Milnor'un K-teorisi

K-teorisi Milnor , Teori matematiksel getirdiği John Milnor tanımlamak için ilk girişimlerden biri olan gruplar arasında K -Teori cebirsel daha yüksek seviyedeki.

Tanım

Hesaplanması K 2 a alanı F için Milnor yol , aşağıdaki özel tanımı arasında K endeksleri kadar daha büyük -grupları

K _ {*} ^ {M} (F): = T ^ {*} F ^ {\ times} / (a ​​\ otimes (1-a)),

Bu nedenle olarak bölüm ( mezun arasında) tensör cebir arasında değişmeli grup F x ile ikili bir ideal oluşturulan göre a - (1 ⊗ bir için) bir ≠ 0, 1.

Tensör ürün ile ilgili T * F bir ürün indükler K E m x K M n → K M , m + n olan yapan K E ( F ) bir halka dereceli olan (anlamda dereceli olarak) değişmeli .

Örnekler

İçin , n = 0, 1 veya 2, bu K alanların -grupları denk Quillen kişilerce ancak için n ≥ 3, bunlar genel farklı bulunmaktadır.

K M n ( K q ) için = 0 , n ≥ 2 (oysa K -Quillen grubu K 2 i 1 - ( F q ) için i ≥ 1, bir siklik bir sipariş q i 1 -).

K E 2 ( ℂ ) a nın olmayan sayılabilir bölünebilir grup olmadan burulma .

K E 2 ( ℝ ) olan doğrudan toplam a siklik alt grup 2 seviyesindeki ve burulma olmaksızın bölünebilir, sayılamaz alt grup.

K M 2 ( ℚ p ), F p'nin çarpımsal grubunun ve burulma olmaksızın sayılamayan bölünebilir bir alt grubun doğrudan toplamıdır .

K E 2 ( ℚ ) için 2 ve sipariş siklik alt gruplarının bir siklik alt grubunun doğrudan toplamıdır p herhangi - 1, tek asal sayı p .

Diğer teorilere bağlantılar

Milnor K- teorisi, boyut 1 sınıf alanı teorisinde kullanılan K M 1'in yerini alarak , sınıflar teorisinin üst (en) gövdelerinde temel bir rol oynar .

Milnor en modül 2 K-teori, ifade edilmiş k ✲ ( F ) ile ilgilidir Etale (veya Galois ) kohomolojisi bir alanı F ile Milnor varsayım gösterdiği, Vladimir Voïevodski . Tek asal sayı modulo benzeri ifade , Voevodsky ve Rost (de) tarafından gösterilen Bloch-Kato varsayımıdır (en ) .

Bu “sembolü” {tanımlayan bir 1 , ..., bir n- görüntü olarak} bir 1 ⊗ ... ⊗ bir n de K M n ( K ): eğer , n = 2, o a, Steinberg sembolü .

Tüm n için , F'nin Witt grubundaki k n ( F ) morfizmini, bu sembolle 2 n boyutunun Pfister formunu (en) ilişkilendirerek tanımlarız.

$\ langle \ langle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \ rangle \ rangle = \ langle 1, a_ {1} \ rangle \ otimes \ langle 1, a_ {2} \ rangle \ otimes \ ldots \ otimes \ langle 1, a_ {n} \ rangle.$

I n / I n + 1'de değerlere sahip olarak görülen bu morfizm örtüktür çünkü Pfister formları ek olarak I n üretir . Milnor en varsayım olarak yorumlanır İnjektif bu morfizma.

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Milnor K-teorisi " ( yazarların listesini görmek ) .

(in) John Willard Milnor , " Cebirsel K-teorisi ve ikinci dereceden formlar " , Buluş. Matematik. , cilt. 9, n, o , 4,1970, s. 318-344 ( çevrimiçi okuyun ).
(içinde) Philippe Gille ve Tamás Szamuely (de) , Central mere cebebras and Galois cohomology , UPC , al. "Cambridge İleri Matematik Araştırmaları" ( n o 101),2006( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137,12001 , çevrimiçi okuma ) , s. 208.
(en) Tsit-Yuen Lam , Alanlar Üzerindeki Kuadratik Formlara Giriş , Providence (RI), AMS , coll. " GSM " ( n o 67)2005, 550 s. ( ISBN 0-8218-1095-2 , çevrimiçi okuyun ) , s. 366.
Lam 2005 , s. 316.