Mantık matematiksel akıl yürütme temelidir.
“Matematik diyen Yunanlılardan beri gösteri diyor. "
- Nicolas Bourbaki , Elements of matematiğin Küme Teorisine Giriş bölümünde
Mantık bir gerçektir veya onaylama işlemi zaten itiraf diğer gerçekleri ortaya çıkabilecek açıklar. Birbirinden aktığı belirtilen gerçekler zincirine gösteri denir . Biz görebilirsiniz hesaplanması ve tasviridir matematik iki ana faaliyetlerdir. Burada gösterme faaliyeti ile ilgileniyoruz. Bir şeyi göstermek için, ya belirli bir dil kullanmalısınız (diğer özel Vikipedi makalelerinde, örneğin doğal kesinti makalesinde sunulmuştur ) ya da Fransızca'yı hataları ve belirsizlikleri ortadan kaldırmayı amaçlayan belirli sayıda sözleşmeyle tutmalısınız. Mantık, matematik, bu nedenle uygulamasıdır titizlik veya kusursuzlukları düşüncede.
Matematik yaptığımız anda, kendimizi belirli sayıda temel gerçeği kabul ettiğimiz bir teoriye yerleştiririz. Aşağıdaki örneklerde, temel gerçekler, toplama, çarpma, sıra ilişkisi vb. özelliklerini bildiğimiz gerçek sayılar teorisinin gerçekleridir . Elde edilen bu temel gerçeklerden yapılabilecek doğru akıl yürütme dizisiyle ilgileneceğiz.
İki gerçeğe bakarak başlayalım:
ilk gerçek : ikinci yapılan : .İkinci gerçek, ilk gerçeği takip eder. Gerçekten de if ifadesinin yerine ile koyabiliriz ve bunu buluruz . yani öyle derdik
veya
biz de yazarız
eğer öyleyseveya
yeterlidir içinveya
tabi zaman .Bütün bu formülasyonlar, matematikçilerin akıl yürütmelerinde titizlik göstermeyi seçtikleri uzlaşımlardır. Biz sadece söylediklerini olarak, neyi bağlantılar olduğu bir adlandırılan ima . Daha doğrusu, bu çıkarımın doğru olduğu iddiasına tümdengelim denir, tümdengelim bir ispatın temel adımıdır.
Öte yandan, diyebilir miyiz?
Hayır, çünkü bununla bir kişi de bunu doğrulayabilir , gerçekten (3 x 1) . Onaylama cümleleri şey söylemek edebilmek ve , tek gerçeği oluşturmak üzere bunları birleştirmek zorundayız. Bu gerçek yeni bir iddiadır:
veya .İki ifadeyi bir veya ile birleştiren mantıksal işleme ayırma denir . Ayrılmada imadan daha az dil varyasyonu olduğuna dikkat edin. Ve ikinci dereceden denklemler teorisi bize şunu yazabileceğimizi söylüyor:
nerede içerirveya
eğer öyleyse veya .Aslında, yazdığımızda , ' den daha yüksek bir şey söylediğini anlıyoruz . Bir imada bulunarak bilgiyi kaybederiz. Bununla birlikte, olumlamayı yazarak veya zayıflatarak bilgiyi de kaybederiz, ancak aynı şekilde değil.
Birinden diğerine gittiğinizde veya diğerinden diğerine gittiğinizde hiçbir bilgi kaybı olmadığını söyleyerek, tamamen aynı şeyi söylediklerini söyleyerek iki gerçeği nasıl birleştiriyorsunuz? Yukarıdaki gerçekler üzerine yazılmıştır:
eşdeğerdir veyaveya
eğer ve sadece eğer veyaveya
gerekli ve yeterlidir, böylece veyaveya
gerekli ve yeterli bir durumdur Bunun için veya .Bu kombinasyona eşdeğerlik denir . Bir denklik her iki yöne de gittiği için şunu da yazabiliriz:
veya eşdeğerdirveya
veya ancak ve ancakya da
veya öncekinin kısaltılmış hali olan iff , vb.Şimdiye kadar gerçekler veya ifadeler hakkında konuşuyorduk . Mantıkta bu durumda önerme adı kullanılır . Yani bir önermedir. Hatta örneğin, biz yazabilirim harfler önermeler isimler verebilir ima . Bu nedenle , biraz aritmetikte olduğu gibi işleri ima ettiğini görebiliriz . Böylece önermeler üzerinde de "hesaplanabilir", ayrıca bu hesaplama yönteminden bahsedildiğinde önermelerin hesaplanmasından da söz edilir. Ancak bunun bir operatör olduğunu söylediğimiz aritmetiğin aksine , bunun bir bağlayıcı olduğunu ima ettiğini söylüyoruz . Bu, mantıkçılar arasında gerçekten farklı bir kavramdan çok bir alışkanlık meselesidir. Üç bağlayıcı gördük:
Aritmetikte, kişi daha fazla yazmaz , iyi yazar . Önermelerin hesaplanmasında bağlaçlar için gösterimler kullanırız ve
ama biz bu yazıda bu notasyonları çok az kullanacağız.
anlamına geldiğini söyleyemeyiz . Öte yandan, eğer değerse o zaman değmez diyebiliriz: bunun için sahip olmadığımızı söyleyebilmeliyiz . Bunu yapmak için, biz böyle görünüyor bağlayıcı tanıtmak aritmetik içinde tekli, kimse bu cümledeki tarafından . Bu bağlayıcıya olumsuzlama denir ve hayır olarak belirtilir . Bu nedenle şunları yazabiliriz:
hayır anlamına gelirveya
eğer öyleyse değil .Biçimsel gösterimi yok olduğunu . Hayır yerine yazacağız . Ancak çoğu zaman daha da yoğun bir yazı kullanılacaktır, yani .
