Cebirsel grup

Gelen cebirsel geometri , kavramı cebirsel grup eşdeğer olan Lie grupları içinde diferansiyel ya da karmaşık geometrisi . Bir cebirsel grup, bir olan cebirsel çeşitli onun cebirsel çeşitli yapısıyla uyumlu bir grup yasa ile donatılmış.

Tanım

Bir (değişmeli) alan K üzerindeki bir cebirsel grup , mun üzerindeki cebirsel bir manifolddur : $G$ $K$

K- cebirsel çeşitlerinin bir morfizminin (çarpma olarak da adlandırılır) . Kaynak çeşidi , kendisinin elyaf ürünüdür ; ${\ displaystyle \ mu: G \ times _ {K} G \ ila G}$ $G$
Bir arasında ters morfizmalar ; ${\ displaystyle \ iota: G \ ila G}$
bir nötr element ait (rasyonel bir nokta ) $\ epsilon$ ${\ displaystyle G (K)}$ $G$

bir grubun aksiyomlarını resmi olarak doğrulamak. Eğer azalır ve eğer edilmektedir K cebirsel kapalı olduğu, bu morfizimler setinde bir grup yapısını neden olması yeterlidir rasyonel noktaların . $G$ ${\ displaystyle G ({K})}$ $G$

Herhangi bir cebirsel çeşitli için X üzerinde K , grubu G (x) ve K arasından -morphisms X için G bir grup yapısı devralır. Bir cebirsel grubu tanımlamanın hızlı bir yolu, daha sonra , gruplar kategorisinde K üzerinden cebirsel çeşitler kategorisinin bir fonksiyonunu temsil eden bir cebirsel çeşitlilik olduğunu söylemektir .

: Uyarı ile sağlanan Zariski topoloji ve ürün topoloji ile. ${\ displaystyle G \ times _ {K} G}$

Bir homomorfizmi cebirsel grupların üzerinde K üzerinde cebirsel manifold bir morfizmanın olan K ise: Grup yapı ile uyumludur çarpma yasalar G ve H , daha sonra, sırasıyla . Noktalar açısından, bu sonlu tip A'nın herhangi bir K- cebiri için f tarafından indüklenen haritanın bir grup homomorfizmi olduğunu söylemek anlamına gelir . Eğer K cebirsel olarak kapalı olup olmadığını G ve H azaltılır, sadece almak A = K . ${\ displaystyle f: G \ - H}$ ${\ displaystyle \ mu _ {G}, \ mu _ {H}}$ ${\ displaystyle f \ circ \ mu _ {G} = \ mu _ {H} \ circ (f \ times f)}$ ${\ Displaystyle f (A): G (A) \ - H (A)}$
Cebirsel grupların bir izomorfizmi, temel cebirsel çeşitler için bir izomorfizm olan cebirsel grupların bir homomorfizmidir.
Bir cebirsel alt grup F arasında G bir altcins olan G daldırma şekilde cebirsel gruba homomorfizma. F'nin kapalı bir alt değişken olduğunu biliyoruz . ${\ displaystyle i: F \ ila G}$
Eğer fazla cebirsel gruba homomorfizma K , çekirdek Ker bir f ile tanımlanır . Ker'in altında yatan alan vardır , ancak alt çeşitlilik yapısı mutlaka azaltılmış değildir. Ker'in G'nin cebirsel bir alt grubu olduğunu göstermek kolaydır . ${\ displaystyle f: G \ - H}$ $(f)$ ${\ displaystyle G \ times _ {H} \ epsilon _ {H}}$ $(f)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ epsilon _ {H})}$ $(f)$

