Betz sınırı

Betz limiti bir olduğunu fiziksel yasa belirtiyor güç bir tarafından geliştirilen maksimum teorik rüzgar sensörü geçen rüzgarın olay gücünün 16/27 eşittir rüzgar .

Tarih ve ifade

Bu sonuç, 1919'da Alman Albert Betz tarafından keşfedildi ve 1926'da Wind Energie adlı kitabında yayınlandı . Bu yasa , rüzgar sensörünün jenerik adıyla anılan tüm kanatlı rüzgar türbinleri için geçerlidir .

Betz şunu hesaplar:

bir rüzgar jeneratörü tarafından geri kazanılabilen maksimum teorik güç, rüzgar türbinini geçen rüzgarın gelen gücünün 16 / 27'sine eşittir;
rüzgar hızı rüzgar türbininin yukarı ve aşağı akışı arasında üçe bölündüğünde bu sınıra ulaşılacaktır.

Gelen rüzgar gücü kinetiktir ve rüzgar sensörünün rüzgara sunduğu alana, rüzgar hızına ve havanın yoğunluğuna bağlıdır. Bu sonuçları şu formüllere göre gruplayabiliriz:

{\ displaystyle P_ {ayıklandı} ^ {max} = {\ frac {16} {27}}. P_ {olay}}

ile

{\ displaystyle P_ {olay} = P_ {kinetik} = {\ frac {1} {2}}. \ rho .S.v_ {yukarı akış} ^ {3} \,}

ne zaman

{\ displaystyle v_ {aşağı akış} = {\ frac {1} {3}} v_ {yukarı akış}}

\ rho

: Sıvısı (yoğunluğu 1.20 kg / m 3 hava için en 20 ° C) S: m 2 cinsinden rüzgar kollektörünün yüzeyi

v_ {yukarı akış}

: sıvının m / s cinsinden olay hızı (akış yukarı)

Gösteri

Bu gösteri, akışkanlar mekaniğinin temel denklemlerine dayanmaktadır ( Bernoulli , Euler'in teoremi ).

Albert Betz tarafından formüle edilen rüzgar enerjisi toplayıcının gücünün hesaplanması, kinetik enerjinin hesaplanmasıyla oluşturulur.

Kinetik ve potansiyel enerjiyi hesaba katan bir rüzgar jeneratörünün gücünün hesaplanması için bkz: rüzgar veya gelgit türbini tipi türbinin gücünün hesaplanması .

Modelleme

- homojen mükemmel bir akışkanın hareketsiz, bölüm bazında tek boyutlu akış - kendimizi Galilean olduğu varsayılan karasal referans çerçevesine yerleştiriyoruz

Değerlendirme

\ rho

: sıvının yoğunluğu S: rüzgar toplayıcı yüzeyi aşağıdaki tüm değişkenler için, dizin sensörün girişine karşılık gelir ve dizin , çıktıya karşılık gelir

{\ displaystyle _ {1}}

{\ displaystyle _ {2}}

s

: yakalanan hava akışının işgal ettiği bölüm (değişken, aşağıya bakın)

p

: basınç

v

: hava hızı Dm: kütle hava akışı,

{\ displaystyle Dm = \ rho sv}

F

: havanın sensör üzerine uyguladığı kuvvet

P

: uygulanan kuvvet tarafından geliştirilen güç.

Hesaplamalar

Kabul durumda, kütle akışı sabittir: . ${\ displaystyle D_ {m} = \ rho sv = cste}$

Aynı akım çizgisi üzerindeki dört noktayı göz önünde bulundurun: yukarı akış (açık ) bir nokta, sensörün kendisinden "hemen önce" bir nokta, "hemen sonra" ve son akış aşağı (açık ): $s_ {1}$ $s_ {2}$

Sensörden uzaktaki iki noktada, üzerinde ve , basınç atmosferik basınca eşittir. $s_ {1}$ $s_ {2}$ $p_ {0}$

Sensöre en yakın iki nokta, kesit S alanına eşittir ve kütle akışı sabit olduğu için bu iki noktada rüzgar hızı aynıdır . Öte yandan bu iki nokta arasında bir baskı süreksizliği vardır. $v$

Akışın, tıpkı akışkanın sıkıştırılamaz (sabit yoğunluk) olduğu varsayıldığı gibi, mükemmel ve durağan olduğu varsayılır; yerçekimi alanının etkisi sıfırdır (yakalanan hava havada "etrafında" yüzer, çünkü Arşimet itkisinin havanın ağırlığını tam olarak dengelemesinden dolayı, bunun olası bir çalışması - bir değişiklik irtifası varsayılsa bile - böyledir. iptal edildi). Bernoulli teoremini iki kez uygularız, bir yandan yukarı akış noktası ile sensörden hemen önceki nokta arasına, diğer yandan hemen sonraki ve aşağı akış noktası arasına; Böylece sahibiz :

(1):

{\ displaystyle {\ frac {p_ {0}} {\ rho}} + {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} = {\ frac {p_ {1}} {\ rho}} + {\ frac {v ^ {2}} {2}}}

(2):

{\ displaystyle {\ frac {p_ {0}} {\ rho}} + {\ frac {v_ {2} ^ {2}} {2}} = {\ frac {p_ {2}} {\ rho}} + {\ frac {v ^ {2}} {2}}}

Çıkarma (1) - (2) verir

(3):

{\ displaystyle p_ {1} -p_ {2} = {\ frac {\ rho} {2}} (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})}

Rüzgarın sensöre uyguladığı kuvvet

(4):

{\ displaystyle F = (p_ {1} -p_ {2}). S = {\ frac {\ rho} {2}} (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}). S = \ rho .S. {\ Frac {(v_ {1} + v_ {2})} {2}} (v_ {1} -v_ {2})}

