Matematikte, belirli nesneler için ters görüntünün oluşturulması, diferansiyel geometrinin temel işlemlerinden biridir . Belirli bir uygulama ile ilk nesnenin "taşınmasından" kaynaklanan yeni bir nesnenin elde edilmesini mümkün kılar. Biz böylece karşılıklı görüntüleri dikkate diferansiyel formlar arasında, demetleri taşıma uygulanarak sağda oluşabilir bütün nesneleri ve onların bölümlerinin ve genel bir şekilde. Aynı zamanda İngilizce geri çekilme terimini ya da kelimenin tam anlamıyla çevirisini kullanır: belirli bir nesneyi geri çekti . Kutsanan gösterim, T'nin f tarafından karşılıklı görüntüsü içindir .
Solda bir kompozisyon gerçekleştirmekten oluşan ikili bir işlem, doğrudan görüntü (veya ileri itme) vardır. Sonuç daha sonra not edilir . Taşıma haritasının bir diffeomorfizm olması durumunda , bu iki işlem aynı nesneler üzerinde aynı anda tanımlanır. Bu iki dönüşümün olası kullanımlarından biri, yerel koordinat sistemlerinin değişikliklerini yazmaktır. Özellikle belirli miktarların değişmezlik özelliklerini formüle etmek için kullanılabilir.
Diferansiyel manifoldlar çerçevesine geçmeden önce, karşılıklı görüntü, çok satırlı bir cebir işlemi olarak tanıtılabilir . Eğer u bir olan doğrusal haritası bir vektör uzayı içinde E yılında F ve ω bir ise k -linear formu üzerinde F , biz formu doğrusal karşılıklı görüntü tanımlamak , k -linear üzerinde E denklem ile
"Geri getirmenin", yani E'de , vektörlerin "ileriye" taşınmasının gerekli olduğunu not ediyoruz ; bu, kovaryant ve aykırı davranış arasındaki ikiliği gösterir . Karşılıklı görüntü işlemdir Funktor doğada ; Bu bileşim ile uyumlu aslında: durumda burada k = 1 (doğrusal biçimidir) tanımını bulmak transpoze harita .
Öklid uzaylarının iki açıklığı arasında bir uygulama olalım . Bir tensör alanı A tipi (0, k ) ' nin f altında ters görüntü tanıtılabilir, yani V üzerinde k çarpı kovaryanttır . Bu doğrusal uygulama teğet içeren f herhangi bir noktasında: x ve V ,
dır-dir
Ve yine, bileşenlerde ve Einstein'ın toplama kuralıyla
Bu yazı, kart değiştirme uygulamalarıyla uyumluluğu göstermektedir. Karşılıklı görüntü kavramı bu nedenle bir diferansiyel manifold üzerinde tanımlanan (0, k ) tipi tensör alanlarına genişletilebilir .
Doğrudan uygulanmasını sağlayan farklı kollektörler altında bulunur f çeşitli düzgün bir uygulama M diğer N . Ama elbette Öklid uzamının açılışları olabilir.
Karşılıklı görüntü işlemi, tensör antisimetrizasyon işlemiyle değişmektedir. Bu nedenle , farklı bir formun karşılıklı görüntüsünü aynı ifadeyle tanıtmak mümkündür.
.Dış ürün Funktor geçerli: . Diferansiyel biçim 0 derece, yani kendisi bir işlev olduğunda, karşılıklı görüntü kompozitten başkası değildir .
Dış türev ters görüntü ile sırabağımsızdır: .
Farklı şekillerin veya kovaryant tensörlerin bir alanına karşılıklı bir görüntünün uygulanması , bir vektör demetinin bir bölümünün başka bir demetin yeni bir bölümüne taşınması olarak yorumlanabilir , iki demet zaten biliniyor. Daha genel olarak, yeni bir demet oluşturmayı mümkün kılan bir taşıma şekli tanımlanabilir. Bu, "elyafı taşıyarak temel alanı değiştirmek" ile ilgilidir. Diferansiyel geometride, ilk uygulama alanı vektör demetleridir , ancak bu işlemin kullanımı bundan daha geniştir.
