olan , sürekli bir fraksiyondan elde edilen hipergeometrik fonksiyonlar . Bu, analitik devam eden fraksiyonların en eski örneklerinden biriydi . Önemli temel işlevlerin yanı sıra daha karmaşık aşkın özel işlevleri temsil etmeyi mümkün kılarlar .

Tarih

Lambert bazı örnekler geçme genelleştirilmiş devam eden kesirler , diğer şeyler arasında ortaya koyan, 1768 yılında bu formun mantıksızlığını ait $tt$ ( bakınız "için Uygulamalar § 0 F 1 " , aşağıda ). Euler ve Lagrange benzer yapıları ele ama olduğu Gauss 1813 yılında, bu sürekli kesir genel şeklini vermek üzere bir sonraki bölümde tarif edilen cebirsel numara kullanılmaktadır.

Ancak, yakınsama özelliklerini göstermedi . Bernhard Riemann ve Ludwig Wilhelm Thomé kısmi sonuçlar elde ettiler, ancak Edward Burr Van Vleck (in) yakınsama alanını açıklığa kavuşturdu 1901 yılına kadar değildi .

Genel formül

Let $( f i olabilir)$ bir dizisi analitik fonksiyonları gibi tüm bu $i > 0$ ,

{\ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} \, z \, f_ {i + 1},}

Nerede $k i$ olan sabitler . Yani poz vererek ${\ displaystyle g_ {i} = {\ frac {f_ {i}} {f_ {i-1}}} {\ text {, bizde}} g_ {i} = {\ frac {1} {1 + k_ {i} zg_ {i + 1}}}}$ bu nedenle ( Pringsheim gösteriminde ) ${\ displaystyle {\ frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = g_ {1} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1 + k_ {1} zg_ {2}}} = { \ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1 + k_ {2} zg_ {3}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {2} z \ mid} {\ mid 1 + k_ {3} zg_ {4 }}} = \ ldots}$ ve bu dönüşümü sonsuza kadar tekrarlamak:

{\ displaystyle {\ frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {1} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {2} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {k_ {3} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}

Gauss sürekli fraksiyon olarak, fonksiyonlar $f i$ olan hipergeometrik fonksiyonlar form 0 F 1 , 1 F 1 ve 2 F 1 ve denklem $f i -1 - f i = k i ZF i +1$ 'gelen kimlik arasındaki parametrelerin tam büyüklüklere göre farklılık gösterdiği bu fonksiyonlar . Bu kimlikler çeşitli şekillerde gösterilebilir, örneğin seriyi genişleterek ve katsayıları karşılaştırarak veya türevi çeşitli şekillerde hesaplayıp üretilen denklemlerden çıkararak.

Üç seri 0 F 1 , 1 F 1 ve 2 F 1

0 F 1 serisi

En basit durum, işlevle ilgilidir

{\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} (; a; z) = 1 + {\ frac {1} {a \, 1!}} z + {\ frac {1} {a (a + 1 ) \, 2!}} Z ^ {2} + {\ frac {1} {a (a + 1) (a + 2) \, 3!}} Z ^ {3} + \ cdots.}

Kimliğine göre ${\ displaystyle _ {0} F_ {1} (; a-1; z) - \, _ {0} F_ {1} (; a; z) = {\ frac {z} {a (a-1) }} \, _ {0} F_ {1} (; a + 1; z),}$ alabiliriz ${\ displaystyle f_ {i} = \, _ {0} F_ {1} (; a + i; z) {\ text {et}} k_ {i} = {\ frac {1} {(a + i) (a + i-1)}},}$ Hangi verir ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z)} {\, _ {0} F_ {1} (; a; z)}} = {\ frac { 1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {a (a + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1 } {(a + 1) (a + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {1} {(a + 2) (a + 3)}} z \ orta} {\ orta 1}} + \ cdots}$ veya dönüştürme yoluyla :

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z)} {a \, _ {0} F_ {1} (; a; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid a}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid a + 1}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid a + 2}} + {\ frac { z \ mid} {\ mid a + 3}} + \ cdots.}

Bu gelişme yakınsak meromorfik fonksiyonu iki bölüm ile tanımlanan yakınsak dizi (yani, tabii ki, Resim $bir$ negatif veya sıfır tam sayı değil).