Örnekler

Eğer sonlu grup olduğu, üzerinde eşsiz bir cebirsel grubu vardır K olarak cisimler herhangi bir uzantısı için L / K . Öyle sabiti grubu . $\Gama$ ${\ displaystyle G (L) = \ Gama}$ $\Gama$
Katkı maddesi grubu : Temel manifoldu afin olduğu bir bölgesinin ^ 1 K . İçin K cebiri sonlu bir grup kanonik grubu (katkı maddesi) tanımlanır A . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ displaystyle G_ {a} (A)}$
Çarpımsal grubu : Temel manifoldu afin çizgi bir fazla ^ 1 K kökenli yoksun. Sonlu tip A'nın herhangi bir K- cebiri için , grup kanonik olarak A'nın tersinir elemanlarının çarpımsal grubu ile tanımlanır . ${\ displaystyle G_ {m}}$ ${\ displaystyle G_ {m} (A)}$ $A ^ {*}$
${\ displaystyle GL_ {n, K}}$ , Ters çevrilebilir matrislerin grubu , bir cebirsel grubudur. Sonlu tip A'nın herhangi bir K- cebiri için , grup, katsayıları A ve ters çevrilebilir olmak üzere, n dereceli kare matrislerinin çarpımsal grubuyla tanımlanır . N = 1 olduğunda , çarpımsal grubu buluruz . ${\ displaystyle GL_ {n, K} (A)}$ ${\ displaystyle G_ {m}}$
Eliptik eğrileri cebirsel gruplarıdır.
Let n olmak doğal bir sayı. N ile çarpma , cebirsel grupların homomorfizmini indükler . Eğer n , K alanının karakteristiğine göre asalsa, bu homomorfizmin çekirdeği nötr elemente indirgenir. ${\ displaystyle G_ {a} \ - G_ {a}}$
Eğer K bir sahiptir pozitif karakteristik p , güç için yükseklik p (denilen Frobemino ) içerisinde cebirsel gruba homomorfizma. Çekirdeği, pürüzsüz olmayan bir cebirsel grubun tipik bir örneğidir. Temel cebirsel çeşitlilik Spec'dir (sadece bir noktası vardır ve indirgenmez). ${\ displaystyle G_ {a}}$ $\ alpha _ {p}$ ${\ displaystyle K [T] / (T ^ {p} K [T])}$
Let n olmak doğal bir sayı. Çarpımsal grubunda , güç yükseltilmesi n indükler olan çekirdek cebirsel gruba homomorfizması, taban alanı ise sonlu cebirsel grubu, sabit K tümünü içeren n- inci kökleri birlik. K'nın üzerine yayılır, ancak ve ancak n , K'nin karakteristiğine göre asalsa . ${\ displaystyle G_ {m}}$ $\ mu _ {n}$
Cebirsel geometride, bir simit T ile K bir ürüne izomorfik bir cebirsel grubudur cebirsel kapağın K . Biz söylemek T edilir dağıtılan İzomorfizma olarak ayarlanırsa K . ${\ displaystyle G_ {m}}$

İki sınıf cebirsel grup özellikle önemlidir. Her şeyden önce, değişmeli manifoldlar , altta yatan manifoldun uygun , bağlantılı ve pürüzsüz olduğu cebirsel gruplardır . Eliptik eğriler, değişmeli çeşitlerin örnekleridir.

Sonra doğrusal cebirsel gruplar (en) gelir : bunlar, grubun afin bir cebirsel çeşitlilik olduğu duruma karşılık gelir , başka bir deyişle, içindeki bir polinom ailesinin sıfırlarının yeri . Genel alt grupların çoğu doğrusal cebirsel gruplara karşılık gelir. Örneğin , polinomdaki sıfırlar kümesidir . Doğrusal cebirsel grupların aslına uygun olarak temsil edilebileceği gösterilebilir . Böylece, adlarını açıklayan alt grupları olarak hala görülebilirler . ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ noktalar, X_ {n}]}$ $GL_n (K)$ ${\ displaystyle SL_ {n} (K)}$ ${\ displaystyle \ det -1}$ ${\ displaystyle GL_ {n, K}}$

Yapısı

Çeşit yapısı

Geometrik olarak indirgenmiş bir cebirsel grup otomatik olarak pürüzsüzdür. Karakteristik 0 olan bir alanda, herhangi bir cebirsel grup pürüzsüzdür (Cartier teoremi). Öte yandan, K pozitif bir p özelliğine sahipse , düz olmayan cebirsel gruplar vardır ( yukarıdaki örneğe bakın ). $\ alpha _ {p}$

Ayrışma

Eğer G bir alan üzerinde cebirsel grubudur K , biz ayrıştırmak G aşağıdaki gibi.