Ancak bu kuvvet, Newton yasası uygulanarak da ifade edilebilir:

(5):

{\ displaystyle {\ begin {align} F & = m \ cdot a \\ & = m \ cdot {\ tfrac {dv} {dt}} \\ & = D_ {m} \ cdot \ Delta v \\ & = \ rho \ cdot S \ cdot v \ cdot \ left (v_ {1} -v_ {2} \ sağ) \\\ uç {hizalı}}}

İki ifadenin (4) ve (5) eşitliği bunu empoze eder ve bu kuvvetin bıçaklara geliştirdiği güç ${\ displaystyle v = {\ frac {(v_ {1} + v_ {2})} {2}}}$

(6) :;

{\ displaystyle P = Fv = {\ frac {\ rho} {2}} (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}). Sv}

Bu gücü , r verimliliğinin ve bozulmamış rüzgarın olay gücünün bir fonksiyonu olarak ifade edersek : ${\ displaystyle x = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}}}$ $P_ {0}$

{\ displaystyle P_ {0} = {\ frac {1} {2}} \ rho Sv_ {1} ^ {3}}

elde ederiz

{\ displaystyle v = v_ {1} {\ frac {1 + x} {2}}}

{\ displaystyle r = {\ frac {P} {P_ {0}}} = {\ frac {1} {2}} (1-x ^ {2}) (1 + x)}

Daha sonra rüzgar türbininin verimini r'yi x'in bir fonksiyonu olarak çizebiliriz:

Maksimuma x = 1/3 ve ardından r = 16/27 için ulaşılır. Dolayısıyla Betz sınırı:

${\ displaystyle P_ {ayıklandı} ^ {max} \, \, = \, \, {\ frac {16} {27}} \, P_ {olay}}$

Formülün teorik sınırı ve pratik uygulamaları

hesaplama, akışkanın içerdiği termal enerjinin ihmal edildiğini ve bu akışkanın yoğunluğunun sabit kaldığını varsayar. Bununla birlikte, kinetik enerjinin çıkarılması akışkan üzerinde termal etkilere sahip olacaktır ve bu da yoğunluğun değişmesine neden olabilir (örneğin su buharının yoğunlaşması). Bu fenomen hava için düşük öneme sahiptir, diğer durumlarda ihmal edilemez. Betz limiti her tür rüzgar türbini için geçerlidir, ancak örneğin bir buhar türbini için geçerli değildir .

hesaplama, bu limiti ulaşılabilir bir maksimum değil, bir üst sınır yapan belirli sayıda varsayım yapar; daha sofistike modern hesaplamalar, gerçek maksimumun daha düşük olduğunu göstermektedir.

Betz sınırında rüzgar, hızının üçe bölündüğünü görür; aynı akışı sürdürmek için, çıkış yüzeyi bu nedenle üç ile çarpılmalıdır.

verim eğrisinin oldukça düz olduğunu görüyoruz, bu da optimumdan önemli ölçüde sapsak bile verimin oldukça iyi kaldığı anlamına geliyor.

Fiziksel yorumlama

Betz sınırının varlığı, iki karşıt fenomen arasındaki rekabeti yansıtır:

Bir rüzgar türbini, rüzgarı o kadar yavaşlatırsa o kadar fazla enerji geri kazanır (bu, güç formülü terimi ile çevrilir ) ... ${\ displaystyle (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})}$
... ancak akış daha düşük olduğunda daha azını kurtarır veya yavaşlama akışı azaltır (bu, güç formülü terimi ile çevrilir ) ${\ displaystyle (v_ {1} + v_ {2})}$

Sınıra ulaşıldı

Modern rüzgar türbinleri, orta rüzgar hızları için yaklaşık% 45'lik bir verimlilikle Betz sınırına ulaştı. Havanın yavaşlaması o kadar etkilidir ki, rüzgar türbinlerinin atmosferin rüzgar potansiyelini yeniden oluşturması ve bir rüzgar türbini tarafından üretilen türbülansın aşağı yöndeki rüzgar türbini ile etkileşime girmemesi için yeterince ayrılması gerekir. Bir rüzgar türbini tarafından üretilen güç rotor alanıyla, dolayısıyla rotor çapının karesiyle orantılıdır, rüzgar türbinleri arasındaki gerekli boşluklar ise aynı rotor çapının bir katı olarak ifade edilir. Bu nedenle, arazi alanı başına çıkarılabilecek enerji, kurulu rüzgar türbinlerinin boyutundan kabaca bağımsızdır.

Notlar ve referanslar

not: Rüzgar sensörü rüzgarın kinetik enerjisini yakalar, bu v rüzgar hızını azaltır ve dolayısıyla aynı oranda artar, dolayısıyla aşağıdaki şekil rüzgarın daldığı mevcut tüpü (mavi) temsil eder. sensörü.
bulmak için maksimum bir fonksiyonun, biz noktalarını bulmak nerede onun türevi yok olur,
Gorban 'AN, Gorlov AM, Silantyev VM, Ücretsiz Akışkan Akışı için Türbin Verimlilik Sınırları , Enerji Kaynakları Teknolojisi Dergisi - Aralık 2001 - Cilt 123, Sayı 4, s. 311-317.
Hartwanger, D., Horvat, A., CFD Kullanarak Rüzgar Türbininin 3D Modellemesi , NAFEMS UK Konferansı 2008 "Mühendislik Simülasyonu: Etkili Kullanım ve En İyi Uygulama", Cheltenham, İngiltere, 10-11 Haziran 2008, Bildiriler.
https://www.regards-economique.be/images/reco-pdf/reco_175.pdf
https://lederniercarbone.org/efficacite-eoliennes

Ayrıca görün