1 F 1 serisi

Aşağıdaki durum Kummer'in birleşik hipergeometrik işlevi ile ilgilidir.

{\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = 1 + {\ frac {a} {b \, 1!}} z + {\ frac {a (a + 1)} {b (b + 1) \, 2!}} z ^ {2} + {\ frac {a (a + 1) (a + 2)} {b (b + 1) (b + 2) \, 3 !}} z ^ {3} + \ cdots,}

iki kimliğin dönüşümlü olarak kullanıldığı ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) = {\ frac {(a- b + 1) z} {b (b-1)}} \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$ ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, _ {1} F_ {1} (a; b; z) = {\ frac {az} {b ( b-1)}} \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z).}$ Sorarak ${\ displaystyle f_ {0} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$ ${\ displaystyle f_ {1} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$ ${\ displaystyle f_ {2} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 2; z),}$ ${\ displaystyle f_ {3} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 3; z),}$ ${\ displaystyle f_ {4} (z) = \, _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 4; z),}$ vb. ve ${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {ab} {b (b + 1)}}, ~ k_ {2} = {\ frac {a + 1} {(b + 1 (b + 2)}} , ~ k_ {3} = {\ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}}, ~ k_ {4} = {\ frac {a + 2} {(b + 3) ( b + 4)}}, \ ldots}$ elde ederiz ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab} {b (b + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {a + 1} {(b + 1) (b + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{{\ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ buradan çıkardığımız

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {b \, _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {(ab) z \ mid} {\ mid b + 1}} + {\ frac {(a + 1) z \ mid} { \ mid b + 2}} + {\ frac {(ab-1) z \ mid} {\ mid b + 3}} + {\ frac {(a + 2) z \ mid} {\ mid b + 4} } + \ cdots}

aynı zamanda, kullanarak o 1 F 1 (0; B , Z ) = 1 ve değiştirilmesi $b + 1$ ile $b$ , özel durum

{\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (1; b; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid b + 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ mid b + 2}} + {\ frac {2z \ mid} {\ mid b + 3} } - {\ frac {(b + 1) z \ mid} {\ mid b + 4}} + \ cdots.}

Aynı şekilde, ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a} {b (b + 1)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab-1} {(b + 1) (b + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {a + 1} {(b + 2) (b + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {ab-2} {(b + 3) (b + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ veya:

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {b \, _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { \ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {az \ mid} {\ mid b + 1}} + {\ frac {(ab-1) z \ mid} {\ mid b + 2 }} + {\ frac {(a + 1) z \ mid} {\ mid b + 3}} + {\ frac {(ab-2) z \ mid} {\ mid b + 4}} + \ cdots. }

2 F 1 serisi

Son dava, işlevle ilgilidir

{\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = 1 + {\ frac {ab} {c \, 1!}} z + {\ frac {a (a + 1 ) b (b + 1)} {c (c + 1) \, 2!}} z ^ {2} + {\ frac {a (a + 1) (a + 2) b (b + 1) (b + 2)} {c (c + 1) (c + 2) \, 3!}} Z ^ {3} + \ cdots.}

Alternatif olarak yine iki kimlik kullanıyoruz: ${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) = {\ frac {(ac + 1) bz} {c (c-1)}} \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$ ${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - \, _ {2} F_ {1} (a, b + 1; c; z) = {\ frac {(bc + 1) az} {c (c-1)}} \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$ aslında $a$ ve $b$ yakınındaki ters çevirme ile aynıdır .