Mı bir vektör demeti baz B ve bir uygulama . Ardından , aşağıdaki diyagramı değişmeli hale getiren karşılıklı bir görüntü paketi tanımlayabiliriz.
ile f ' fark, elyaf fiberden vektör uzayı bir izomorfik. Açık bir yapı , karşılıklı görüntü demetinin "dar" tanımını oluşturan pozlamadan oluşur . Ancak bu koşulları karşılayan tüm paketler izomorfik olduğundan, aynı zamanda, kategorilerin diliyle ifade edildiği için en verimli olduğunu kanıtlayacak olan izomorfizme kadar "geniş" bir tanım da verebiliriz .
Grafik terimleriyle, yeni taban alanı A'nın karşılık gelen noktalarına "lifi getirir" . Çok basit bir örnek, kanonik enjeksiyonun, demeti A tabanında sınırlamak için nerede ve nerede kullanıldığıdır .
Her zaman izomorfizmi düşünen karşılıklı görüntü, klasik işlemlerle uyumluluk özelliklerini kontrol eder:
“Temel demet teoremi” bazen kalifiye demetleri, sınıflandırmak için esas teşkil eden bir sonuç, söz konusu olan kompakt veya Parakompakt baz A , iki homotopik haritaları izomorfik demetleri indükler. Bu özellikle, kasılma tabanlı bir uzaydaki vektör demetlerinin önemsiz olduğunu kanıtlıyor .
Bu teoremden, homotopi sınıfları ile demetlerin izomorfizm sınıfları arasında gerçek bir yazışma çıkarabiliriz. Aslında, her tamsayı k için , karşılıklı görüntü demeti olarak k boyutundaki liflerin herhangi bir vektör demetini (en azından parakompakt temelli) türetebileceğimiz evrensel bir demet vardır. Düşünün neden Stiefel çeşitliliği üzerinde Grassmannian ait k sonsuz boyutun uzayda uçakları: . Daha sonra, bir homotopi sınıfıyla, karşılıklı görüntü demetinin izomorfizm sınıfını ilişkilendiren ilişkinin gerçekten bir eşleştirme olduğunu kanıtlayabiliriz . Bu nedenle Grassmannian, vektör demetleri için bir sınıflandırma uzayı olarak nitelendirilir .
Bu sonuç özellikle, daha sonra herhangi bir vektör paketine taşınan sonuçları oluşturmak için bir çalışma alanı olarak evrensel paket kullanılarak kullanılabilir.
Bir vektör demetinin karşılıklı görüntü demetinin yapı daha geniş bir bağlamda uzatılabilir: bu paket işlem içinde Kategori teorisi ; temel lif teoremi böylece her tür lif boşluğuna uzanır. Diferansiyel geometride, vektör demetleri dışında en yaygın kullanım ana demetlerdir . O; aynı zamanda G grubu için bir alan sınıflandırma kavramıdır .
Diffeomorfik karşılıklı görüntü hesaplaması, bir manifold üzerinde tanımlanan belirli ek yapıların koruma veya taşıma özelliklerini formüle etmek için kullanılabilir. Bu nedenle, iki Riemann manifoldu (M, g) ve (N, h) arasındaki bir izometri , metriğin korunum özelliğini doğrulayan bir diffeomorfizmdir . Tersine, eğer bu iki tensör farklıysa, onları karşılaştırmak ilginçtir: Bu, bir çeşidin ilk temel biçiminin diğerine göre en genel nosyonudur .
Başlangıç noktası iki diferansiyel manifold arasında bir diffeomorfizm (hatta yerel) ise ve N'nin bir Riemann yapısı varsa , metrik tensörün karşılıklı görüntüsü M'ye bir Riemann manifold yapısı verir ve harita bir izometri (yerel) olur. Bu, Cartan-Hadamard teoremindeki negatif eğrilik manifoldlarının yapısını tanımlamak için önemli bir noktadır .
Bir diffeomorfizm ile uğraşmadığımız zamanlarda bile, karşılıklı görüntü, bir alt çeşitlilik üzerinde indüklenen bir nesneyi tanımlamak için kullanılabilir; örneğin Stokes teoremi durumunda , bir çeşidin kenarında indüklenen diferansiyel form kavramı . Bir paket temelinde tanımlanan bir nesneyi "yeniden birleştirmek" için kullanılabilir.