Bessel eşitsizliği

Gelen matematik ve daha kesin olarak Öklid veya Hilbertian geometrisi , Bessel eşitsizliği yakından sorusuna ilişkin bir sonucudur ortogonal projeksiyonu . Adını Alman matematikçi Friedrich Wilhelm Bessel'den alır .

Bir yönelik İfade sonlu ailesi

Makale boyunca E , gerçel sayılar veya kompleksler alanında bir prehilbertian uzayı belirtir . Nokta çarpım <,> ile gösterilir ve ilgili norm: || ||. Mutlak değer veya modül |  | bir skaler  arasında belirtilir. Bu vektörler norm 1 ve ikiye iki ortogonal ise, bir vektör ailesinin ortonormal olduğu söylenir .

Sonlu bir aile için ifade  -  ( e 1 ,…, e n ) bir ortonormal vektör ailesi olsun. Daha sonra herhangi bir vektör için , x ve E , aşağıdaki eşitsizlik tutar:

∑ben=1değil|⟨x,eben⟩|2≤‖x‖2.{\ displaystyle \ toplam _ {i = 1} ^ {n} \ sol | \ langle x, e_ {i} \ rangle \ sağ | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}.}

Ayrıca, ancak ve ancak x e 1 ,…, e n vektörleri tarafından oluşturulan vektör uzayındaysa eşitlik vardır .

gösteri

F ailesi ( e 1 , ..., e n ) tarafından üretilen vektör alt uzayını göstersin ve vektörü tanımlasın

y=∑ben=1değil⟨x,eben⟩eben.{\ displaystyle y = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} \ langle x, e_ {i} \ aralık e_ {i}.}

Bu y vektörü F'ye aittir ve x - y her e j'ye diktir , dolayısıyla F . Böylece sahibiz

‖x‖2=‖y‖2+‖x-y‖2≥‖y‖2=∑ben=1değil|⟨x,eben⟩|2,{\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ | y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} \ geq \ | y \ | ^ {2} = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} | \ langle x, e_ {i} \ rangle | ^ {2},}

eşitlikle ancak ve ancak x = y ise .

Eğer x = y sonra x ait F . Tersine, eğer x ait F sonra x - y hem dik olan F ve elemanı F , dolayısıyla, dolayısıyla sıfır x = y .

Herhangi bir aileye genelleme

Önceki sonuç, ( e i ) ailesinin herhangi bir I kümesi (ne sonlu ne de zorunlu olarak sayılabilir) tarafından indekslendiği durumu kapsar :

Genel durumdaki ifade  -  ( e i ) bir ortonormal vektör ailesi olsun. Daha sonra herhangi bir vektör için , x ve E , aşağıdaki eşitsizlik tutar:

∑ben∈ben|⟨x,eben⟩|2≤‖x‖2,{\ displaystyle \ toplam _ {i \ in I} \ sol | \ langle x, e_ {i} \ rangle \ sağ | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2},}

ve endeksleri grubu I bu şekilde < e i , x > sıfır değildir en sayılabilir yer almaktadır.

Fourier katsayılarının eşitliği ve benzersizliği durumu  -  Ek olarak, eğer ve ancak x , aile tarafından üretilen vektör alt uzayının yapışmasındaysa ve bu durumda x, genel bir terim ailesinin toplamı olarak benzersiz bir şekilde yazılırsa eşitlik vardır λ i e ı . Toplam aşağıdaki gibidir:

x=∑ben∈ben⟨x,eben⟩eben.{\ displaystyle x = \ toplam _ {i \ in I} \ langle x, e_ {i} \ rangle e_ {i}.}

( e i ) ailesi basitçe ortogonal ise ve sıfır olmayan vektörlerden oluşuyorsa, Bessel eşitsizliği şöyle yazılır:

∑ben∈ben|⟨x,eben⟩‖eben‖|2≤‖x‖2.{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ sol | {\ frac {\ langle x, e_ {i} \ rangle} {\ | e_ {i} \ |}} \ sağ | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}.}

Eğer E bir olan Hilbert uzayı ve ailesi ise Hilbert temeli , daha sonra artış adında bir eşitlik olduğunu Parseval eşitliği .

gösteriler

• Eşitsizlik ve sayılabilirlik:

Let J sonlu bir alt ailesi I . Önceki paragrafın sonucu şunu gösteriyor:

∑j∈J|⟨x,ej⟩|2≤‖x‖2.{\ displaystyle \ toplam _ {j \ in J} \ sol | \ langle x, e_ {j} \ rangle \ sağ | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}.}

Bu bakılmaksızın sonlu alt familyası için de geçerlidir J ait I . Bu ifadedeki artışı, dolayısıyla ailenin toplanabilirliğini gösterir . Ancak, toplanabilir bir ailenin sıfır olmayan terimleri kümesi en fazla sayılabilir.

• Eşitlik durumu:

Tarafından Göstermek H tamamlanması Hilbert alanı E ve F adezyon H tarafından üretilen vektör altuzayın e ı (yapışkanlıktaki E aynı altuzayın nedenle F ∩ e ). Önceki eşitsizlik, H'de tanımlamayı mümkün kılar ,

y=∑ben∈ben⟨x,eben⟩eben.{\ displaystyle y = \ toplam _ {i \ in I} \ langle x, e_ {i} \ rangle e_ {i}.}

Kanıtın geri kalanı, bitmiş durumla aynıdır.

• Katsayıların tekliği:

Evet

x=∑ben∈benλbeneben{\ displaystyle x = \ toplam _ {i \ in I} \ lambda _ {i} e_ {i}}

sonra tüm j için ,

⟨x,ej⟩=∑ben∈benλben⟨eben,ej⟩=λj.{\ displaystyle \ langle x, e_ {j} \ rangle = \ toplam _ {i \ in I} \ lambda _ {i} \ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = \ lambda _ {j}. }

Şuna da bakın:

İlgili makale

Hilbert uzayında bir kapalının ortogonal tümleyeni teoremi

Dış bağlantılar

• bibmath.net sitesinde Bessel eşitsizliği
• Frédéric Laroche tarafından Walks Mathematics , 2005'te Hilbert analizi

bibliyografya

• Walter Rudin , Gerçek ve karmaşık analiz [ baskıların ayrıntıları ]
• Serge Lang , Gerçek Analiz , InterEditions, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 )
• Haïm Brezis , Fonksiyonel analiz: teori ve uygulamalar [ baskıların detayı ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">