Torus

Bir yumru a, geometrik cismin temsil eden bir kavisli boru kendi kapalı. "Torus" terimi, bağlama bağlı olarak farklı ve daha spesifik anlamlara sahiptir:

• içinde mühendisliği ya da temel geometrisi , bir simit a, devrim katı bir daire ya da yüzeyinde elde edilen alan. Bir iç tüp , bir şamandıra , belirli contalar ve hatta bazı çörekler ( Kuzey Amerika donutları ) bu nedenle aşağı yukarı torik bir şekle sahiptir  ;
• olarak mimari , yuvarlak, yarı-silindirik kalıp için bir simit denk gelmektedir.
• içinde matematik , daha da özellikle, topoloji , bir simit a, bölüm a gerçek vektör bir ağ ile sonlu boyutlu bir alan ya da herhangi bir topolojik uzay olup bunun homeomorphic . Yukarıda açıklanan devirli katının yüzeyi, dejenere durumlar haricinde , genellikle ( R / Z ) x ( R / Z ) ' ye homeomorfiktir .
• içinde elektronik bir manyetik torus ikinci nesil bilgisayar anıları temel elemanı olmuştur.
• içinde astronomi , bir yumru bir olabilir gezegen veya uydu halka .

Öklid geometrisinde sağlam devrim

Bir yumru olan birim Öklid boşluk, R 3 ile oluşturulan dönme a daire yarıçapı C r benzeşik bir hat etrafında D bir mesafe ile kendi düzlemi içinde yer alan R merkezden. Bu anlamda, bazı yazarlar elde edilen katıyı katı simit olarak adlandırarak simit terimini karşılık gelen yüzey için saklı tutarlar. Doğrudan afin izometrinin etkisi ile simit (dolu) yalnızca iki gerçek parametre R ve r tarafından belirlenir .

Simitin şekli (katı) şunların işaretine bağlıdır  : r-R{\ displaystyle rR}

• si , simit bir noktaya indirgenmiştir;r=0=R{\ displaystyle r = 0 = R}
• si , simit, R yarıçaplı bir daireye indirgenir  ;r=0<R{\ displaystyle r = 0 <R}
• evet , simitin "açık" olduğu söylenir ve bir iç tüpe veya hatta bir çörek ( Kuzey Amerika çörek ) gibi görünür . Bazı yazarlar bu vaka için torus adını ayırır (veya aşağıdaki vakayı içerir).0<r<R{\ displaystyle 0 <r <R}
• Eğer torus “sıfır yaka” olduğu söylenir;0<r=R{\ displaystyle 0 <r = R}
• evet , simitin "çapraz" olduğu söylenir ve görsel olarak balkabağına benzer  ; katı topolojik olarak üç boyutlu uzayın kapalı bir topudur ve yüzeyi bir küredir.0<R<r{\ displaystyle 0 <R <r}
• si , torus (katı) a, top yarıçapı (katı olarak çapları etrafında bir diskin dönmesi ile elde edilmiş) r .R=0<r{\ displaystyle R = 0 <r}

Simit denklemleri

Bir simit parametrik olarak şu şekilde tanımlanabilir :

x(sen,v)=(R+rçünkü⁡v)çünkü⁡sen{\ displaystyle x (u, v) = (R + r \ cos {v}) \ cos {u} \,} y(sen,v)=(R+rçünkü⁡v)günah⁡sen{\ displaystyle y (u, v) = (R + r \ cos {v}) \ sin {u} \,} z(sen,v)=rgünah⁡v{\ displaystyle z (u, v) = r \ sin {v} \,}

veya

u , v aralığı aittir [0, 2π [ , R , borunun merkezi ile simidin merkezi arasındaki mesafedir, r , C dairesinin yarıçapıdır.

Kareleri toplayarak

x2+y2+z2=R2+2Rrçünkü⁡v+r2{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2} + 2Rr \ cos {v} + r ^ {2} \,} İzole ederiz ve tekrar karelerizçünkü⁡v{\ displaystyle \ çünkü {fi.} \,}

(x2+y2+z2-R2-r2)2=(2Rrçünkü⁡v)2,{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = (2Rr \ cos {v}) ^ {2 },}

Geriye kalan tek şey enjekte etmektir:

z2=r2günah2⁡v{\ displaystyle z ^ {2} = r ^ {2} \ sin ^ {2} {v} \,} Nihayet elde etmek için:

(x2+y2+z2-R2-r2)2=4R2r2(1-günah2⁡v) ,{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} r ^ {2} ( 1- \ sin ^ {2} {v}) \,} (x2+y2+z2-R2-r2)2=4R2(r2-z2) ,{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} (r ^ {2} -z ^ {2}) \,}

Başka bir Kartezyen denklemi hakkında bir torus simetrik z ekseni olan

(x2+y2-R)2+z2=r2,{\ displaystyle \ sol ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ sağ) ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}, \, \!}

Matematiksel karekök ortadan kaldırarak bir elde denklemi içinde 4 inci  derece.

