Öklid
Elementlerinin
VII. Kitabı
Yedinci Kitabı Elements Öklid Öklid ilk kitaplar ile kesinlikle başa etmektir aritmetik . Özellikle asal sayıları ve aralarındaki asal sayıları , en büyük ortak bölen (GCD) ve en küçük ortak katı (PPCM) tanımlarız .
Şunları içerir: 25 tanım ve 41 öneri.
tanımlar
Verilen tanımlar birim, bölen ve kat, çift veya tek sayı , asal sayı ve aralarındaki asal sayılar kavramlarını tanıtmaktadır . Mükemmel sayı kavramı da ortaya çıkar .
Burda biraz var :
-
Tanım 1 , birlik, varolan şeylerin her birinin bir olduğu söylenmesine göredir.
-
Tanım 2 , bir sayı, birimlerden oluşan bir derlemedir.
-
Tanım 3 , bir sayı, bir sayının bir parçasıdır, daha küçük olan daha büyük, burada daha küçük olan daha büyük ölçer. Burada taraf olmak bölücü olmak demektir.
-
Tanım 5 , bir sayı, bir sayının katıdır, daha küçük ile ölçüldüğünde, küçük olanın büyük olanıdır.
-
Tanım 6 , çift sayı iki eşit parçaya bölünebilen sayıdır.
-
Tanım 7 , tek sayı, iki eşit parçaya bölünemeyen veya çift sayıdan bir birim farklı olan sayıdır.
-
Tanım 12 , asal sayı, yalnızca birim tarafından ölçülen sayıdır.
-
Tanım 13 , aralarındaki asal sayılar, yalnızca ortak ölçü birimine sahip olanlardır.
-
Tanım 16 , bir sayının bir sayıyı çarptığı söylenir, çarpılan sayı, içindeki birimler sayısı kadar çarpıldığında eklenir ve bir sayı üretilir.
-
Tanım 17 , çarpılan iki sayı bir sayı oluşturduğunda, üretilene düzlem denir; ve çarpan sayılara o çarpımın kenarları denir.
-
Tanım 18 , birbiriyle çarpılan üç sayı bir sayı oluşturduğunda, üretilene katı denir; ve çarpan sayılara ürünün kenarları denir.
-
Tanım 19 , kare sayı […] iki eşit sayı arasında yer alan sayıdır.
-
Tanım 20 , küp sayısı […] üç eşit sayının altında bulunan sayıdır.
-
Tanım 23 , mükemmel sayı, parçalarına eşit olan bir sayıdır.
İki veya üç sayının çarpımı ile ilgili, ancak dört veya daha fazla sayının çarpımını kavramaya engel olabilen geometrik vizyona dikkat edin. Bu faktörün, Yunanlıların , bir sayının asal faktörlere ayrışmasının varlığı ve benzersizliği ile ilgili aritmetiğin temel teoremini açıkça göstermemiş olmaları, hatta ona yakın olmaları gerçeğinde oynaması mümkündür . Bu geometrik vizyon kare ve kübik sayılara verilen adlarda da karşımıza çıkar.
teklifler
Öneriler aşağıdaki noktaları ele almaktadır. Modern cebirsel gösterimler bazen ifadeleri daha okunaklı hale getirmek için kullanılacaktır:
-
Öklid algoritması . Algoritma, prop. 1'den ortaya çıkar ve iki sayının birbirine asal olup olmadığını bilmeyi mümkün kılan bir kriter verir. İki sayının EBOB'unu belirlemek için Prop. 2'de uygulanmaktadır . Bu vesileyle, eğer bir sayı diğerlerini bölerse, o zaman onların GCD'lerini böldüğü kanıtlanmıştır. Prop. 3, süreci ikiden fazla sayıya genelleştirir.
