K3 (geometri)

Olarak diferansiyel veya cebirsel geometri , K3 yüzeyleri olan bir Calabi-Yau çeşitleri daha küçük boyut, farklı tori . Bunlar karmaşık karmaşık boyut 2 kompakt ve Kähler çeşitleridir .

K3 yüzeyleri ayrıca topolojik veya diferansiyel bakış açısından 4 - torus T 4'ten farklı tek Calabi-Yau manifoldları olma özelliğine sahiptir . Bununla birlikte, karmaşık bir manifold olarak, sonsuz sayıda izomorfik olmayan K3 yüzeyi vardır. Özellikle bir kutu ile ayırt Torelli morfizmaları (in) .

André Weil (1958) üç cebirsel geometri onuruna onları adında Kummer , Kähler ve Kodaira ve dağ arasında K2 içinde Karakurum .

Geometrik özellikler

Çoğu K3 yüzeyi cebirsel çeşitler değildir . Bu, onları projektif bir uzayda polinom denklemlerinin çözümleri olarak gerçekleştirmenin genel olarak imkansız olduğu anlamına gelir .

Bununla birlikte, bu yüzeyler ilk olarak cebirsel geometride ortaya çıktı ve isimleri Kummer , Kähler ve Kodaira olmak üzere üç geometriden geliyor .

Kohomoloji grubu , 22. derecedeki serbest değişmeli bir gruptur . (Kohomolojideki ürün tarafından) dejenere olmayan ikinci dereceden bir imza formuyla sağlanır (3,19). Bir ağ olarak, bu kohomoloji grubu iki E8 tipi faktör içerir . Yazılan K3 için Hodge elmasını dikkate alarak bu ikinci dereceden formun ortogonal temelini açıkça tanımlayabiliriz. $H ^ {2} (X, {\ mathbb {Z}})$

{\ begin {matrix} && h _ {{0,0}} && \\ & h _ {{1.0}} && h _ {{0.1}} & \\ h _ {{2.0,}} && h _ { {1, 1}} && h _ {{0.2}} \\ & h _ {{2,1}} && h _ {{1,2}} & \\ && h _ {{2,2}} && \\\ end {matrix}} = {\ begin {matrix} && 1 && \\ & 0 && 0 & \\ 1 && 20 && 1 \\ & 0 && 0 & \\ && 1 && \\\ end {matrix }}

Dolbeault kohomoloji uzaylarının boyutları nerede . Dahası, 20 (1,1) formlarından 19'u pozitif bir norm ile kendi kendine çiftler iken, kalan (1,1) formu, (2,0) ve (0,2) formları ile birlikte anti-selfduales ve olumsuz bir norma sahiptir. $h _ {{i, j}}$

Tüm önemsiz olmayan Calabi-Yau gibi, varlığı Yau (en) teoremi tarafından sağlanmasına rağmen, açık bir Ricci-plate (en) metriği henüz bilmiyoruz .

Sicim teorisinde kullanın

Bu boşluk genellikle olarak kullanılan bir kompaktikasyon uzayda yer teorisini süperdizgi . Bu bağlamda, K3 yüzeyi, K3 yüzeyinde sıkıştırılan tip IIA teorisinin dört boyutlu bir simit üzerinde sıkıştırılmış heterotik akora eşdeğer olduğunu öne süren akor-akor dualitesinde dikkate değer bir görünüm sağlar .

Kaynakça

(tr) Paul S. Aspinwall, "K3 Yüzeyleri ve Sicim Dualitesi". “ Hep-th / 9611137 ” , serbestçe erişilebilir metin, arXiv .
(tr) David R. Morrison, K3 yüzeylerinin Geometrisi [PDF]

Notlar

Dolayısıyla ad yüzeyi . Gerçek bir çeşit olarak 4 boyuta sahiptir.

Ayrıca görün