Açık bir alt grup vardır ve adı, nötr bileşen arasında ve sonlu cebirsel grubu ile Etale K , öyle ki, her iki uzatma ile , yani, biz tam bir diziye sahip $G ^ {0}$ $G$ $G$ $\ pi _ {0} (G)$ $G$ $\ pi _ {0} (G)$ $G ^ {0}$

${\ displaystyle 1 \ - G ^ {0} \ - G \ - \ pi _ {0} (G) \ - 1.}$

Eğer K cebirsel kapalı olduğu, sabit sonlu grubudur. ${\ displaystyle \ pi _ {0} (G)}$

Şimdi G'nin düz ve K'nın mükemmel olduğunu varsayalım (örneğin karakteristik 0). Daha sonra , değişken bir manifoldun düz bir doğrusal grup L (Chevalley teoremi) tarafından uzatılmasıdır . $G ^ {0}$
Ayrıca G'nin değişmeli olduğunu varsayalım . Doğrusal grup L , tek kutuplu bir grup tarafından bir simitten üretilir ( yani, ardışık uzantıları olan bir cebirsel grup ). Karakteristik 0'da, unipotent gruplar bir ürününe izomorfiktir . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ displaystyle G_ {a}}$

Diferansiyel formlar

Eğer G pürüzsüz cebirsel grubu, daha sonra teğet demeti orijinde G tanjant alanı tarafından oluşturulan, sabittir . Dualite ile, G üzerindeki diferansiyel form demeti serbesttir (pürüzsüz bir cebirsel manifoldda, diferansiyel form demetinin genel olarak yalnızca yerel olarak serbest olduğunu unutmayın). ${\ displaystyle \ epsilon _ {G}}$

Genelleme

Bir diyagram düşünün . Bir grup düzeni ile ilgili a, -schema kategorisinden bir functor temsil kategorisinde -schemas grupları . $S$ $S$ $S$ ${\ displaystyle G \ - S}$ $S$

Daha somut olarak, herhangi bir şema için kümenin bir grup olmasını ve her şey için kanonik haritanın grupların bir morfizmi olmasını istiyoruz. $S$ $T$ ${\ displaystyle G (T) = {\ rm {Mor}} _ {S} (T, G)}$ ${\ displaystyle T '\ - T}$ ${\ displaystyle G (T) \ - G (T ')}$
Grup şemalarını tanımlamanın başka bir yolu , bir grubun olağan aksiyomlarını karşılayan bir morfizm (çarpma), bir otomorfizm (tersi) ve bir yapısal morfizm bölümü (nötr bölüm) olduğunu söylemektir . ${\ displaystyle G \ times _ {S} G \ - G}$ ${\ displaystyle G \ ila G}$ ${\ displaystyle S \ - G}$ ${\ displaystyle G \ - S}$

Eğer daha sonlu Çeşidi sonra her şey için , lif kalıntı alanın üzerine bir cebirsel gruptur . Bu nedenle , noktaları ile parametrelenmiş bir cebirsel grup ailesi olarak görülebilir . ${\ displaystyle G \ - S}$ $s \ S$ ${\ displaystyle G_ {s}}$ ${\ displaystyle k (s)}$ ${\ displaystyle G \ - S}$ $S$

Cebirsel grupların , eliptik eğrilerin vb. Standart örnekleri , herhangi bir temelde grup şemalarına kolayca genelleştirilebilir . ${\ displaystyle G_ {a}, G_ {m}}$ $S$

Bir grup şeması olan ayrılmış üzerinde sadece nötr bölümünde kapalı olup olmadığını eğer . ${\ displaystyle G \ - S}$ $S$ $G$

İlgili Makaleler

Cebirsel gruplarda yaklaşım (in)
Cebirsel bir grubun radikali (tr)
Yarı basit cebirsel grup (en)