(x2+y2+z2+R2-r2)2=4R2(x2+y2).{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}). \, \!}

Alan ve hacim

İçin R - R pozitif ya da sıfır, sahip:

• Alan simidin:AT=∫02πRdθ(∫02πrdθ)=4π2rR{\ displaystyle A = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} R \, {\ text {d}} \ theta \; \ sol (\ int \ limitler _ {0} ^ {2 \ pi} r \, {\ text {d}} \ theta \ right) = 4 \ pi ^ {2} rR}

• Simitin iç hacmi :V=∫02πRdθ(∫02π∫0rrdrdθ)=2π2r2R{\ displaystyle V = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} R \, {\ text {d}} \ theta \; \ sol (\ int \ limitler _ {0} ^ {2 \ pi} \ int \ limits _ {0} ^ {r} r \, \ mathrm {d} r {\ text {d}} \ theta \ right) = 2 \ pi ^ {2} r ^ {2} R}

Guldin teoremi mümkünse bu sonuçları elde etmek ve aynı zamanda (alanında ve çapraz torus hacmi için formüller belirlemek için , R < r ).

İzometri grubu

For R > 0, simidin olağanüstü izometrileri arasında, biz ayırt:

• eksenin r u (yönlendirilmiş olduğu varsayılır) D ve u açısının dönüşleri  ;
• C'nin merkezinden geçen D'ye ortogonal olan P afin düzlemine göre a tersine çevrilmesi  ;
• D içeren herhangi bir Q afin düzlemine göre ters b Q  ;
• merkezi simetri s dik izdüşüm ile ilgili olarak , O ve C ile D  ;
• O içinden geçen ve P içinde bulunan herhangi bir düz çizgiye göre eksenel simetriler  ;
• bir dönüşün bileşikleri , tersine çevrilerek r u a .

Açıktır ki, merkezi simetri ve eksenel simetriler, açıklanan ters çevirmelerden oluşan bir şekilde elde edilir. Grup G torus izometrileri doğrudan ürün izomorf Z / 2 Z yarı doğrudan ürünün S 1 ile Z / 2 Z  :

G=Z/2Z×(R/2πZ⋊Z/2Z){\ displaystyle G = Z / 2Z \ times (R / 2 \ pi Z \ rtimes Z / 2Z)}.

Doğal bir izomorf şu şekilde tanımlanır:

• r u (0, u, 0) ' a karşılık gelir;
• a (1,0,0) ' a karşılık gelir;
• Keyfi sabit bir Q düzlemi için , b Q (0,0,1) 'e karşılık gelir.

Özellikle, b r u ( Q ) = r u b Q r - u , (0, u, 1) 'e karşılık gelir; s (1, π, 0) 'a karşılık gelir.

Villarceau Çevreleri

Villarceau daireleri, simidin merkezinden geçen çapraz bir bitangent düzlem boyunca bir simidi bölerek elde edilen iki dairedir. Adlarını Fransız gökbilimci ve matematikçi Yvon Villarceau'dan (1813-1883) alıyorlar. Simitin bir noktası verildiğinde, simitin üzerine bu noktadan geçen dört daire inşa edebiliriz: biri simit düzleminde, diğeri bu düzleme dik; diğer ikisi Villarceau'nun daireleri.

Bir simidi boyama

Dört renkli teoremi bir torus için geçerli değildir: Farklı renklerde (maksimum) 7 bölgeye bir torus yüzeyi bölmek mümkündür, böylece her bir dokunur diğer 6. Ringel - Gençlerde teoremi 7 renk her zaman yeterli olduğunu gösterir.

Bir simidin Euler karakteristiği

Euler karakteristiği bir torus 0'a eşit olduğu: bir tekillik sokulması olmadan torus örgü mümkündür.

Başvurular

• Olarak nükleer araştırma ile enerji üretimi için füzyon bölgesi tokamak- türü reaktörler , plazma güçlü tarafından bulunan manyetik alanlar bir torik şekilli odasında. Bu reaktörlerden biri Tore Supra adını taşıyor . Aynı zamanda senkrotron tipi parçacık hızlandırıcıların vakum odalarının şeklidir ( giriş ve çıkış kanallarını ihmal ederek).
• Elektrikte, bir transformatörün manyetik devresinin ideal şekli simitinkidir.

