Grassmann
Bu makalede ise anahat ilişkin
matematik .
İlgili projelerin tavsiyelerine göre bilginizi geliştirerek ( nasıl ? ) paylaşabilirsiniz .
Gelen matematik , Grassmannians olan manifoldlar olan puanlar, vektör bölme odasının a sabit vektör alanı . Bu G ile (ifade k , n ) ve G , k, n ( K ) arasında Grassmannian bölme odası boyutu k büyüklükte bir boşluk içinde , n bir gövde K . Bu uzaylar , onlara bir parametrelendirme veren ve hala Grassmann “ k -planları” olarak adlandırılan Hermann Grassmann'ın adını taşır .
Genel
Örnekler
- İçin k = 1, Grassmannian olan yansıtmalı alan vektör alan ile ilişkili.
- İçin k = n - 1 ile bağlantılı yansıtmalı boşluğa Grassmannian karşılık çift başlangıç vektörü alan boşluk, bir hiper her nokta tekabül için.
- İçin k = 2 ve n = 4, bir yansıtmalı boşluk olmayan Grassmannians basit elde. Bu, Julius Plücker tarafından 3 boyutlu projektif uzayda bir dizi düz çizgi olarak incelenmiştir .
Bir bölüm olarak Grassmann
Bunu görmek için, ifade boyut (matrisler kümesi n , p ) ve rütbe ait p ve bir Stiefel çeşitli boyut (matrisleri n , p sütunları dik ve üniter vardır).
GLp,değil{\ displaystyle GL_ {p, n}}SLp,değil{\ displaystyle SL_ {p, n}}
Biz fark olduğunu eşleşme arasında boşluk eylem yörüngelerde (tarafından sağ çarpma ait) üzerinde , hem de etki olduğu (grup birimi matrisleri boyutu p üzerine) .
Gp,değil{\ görüntü stili G_ {p, n}}GLp{\ displaystyle GL_ {p}}GLp,değil{\ displaystyle GL_ {p, n}}senp{\ görüntü stili U_ {p}}SLp,değil{\ displaystyle SL_ {p, n}}
Biz olduğunu göstermektedir , bu temsillerin sebep topolojileri kullanarak özdeş Choleskey çarpanlarına .
plücker daldırma
Grassmannian'ı elde etmenin başka bir yolu da onun Plückeriennes veya Grassmannian koordinatlarını tanımlamaktır . Bu gömme yansıtmalı uzayda derecesi dış ürünlerinin k uzay ℝ içinde n ℝ ait uçakların durum için plucker çalışmalarını genişleten 4 .
Gp,değil($){\ displaystyle G_ {p, n} (\ mathbb {R})}P(Λp($değil)){\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Lambda ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}))}
Afin haritalarla kurtarma
Biz tanıtmak kanonik temelini ait E = ℝ n ve biz tarafından ifade S bir k -part ait {1, ..., n }, vektörler tarafından oluşturulan alt uzay .
(eben)ben∈[[1,değil]]{\ displaystyle (e_ {i}) _ {i \ [[1, n]]}}E1=ES{\ displaystyle E_ {1} = E_ {S}}(eben)ben∈S{\ displaystyle (e_ {i}) _ {i \ in S}}
Biz göstermek kümesini ek olanlar arasında .
VS=Gk,değil,S{\ görüntü stili V_ {S} = G_ {k, n, S}}E2=ESvs{\ displaystyle E_ {2} = E_ {S ^ {c}}}
İlk aşama
Let v üye V S .
Herhangi bir vektör benzersiz olarak ve ile yazılır . Uygulama olan
doğrusal ve birebir . Yana V ve aynı boyuta sahip, bir olduğunu
izomorfizm .
Karşılıklı izomorfizmi not ediyoruz . Daha sonra var olan
x∈V{\ displaystyle x \ V'de}x=sen+v=p(x)+q(x){\ görüntü stili x = u + v = p (x) + q (x)}sen∈E1{\ displaystyle u \ E_ {1}}v∈E2{\ displaystyle v \ E_ {2}}V→E1,x↦sen{\ displaystyle V \ - E_ {1}, x \ mapto u}E1{\ görüntü stili E_ {1}}ϕ∈L(E1,V){\ displaystyle \ phi \ L'de (E_ {1}, V)}x=sen+q∘ϕ(sen){\ displaystyle x = u + q \ circ \ phi (u)}ψ=q∘ϕ∈L(E1,E2).{\ displaystyle \ psi = q \ circ \ phi \ L'de (E_ {1}, E_ {2}).}
İkinci adım
Biri herhangi bir elemanı ile bir örten bir şekilde birleşebilir önceki tartışma göstermektedir V bölgesinin , bir harita veya
matriksi (kanonik bazlar E 1 ve E 2 ), (boyut gerçek matrislerin grubu , n - k , k ).
