Aritmetik-geometrik eşitsizlik
Gelen matematik , aritmetik geometrik eşitsizlik (AGI) arasında bir bağlantı kurar aritmetik ortalaması ve geometrik ortalama . Bu, dışbükeylikle bağlantılı klasik bir sonuçtur .
Eyaletler
Kesin olarak pozitif gerçeklerin geometrik ortalaması, aritmetik ortalamalarından daha azdır:
değil{\ displaystyle n}x1,...,xdeğil{\ displaystyle x_ {1}, \, \ noktalar, \, x_ {n}}
x1...xdeğildeğil⩽x1+⋯+xdeğildeğil{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}},
eşitlikle (eğer ve) sadece eğer .
x1=x2=⋯=xdeğil{\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ noktalar = x_ {n}}
Gösteri
İki gerçek (aritmetik ortalama) ve (geometrik ortalama) kesinlikle pozitiftir, gösterilecek eşitsizlik ( doğal logaritmanın kesin büyümesi ile) eşdeğerdir .
x1+⋯+xdeğildeğil{\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + \ noktalar + x_ {n}} {n}}}x1...xdeğildeğil=(x1...xdeğil)1/değil{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ noktalar x_ {n}}} = (x_ {1} \ noktalar x_ {n}) ^ {1 / n}}
ln((x1...xdeğil)1/değil)⩽ln(x1+⋯+xdeğildeğil),{\ displaystyle \ ln \ sol ((x_ {1} \ noktalar x_ {n}) ^ {1 / n} \ sağ) \ leqslant \ ln \ sol ({\ frac {x_ {1} + \ noktalar + x_ { n}} {n}} \ sağ),}veya tekrar ( logaritmanın fonksiyonel denklemine göre )
ln(x1)+⋯+ln(xdeğil)değil⩽ln(x1+⋯+xdeğildeğil).{\ displaystyle {\ frac {\ ln (x_ {1}) + \ cdots + \ ln (x_ {n})} {n}} \ leqslant \ ln \ sol ({\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \ sağ).}Bu son eşitsizlik , içbükey olan logaritma fonksiyonuna uygulanan Jensen'in izobaryantlar için eşitsizliğinden başka bir şey değildir .
Eşitlik durumu, bu içbükeyliğin katı olmasından kaynaklanmaktadır .
Aritmetik-geometrik eşitsizlik, Muirhead eşitsizliğinin bir sonucu olarak da gösterilebilir ve (1,0, vb. 0) ve (1 / n, vb., 1 / n) dizilerine uygulanır.
Genelleme
Ağırlıklandırma
Aritmetik-geometrik eşitsizlik, aritmetik ve geometrik ağırlıklı araçlara genelleştirir :
Eğer ve sonra, not ederek :
x1,...,xdeğil⩾0{\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ geqslant 0}α1,...,αdeğil>0{\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}> 0}α=α1+...+αdeğil{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n}}
x1α1...xdeğilαdeğilα⩽α1x1+...+αdeğilxdeğilα,{\ displaystyle {\ sqrt [{\ alpha}] {x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} \ leqslant {\ frac {\ alpha _ {1} x_ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n} x_ {n}} {\ alpha}},}
eşitlik ancak ve ancak hepsi eşitse.
xk{\ displaystyle x_ {k}}
Gerçekten de, varsayarak bu genelliği kaybetmeden yok sıfırdır ve not (katı pozitif ve toplamı ), eşitsizlik (eşdeğerdir bakınız yukarıdaki için)
xk{\ displaystyle x_ {k}}tk: =αk/α{\ displaystyle t_ {k}: = \ alpha _ {k} / \ alpha}1{\ displaystyle 1}
t1ln(x1)+⋯+tdeğilln(xdeğil)⩽ln(t1x1+⋯+tdeğilxdeğil){\ displaystyle t_ {1} \ ln (x_ {1}) + \ noktalar + t_ {n} \ ln (x_ {n}) \ leqslant \ ln (t_ {1} x_ {1} + \ noktalar + t_ { n} x_ {n})},
ki bu (içbükey) logaritma işlevi için genel Jensen eşitsizliğinden başka bir şey değildir ve eşitlik durumu katı içbükeylikten kaynaklanmaktadır.
Maclaurin eşitsizliği
Aritmetik ortalamanın ilk temel simetrik işleve ve geometrik ortalamanın sonuncuya karşılık geldiğini belirterek aritmetik-geometrik eşitsizliği de genelleştirebiliriz. Aritmetik-geometrik eşitsizlik yeniden yazılmıştır:
σdeğil(değildeğil)değil⩽σ1(değil1)1{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}}} \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}Ve genelleştirebiliriz:
σdeğil(değildeğil)değil⩽σdeğil-1(değildeğil-1)değil-1⩽⋯⩽σ1(değil1)1{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {\ sigma _ {n-1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n-1}}}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}dır-dir
x1...xdeğildeğil⩽x1...xdeğil-1+⋯+x2...xdeğildeğildeğil-1⩽⋯⩽x1x2+⋯+xdeğil-1xdeğil(değil2)⩽x1+⋯+xdeğildeğil{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {x_ {1} \ dots x_ {n- 1} + \ dots + x_ {2} \ dots x_ {n}} {n}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt {\ frac {x_ {1} x_ {2} + \ dots + x_ {n -1} x_ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {2}}}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}Bunlar Maclaurin eşitsizlikleridir .
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Kaynakça
-
Augustin Cauchy , Tüm eserler , Gauthier-Villard,1867( çevrimiçi okuyun ) , s. 376Gallica'da çevrimiçi okuyun
- Martin Aigner ve Günter M.Ziegler , Divine Reasonings , Springer ,2008, 2 nci baskı. ( çevrimiçi okuyun ) , s. 127-129
- (en) Peter S. Bullen, El Kitabı ve Eşitsizlikleri , Kluwer Academic Publishers ,2003( çevrimiçi okuyun ) , s. 71-153
- (tr) GH Hardy , JE Littlewood ve G. Pólya , Eşitsizlikler , CUP ,1952, 2 nci baskı. ( çevrimiçi okuyun ) , s. 16-21
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">