Sorarak ${\ displaystyle f_ {0} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$ ${\ displaystyle f_ {1} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z),}$ ${\ displaystyle f_ {2} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 2; z),}$ ${\ displaystyle f_ {3} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 1; c + 3; z),}$ ${\ displaystyle f_ {4} (z) = \, _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 2; c + 4; z),}$ vb. ve ${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {(ac) b} {c (c + 1)}}, ~ k_ {2} = {\ frac {(bc-1) (a + 1)} {( c + 1) (c + 2)}}, ~ k_ {3} = {\ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}}, ~ k_ { 4} = {\ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}}, \ ldots}$ elde ederiz ${\ displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z \ mid} {\ mid 1} } + {\ frac {{\ frac {(bc-1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{ \ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ frac {(bc-2 ) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}$ buradan çıkardığımız

{\ displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = {\ frac {1 \ mid} {\ mid c}} + {\ frac {(ac) bz \ mid} {\ mid c + 1}} + {\ frac {(bc-1) (a +1) z \ mid} {\ mid c + 2}} + {\ frac {(ac-1) (b + 1) z \ mid} {\ mid c + 3}} + {\ frac {(bc- 2) (a + 2) z \ mid} {\ mid c + 4}} + \ cdots.}

aynı zamanda, bu kullanarak 2 F 1 (0, b , c , Z ) 1 = ve değiştirilmesi $c + 1$ ile $c$ , özel durum

{\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (1, b; c; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {bz \ mid} {\ orta c }} + {\ frac {(bc) z \ mid} {\ mid c + 1}} - {\ frac {c (b + 1) z \ mid} {\ mid c + 2}} + {\ frac { 2 (bc-1) z \ mid} {\ mid c + 3}} - {\ frac {(c + 1) (b + 2) z \ mid} {\ mid c + 4}} + \ cdots.}

Yakınsama

Bu bölümde, bazı parametrelerin negatif veya sıfır tamsayı olduğu durumu hariç tutuyoruz çünkü bu durumda, ya hipergeometrik seriler tanımlanmamış ya da polinomlar ve ardından devam eden kesir sonludur. Diğer önemsiz istisnaları da hariç tutuyoruz.

Fonksiyonlar 0 F 1 ve 1 F 1 olan tam sayılar dolayısıyla katsayilari meromorfik . Elde edilen sürekli fraksiyonlar eşit yakınsama herhangi kapalı sınırlanmış bir kompleks düzlemde hiçbiri içeren direkleri Bu fonksiyonun.

Yakınsama serisi 2 F 1 1 bu nedenle oranları açısından meromorfik olan eşittir açık birim disk . Elde edilen sürekli fraksiyonlar, bu diskte bulunan ve kutuplardan herhangi birini içermeyen herhangi bir sınırlı kapalı üzerinde düzgün bir şekilde birleşir. Diskin dışında, sürekli fraksiyonunun bir temsil analitik uzamasının yoksun kompleks düzlemde fonksiyon gerçek yarı satır $+ \infty [[1$ . Çoğu zaman, nokta $1$ bir dallanma noktasıdır ve yarım çizgi $[1, + \infty [$ bu işlev için bir dal kesimidir.