VS{\ görüntü stili V_ {S}}ψ∈L(E1,E2){\ displaystyle \ psi \ L'de (E_ {1}, E_ {2})}ψS(V)∈Mdeğil-k,k{\ displaystyle \ psi _ {S} (V) \ içinde M_ {nk, k}}
Bu alıntı , Grassmannian'ın açık bir parçası olan ( inşa ettiğimiz
Zariski topolojisi için) 'nin afin bir açıklamasıdır .
ψS:Gk,değil,S=VS→Mdeğil-k,k{\ displaystyle \ psi _ {S}: G_ {k, n, S} = V_ {S} \ ila M_ {nk, k}}Gk,değil,S{\ görüntü stili G_ {k, n, S}}Gk,değil{\ görüntü stili G_ {k, n}}
Üçüncü adım
Bu herhangi bir eleman olduğunu göstermektedir ait için en az bir K -part S , ve bu iki farklı parça için S ve T ,
haritaları değişim açıklamaları ile indüklenen ve örten bir morfizmanın (her yerde tanımlanan rasyonel uygulaması), bir yanı arasındaki karşılıklı (veya biregular izomorfik) olarak ve .
Gk,değil{\ görüntü stili G_ {k, n}}Gk,değil,S{\ görüntü stili G_ {k, n, S}} ψT∘(ψS)-1{\ displaystyle \ psi _ {T} \ circ (\ psi _ {S}) ^ {- 1}}Gk,değil,S{\ görüntü stili G_ {k, n, S}}Gk,değil,T{\ görüntü stili G_ {k, n, T}}ψS(Gk,değil,S∩Gk,değil,T){\ displaystyle \ psi _ {S} (G_ {k, n, S} \ cap G_ {k, n, T})}ψT(Gk,değil,S∩Gk,değil,T){\ displaystyle \ psi _ {T} (G_ {k, n, S} \ cap G_ {k, n, T})}
Bir cebirsel çeşitlilik olarak yorumlanması
Bu Grassmannian'ın cebirsel bir çeşit olduğunu yapıştırarak çıkarıyoruz .
Önceki temsil daha sonra bunun tekil olmayan, afin, kapalı ve sınırlı bir çeşit olduğunu, çift yönlü olarak eşbiçimli olduğunu göstermeyi mümkün kılar .
Gp,değil($){\ displaystyle G_ {p, n} (\ mathbb {R})}G(değil-p,değil)($){\ displaystyle G (np, n) (\ mathbb {R})}
Öklidyen Grassmanncılar
ℝ n'nin p boyutlu alt uzaylarının Grassmannian'ı olsun . Gerçek katsayılara sahip n büyüklüğündeki kare matrislerin uzayında , p rütbesindeki ortogonal projektörlerin matrislerinin alt kümesini , yani üç koşulu sağlayan A matrislerini düşünelim :
Gp,değil($){\ displaystyle G_ {p, n} (\ mathbb {R})}Mdeğil($){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}
-
AT2=AT{\ görüntü stili A ^ {2} = A}(bir projektörün matrisidir );
-
tAT=AT{\ görüntü stili ^ {\ rm {t}} A = A}( simetriktir );
-
Tr(AT)=p{\ görüntü stili {\ rm {Tr}} (A) = p}(kendi iz olduğunu s ).
Bu yolla, n boyutundaki kare matrislerin gerçek katsayılarla afin bir alt kümesi olarak temsilini elde ederiz .
Gp,değil($){\ displaystyle G_ {p, n} (\ mathbb {R})}
Notlar ve referanslar
-
Jean-Pierre Dedieu, Sabit Noktalar, Sıfırlar ve Newton Yöntemi , s. 68-69 .
-
Jacek Bochnak, Michel Coste ve Marie-Françoise Roy , Gerçek cebirsel geometri , s. 64-67 .
Şuna da bakın:
İlgili Makaleler
-
Totolojik demet (tr)
-
Sınıflandırma alanı (in)
bibliyografya
- Laurent Lafforgue , Grassmann ameliyatı ( çevrimiçi okuyun )
- Lilian Aveneau, " Plücker'in koordinatları yeniden ziyaret edildi ", REFIG , cilt. 3, n o 2, 2009, s. 59-68
- Andreas Höring ( Pierre-et-Marie-Curie Üniversitesi ), Plücker gömme üzerine çalışma sayfaları: Cebirsel geometri ve modül uzayları, sayfa 3 ve Kählerian geometri ve Hodge teorisi, sayfa 1
- Michèle Audin , Geometri , EDP Sciences ,2006, 3 e ed. , 428 s. ( ISBN 978-2-7598-0180-0 , çevrimiçi okuyun ) , s. 215
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">