- Özellikleri orantılılık . Prop. 5 ila 22 orantılılık durumu özellikleri. Örneğin, bu sahne. 5 ve 6, durum , bir / B eşittir c / d , daha sonra da (e eşit bir + c ) / ( b + d ). Burada kullanılan anakronik gösterim a / b rasyonel bir sayıyı değil, iki tamsayı arasındaki ilişkiyi belirtir. Örneğin, 6'nın 4'e, 9'un 6'ya ve 15'in 10'a eşit olduğu anlaşılmalıdır. Ayrıca, a / b = c / d ise , o zaman a / c = b / d (prop) olduğuna göre kurallarımız da vardır. .9 ve 10). a / b , am / bm ile aynı nedene sahiptir (prop. 18). a / b = c / d ancak ve ancak ad = bc ise (prop. 19).
- Öklid aritmetiğinin temel özelliği. Öklid değil devlet Gauss teoremi ise, hangi göre, c böler ab ve eğer c ile asal bir , sonra c böler b (geliştirme asal faktörlerin teklik kanıtı özellikle) bazı aritmetik sorulara bir engel olduğunu, . Aksi takdirde, Öklid'in aritmetiğinde esaslı bir rol oynayacak özellik, prop. 21 ile verilir, prop. 23 ve prop. 24 ile tamamlanır: özünde, bu önermeler eğer a / b = c / d ise a ve b olarak ifade edilir. mümkün olduğunca küçük, o zaman a böler c ve b böler d . Ek olarak, mümkün olan en küçük a ve b , aralarında asal olduklarında elde edilir. Bu önermeyi c / d kesirini indirgenemez biçimde indirgemenin modern gerçeği olarak görmekten kaçınmalıyız , çünkü c / d' nin rasyonel bir sayı olarak değil, tamsayılar arasında bir ilişki olarak görüldüğünü unutmayın . : Öklid aşağıdaki o cebirsel olarak yorumlanabilir oran verir tanımı kendini dayanarak bu önermeyi kanıtlayan bir / B = C / d ve eğer tamsayı var sadece n , p , X ve Y bu şekilde bir = nx , b = ny , c = px , d = py .
- Asal sayıların kendi aralarındaki özellikleri. İse, olduğu kanıtlanmıştır C bölme bir ve bir ile asal b , daha sonra C ile asal b (prop 25). Eğer bir ve b ile asal c , daha sonra ab ile asal c (Prop. 26). Eğer iki sayı birbirine asal ise, birincinin karesi birincinin karesi ile ikincinin karesidir (prop. 27), herhangi bir kuvvetin durumu prop. 29'da ele alınır. Eğer bir ve b ile asal c ve d , daha sonra ab ile asal CD (pervane. 28). Eğer bir asal olan b , daha sonra , bir + b ile asal olan bir ile b , ve tam tersi (prop. 30).
- Asal sayıların özellikleri. Herhangi bir p asal sayısı , bölmediği herhangi bir a sayısıyla asaldır (prop. 31). Eğer p asal olup böler ab sonra p böler bir veya p böler b (prop. 32 diyor Öklid Lemma ). Tam sayı herhangi birisi için bir mevcut olup, p bölen astarı (prop. 33 ve 34).
- PPCM'nin Özellikleri : PPCM, GCD'nin PPCM tarafından çarpımı iki sayının (prop. 36) çarpımı olduğu gerçeği ve iki tamsayının ortak bir katının bir katı olduğunun kanıtı ile tanıtılır. PPCM (prop .37).
bibliyografya
- Euclid'in eserleri, çeviri F. Peyrard, Paris (1819), Jean Itard'ın yeni baskısı, Éditions Albert Blanchard (1993). Makalede verilen önermelerin numaraları bu basımın numaralarıdır (Yunanca metnin Johan Ludvig Heiberg tarafından yapılan baskısından yapılan daha yakın tarihli çevirilerden farklıdır ).
- Euclide ( çeviri Bernard Vitrac), The Elements [ baskıların detayı ]
Notlar ve referanslar
-
Maurice Caveing, Matematiksel Düşüncede Nesne Sorunu , s. 85-86
-
Numaralı pervane. Daha yeni baskılarda 30.
Dış bağlantılar
BNF'nin Gallica web sitesinde çevrimiçi belge