Uygulama örnekleri

En Uygulamalar 0 F 1

Böylece hiperbolik tanjant ve teğet fonksiyonları için Lambert sürekli kesirlerini buluruz ( Diophantine yaklaşımı hakkındaki makalenin “Irrationality” paragrafına bakın ): ${\ displaystyle {\ başla {hizalı} \ tanh (z) & = {\ frac {\ sinh (z)} {\ cosh (z)}} = {\ frac {z \, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {3} {2}}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})} {\, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2 }}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})}} = {\ frac {z} {2}} ~ {\ frac {{} _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2}} + 1; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})} {{\ tfrac {1} {2}} \, _ {0} F_ {1} (; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {z ^ {2}} {4}})}} \\ & = {\ frac {{\ frac {z} {2}} \ mid} { \ mid {\ tfrac {1} {2}}}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 1}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 2}} + {\ frac {{\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid {\ tfrac {1} {2}} + 3}} + \ cdots \\ & = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + \ cdots \ end {hizalı}}}$ (birkaç dönüşümden sonra e'nin devam eden kesirini belirlemek için kullanılabilir ); ${\ displaystyle \ tan (z) = - {\ rm {i}} \ tanh ({\ rm {i}} z) = {\ frac {z \ orta} {\ orta 1}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 7} } - \ cdots.}$
Bessel fonksiyonu $J α$ yazılabilir ${\ displaystyle J _ {\ alpha} (z) = {\ frac {({\ tfrac {1} {2}} z) ^ {\ alpha}} {\ Gama (\ alfa +1)}} \, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}}).}$ Herhangi bir karmaşık $z için$ ,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {J _ {\ alpha} (z)} {J _ {\ alpha -1} (z)}} & = {\ frac {z \ Gama (\ alpha) } {2 \ Gama (\ alpha +1)}} {\ frac {\, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}}) } {{} _ {0} F_ {1} (; \ alpha; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})}} = {\ frac {z} {2}} {\ frac { \, _ {0} F_ {1} (; \ alpha +1; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})} {\ alpha \, _ {0} F_ {1} (; \ alpha; - {\ frac {z ^ {2}} {4}})}} \\ & = {\ frac {{\ frac {z} {2}} \ mid} {\ mid \ alpha}} - { \ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid \ alpha +1}} - {\ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid } {\ mid \ alpha +2}} - {\ frac {{\ frac {z ^ {2}} {4}} \ mid} {\ mid \ alpha +3}} - \ cdots \\ & = {\ frac {z \ mid} {\ mid 2 \ alpha}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 2 (\ alpha +1)}} - {\ frac {z ^ {2} \ orta} {\ orta 2 (\ alpha +2)}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid 2 (\ alpha +3)}} - \ cdots. \ end {hizalı}}}$

En Uygulamaları 1 F 1

Üstel fonksiyon gelişir ${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {z} = {} _ {1} F_ {1} (1; 1; z) = {\ frac {1 \ mid} {\ orta 1}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {z \ mid} {\ mid 2}} - {\ frac {z \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {2z \ mid } {\ mid 4}} - {\ frac {2z \ mid} {\ mid 5}} + \ cdots.}$
Hata fonksiyonu $erf$ herhangi bir kompleks için, gelişen $z$ olarak, ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} {\ rm {e}} ^ {z ^ {2}} {\ rm {erf}} (z) = \, _ {1} F_ {1} (1; {\ tfrac {3} {2}}; z ^ {2}) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {3} {2}}}} + {\ frac {z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {5} {2}}}} - {\ frac { {\ frac {3} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {7} {2}}}} + {\ frac {2z ^ {2} \ mid} {\ mid { \ frac {9} {2}}}} - {\ frac {{\ frac {5} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {11} {2}}}} + {\ frac {3z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {13} {2}}}} - {\ frac {{\ frac {7} {2}} z ^ {2} \ mid} {\ mid {\ frac {15} {2}}}} + \ cdots.}$
Biz aynı şekilde gelişebilir Fresnel fonksiyonları , Dawson o ve tamamlanmamış gama fonksiyonları $γ ( s , z )$ ve $y ( s , z )$ .

