j - değişken

J -invariant da adlandırılan, J fonksiyonu ile tanıtılan bir fonksiyonudur Felix Klein çalışma için eliptik eğri sadece ötesinde yana bulunan uygulamaları vardır, cebirsel geometri çalışmada, örneğin, modüler işlevlerin arasında, sınıf gövdelerinin teorisi ve canavarca kaçak içki .

Motivasyon: çapraz oran ve j- değişmez

Biz çalışmak karmaşık projektif düzleme (tr) . Dört farklı noktayı düşünün , bunların çapraz ilişkileri : ${\ mathbb C} P ^ {1}$ $a, b, c, d$

{\ displaystyle (a, b, c, d) = {\ frac {ac} {ad}} \ cdot {\ frac {bd} {bc}}}

Bu miktar, düzlemin homografileri ile değişmez , ancak dikkate alınan dört sayının sırasına bağlıdır.

Örneğin, göz önünde bulundurulan sıraya bağlı olarak çapraz oranı değerinde olabilir: ${\ displaystyle (m, 1,0, \ infty)}$

{\ displaystyle m, 1 / m, 1-m, 1-1 / m, 1 / (1-m), m / (a-1)}

Bu ifadeyi simetrik hale getirmeye çalışırsak, yansıtmalı dönüşümlerin değişmezi olarak kalan, ancak artık sayıların sırasına bağlı olmayan bir miktar elde ederiz:

{\ displaystyle j (m) = {\ frac {4} {27}} {\ frac {(1-m + m ^ {2}) ^ {3}} {m ^ {2} (1-m) ^ {2}}}}

biz buna j -invariant. Bu değişmezlik, j- değişmez ve modüler grup arasındaki bağlantının ilk indeksidir .

j - eliptik eğrilerin değişkeni

Let X, bir tekil olmayan eliptik eğri üzerinde , Weierstrass'ın formunun : ${\ mathbb C} P ^ {1}$

{\ displaystyle X: y ^ {2} = x ^ {3} + q_ {2} x + q_ {3}}

için sahip Diskriminant . ${\ displaystyle \ Delta = -4q_ {2} ^ {3} -27q_ {3} ^ {2} \ neq 0}$

İlişkili j -invariant olan

{\ displaystyle j = 1728 {\ frac {-4q_ {2} ^ {3}} {\ Delta}}}

J -invariant bir veren bir örten harita, eşleşme arasında bir izomorfizm sınıfları kompleks düzlemde ve kompleks numaralar eliptik eğri.

J- değişmez kavramı trigonal eğrilere genelleştirir .

Referanslar

( fr ) John Horton Conway ve Simon Norton , " Korkunç kaçak içki " , Londra Matematik Derneği Bülteni , cilt. 11, n o 3,1979, s. 308–339 ( DOI 10.1112 / blms / 11.3.308 , Matematik İncelemeleri 0554399 )
(o) Felix Klein , " Sull 'equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]. » , Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser , cilt. 10, n o 21877
(de) Felix Klein , " Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Notlar " , Math. Ann. , cilt. 14, 1878-1879, s. 111-172
(tr) Andrew Ogg , "Modüler Fonksiyonlar" , Santa Cruz Sonlu Gruplar Konferansı 1979 , Amer. Matematik. Soc.,1980, s. 521-532
(tr) Tito Piezas III ve Eric Weisstein. j-Function , MathWorld