N boyut simidi

Olarak topoloji terimi yumru belirlemek için ayrılmış olan topolojik boşluk (veya çeşitlerinin ). Yakınlarda hepsi homeomorfizme (veya diffeomorfizme ) eşdeğer birkaç sunum var . Bir boyut simidi n veya n -tore diyoruz ve şu şekilde tanımlanan topolojik uzayı T n ile gösteriyoruz :

• Ürün bir n- kopyaları daire birimi S 1  ;
• Bölüm içinde , R , n ile Z , n  ;
• daha genel olarak, sonlu boyutlu n gerçek vektör uzayının E bir ağ G ile bölümü  ;

Boyutun simit n a, kompakt ve bağlı topolojik çeşitli boyut n . Bir bölüm halinde elde E / G , T , n a, diferansiyel manifoldu ve hatta bir değişmeli Lie grubu  ; karşılık gelen maksimum Atlas kafes ya da vektör alan bağımlı değildir. Eğer E bir Öklid vektör uzayı ise , T n = E / G bölümü doğal olarak kendisini düz bir manifold olarak gösterir .

Bir daire oluşturmak için, bir parçanın uçlarını bir düzlemde bükerek birleştirebilirsiniz. Benzer şekilde, bir 2-simit oluşturmak için, bir karenin zıt taraflarını üçüncü bir boyutta bükerek ikişer ikişer birleştirebiliriz ve daha genel olarak bir n- torus oluşturmak için yüzleri ikişer ikişer birleştirebiliriz ( n - 1) - bu hiperküpü n + 1 yeni bir boyutta bükerek n boyutundaki bir hiperküpün zıt boyutları. Dolayısıyla, 3-simit, bir küpün 3 çift karşıt yüzünün dördüncü boyutta yapıştırılmasıdır.

Temel grup ve T , n ise serbest değişmeli grubu ile N olan jeneratörler, Z , n .

Tori, birbirine bağlı tek kompakt değişmeli Lie gruplarıdır. Maksimum tori'nin ( maksimum bağlantılı değişmeli kompakt alt gruplar ) tanıtılması, kompakt Lie gruplarının çalışmasında büyük önem taşımaktadır .

Bir simitteki plazma veya sıvının dinamiği

Toroidal veya toroidal (toroid şekilli) tanklar , son AP 1000 veya Mark serisi reaktörler dahil olmak üzere çeşitli nükleer enerji santralleri modellerinde mevcuttur .

Yerin yanal yer değiştirmesine neden olan büyük bir deprem durumunda, aynı sonuçlara sahip bir patlama veya çarpma, kızarma (indüklenen dalgalar ve dalgalar ve bunların çalkalanma etkisi ) torustaki olağandışı ve farklılaşmış streslerin kaynağı olabilir. Bu nedenle, temizlemeyi anlamak, toroidal tankları kullanan belirli teknolojiler için olduğu kadar, bir uçak, roket veya uzay aracı da dahil olmak üzere hareket eden bir araçtaki dairesel veya toroidal tanklar için bir sorundur .

Toride oluşan plazmaların fiziği de Tokamaks'ın gelişimi ve nükleer füzyon çerçevesinde çok sayıda çalışmanın konusudur .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• Klein Şişesi
• Villarceau Çevreleri
• Basit karmaşık
• Projektif düzlem
• Değişmeli olmayan torus
• Stanford Torus
• Willmore Varsayımı
• Tüp (matematik)
• İki boyutlu simit içinde evren .

Dış bağlantılar

• Torus Games Torus topolojisini detaylandıran, Windows ve Mac OS X üzerinde çalışan bazı ücretsiz indirilebilir oyunlar
• [video] Henri Paul de Saint-Gervais, Evrensel simidin kaplama üzerine YouTube

Kaynakça

• (en) Meserole, JS, A. Fortini (1987), "Slosh Dynamics in a Toroidal Tank," Journal Spacecraft, Cilt 24, Sayı 6, Kasım-Aralık 1987 ( özet )
• (tr) Hiroki Takahara, Kensuke Hara, Takeshi Ishida. (2012) Eksantrik çekirdek namlulu silindirik bir tankta doğrusal olmayan sıvı salınımı . Journal of Fluids and Structures, Cilt 35, Kasım 2012, Sayfalar 120–132 ( özet
• (tr) Hiroki Takahara, Koji Kimura. (2012) yunuslama uyarımına maruz kalan dairesel silindirik bir tankta çalkalanmanın frekans tepkisi . Ses ve Titreşim Dergisi 331: 13, 3199-3212; Çevrimiçi: 2012-06-01. ( özet )

Notlar ve referanslar

1. http://www.geom.uiuc.edu/zoo/toptype/torus/standard/eqns.html
2. NASA (1969), Slosh silme , Mayıs 1969, PDF, 36p