En Uygulamaları 2 F 1

Nın-nin ${\ displaystyle (1-z) ^ {- b} = \, _ {1} F_ {0} (b ;; z) = \, _ {2} F_ {1} (1, b; 1; z) }$ (iki terimli serinin varyantı $(1 + z ) α$ ) ${\ displaystyle (1-z) ^ {- b} = {\ frac {1 \ orta} {\ orta 1}} - {\ frac {bz \ orta} {\ orta 1}} + {\ frac {(b -1) z \ orta} {\ orta 2}} - {\ frac {(b + 1) z \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {2 (b-2) z \ mid} {\ ort 4}} - {\ frac {2 (b + 2) z \ mid} {\ mid 5}} + \ cdots}$ ve ayrıca ark tanjant fonksiyonunun aşağıdaki ifadesi : ${\ displaystyle \ arctan (z) = z \, _ {2} F_ {1} ({\ tfrac {1} {2}}, 1; {\ tfrac {3} {2}}; - z ^ {2 }) = {\ frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {(1z) ^ {2} \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {(2z) ^ {2} \ mid} {\ mid 5}} + {\ frac {(3z) ^ {2} \ mid} {\ mid 7}} + {\ frac {(4z) ^ {2} \ mid} {\ mid 9} } + \ cdots,}$ İki yarım satır yoksun kompleks düzlemde olan yakınsak $] -\infty, -1] i$ ve $[1 + \infty [i$ arasında saf sanal eksen ( $I$ ve $-i$ olan dallanma noktaları ). Bu yakınsama $z = 1'de$ oldukça hızlıdır ve dokuzuncu indirgemeden yaklaşık $π / 4$ ila 7 ondalık basamak verir (oysa Brouncker formülünde , aynı kesinlik için bir milyondan fazla terime ihtiyaç vardır).
Aynı şekilde, örneğin doğal logaritmayı ve ark sinüs fonksiyonunu geliştirebiliriz .

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Gauss sürekli kesri " ( yazarların listesini görmek ) .

(inç) Hubert Stanley Duvarı (inç) , Devam Eden Kesirler Analitik Teorisi , AMS ,2000( 1 st ed. 1948), 433 , s. ( ISBN 978-0-8218-2106-0 ) , s. 349.
(in) William B. Jones ve WJ Thron , Devam Kesirler: Analitik Teori ve Uygulamalar , Addison-Wesley , al. "Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları" ( n o 11),1980( ISBN 978-0-201-13510-7 ) , s. 5.
(La) CF Gauss , " Disquisitiones generales circa seriem infinitam: Sectio secunda - Fractiones continuae " , Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis latestiores ,1813, s. 13-17 ( çevrimiçi okuyun ).
B. Riemann, sonsuz sürekli kesir iki hipergeometrik serinin bölüm gelişmesi üzerine , 1863 - oeuvre de Riemann, 1873, 2 nd ed., P. 424 (ölümünden sonra parça - orijinal başlık: (o) " Frazione continua infinita içinde Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche ").
(de) LW Thomé , “ Über Kettenbruchentwicklung des die Gauss schen Quotienten ... ” , J. kraliçe Angew. Matematik. , cilt. 67,1867, s. 299-309 ( çevrimiçi okuyun ).
(in) EB Van Vleck , " Gauss'un devam eden fraksiyonunun ve diğer devam eden fraksiyonların yakınsaması üzerine " , Annals of Mathematics , cilt. 3,1901, s. 1-18 ( DOI 10.2307 / 1967627 ).
Jones ve Thron 1980 , s. 206.
Duvar 2000 , s. 339.
(itibaren) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner,1913( çevrimiçi okuyun ) , "§ 64: Beispiele - Die Kettenbrüche von Gauss und Heine" , s. 343-354.
Gauss 1813'te verilen eşdeğer biçim , s. 16, üstel fonksiyonun Padé yaklaşımları hakkındaki makalenin “Birinci türün sürekli kesri” bölümünde yer almaktadır .
Jones ve Thron 1980 , s. 208.
Duvar 2000 , s. 343.
Jones ve Thron 1980 , s. 202.

Ayrıca görün

Rogers-Ramanujan Devam Eden Kesir

Dış bağlantı

(tr) Eric W. Weisstein , " Gauss'un Devam Eden Kesiri " , MathWorld'de