Bunu söyleyemediğimizi gördük.
ima eder ,öte yandan, 'den daha büyük olanları aradığımızı söyleyerek ilk önermeyi ( imaların solundakini ) güçlendirebiliriz . Diğer bir deyişle, biz koşul eklemek istediğiniz için . Bunun için şu önermeyi oluşturuyoruz:
ve .Biz yeni bir konektör bulunur tanıtıldı ve biz ifade edebiliriz onun sayesinde ve:
ve içerir .Orada küçük bir sorun görmeye başlıyoruz. Önceki önermede, bir yandan sahip olduğumuzu mu kastetmiştik?
Ve diğer yandan,
ilgiliyoksa bunu mu demek istedik
veilgili
?Bu aklımıza gelen ikinci niyetti. Herhangi bir belirsizliği önlemek için parantez kullanırız ve şunu yazarız:
( ve ) anlamına gelir .Ve resmen belirtilmektedir . Böylece yukarıdaki önerme şu şekilde yazılabilir:
.Yukarıda görülen A önermesini kastetmediğimizi varsayalım:
for or for ifadesi iptal edildiama başka bir teklif:
bir yerde bu ifadenin kaybolduğu bir doğal sayı (yani bir ) vardır .Yazacağız :
Öyle bir var ki ." Var " bir niceleyici olarak adlandırılır .
Bunu biliyoruz çünkü bu yeni mantıksal yapısı sayesinde, iptal , biz bir teklif yazabilirsiniz iptal doğal sayı olduğu durumlar :
Şimdi, deyimi ele alırsam, onu iptal edenin var olduğunu onaylayamam . Ama öte yandan tüm doğal sayılar için birbirini götürmediğini söyleyebilirim. sonra yazarım
“ Her şey için ” aynı zamanda bir niceleyicidir . Ayrıca şunu da yazabiliriz: Her neyse , . Ve yine: ∀ , Fransızca'yı matematiksel dille karıştırmak istemeyen formülasyonda.
Akıl yürütebilmek için bazı kurallara ihtiyacımız var. Örneğin, mantıkçıların isimlendirdiği imayla ilgili kurallar vardır.
Yani diyebiliriz ki, eğer sahipsek ve içeriyorsa, o zaman bizde var . Bu, göstermeyi hedefliyorsak , kendimize iki alt hedef (iki ara hedef) verebileceğimiz anlamına gelir : göstermek ve göstermek ima eder , ancak o zaman yukarıdaki kuralı göstermek için kullanabiliriz . İkinci alt hedefte olduğu gibi, bir imamız vardı ve nihai hedefte daha fazla ima yok. Bu kurala modus ponens denir .
Örneğin, bunu gösterdiğimizi ve ima ettiğimize göre, bunu çıkarabileceğimizi varsayalım .
Az önce gördüğümüz gibi, sonuçları göstermek için araçlara sahip olmalıyız. Bunun için bir ima "tanıtan" bir kural kullanıyoruz. Aşağıdaki gibi çalışır. içerdiğini göstermek istediğimizi söyleyin . Kabul edilen varsayımlarımıza ekliyoruz ve göstermeye çalışıyoruz . Başarılı olursak, içerdiğini iddia edebilir ve daha sonra kullanabiliriz.
veya veya ve gibi diğer bağlayıcılar için olduğu kadar niceleyiciler için de kurallar vardır .
Doğru matematiksel muhakemenin varlığı bir şeydir, ancak böyle bir doğru muhakemenin inşası başka bir şeydir. Bu nedenle soru, matematikçilere veya öğrencilere gösteriler yapmak için yöntemler sağlamaktan doğar. İşte matematikçilerin ispat geliştirmelerine yardımcı olması gereken bazı buluşsal yöntemler (akıl yürütmenin oluşturulmasına yardımcı olacak araçlar). Henri Poincaré , George Pólya , Martin Gardner veya Terence Tao gibi bazı matematikçiler kitaplarda, onların yaklaşımlarını ve meslektaşlarının gördüğü şekliyle yaklaşımlarını açıklamaya çalıştılar.
Tümevarımda, matematikçi deneysel bulgulardan yola çıkar, sonra onları birleştiren bir "yasa" bularak bunları genelleştirir . Örneğin, kenarlarından biri dairenin çapı olan bir üçgen çizersek ve bu üçgenin 3 köşesi dairenin çevresiyle çakışırsa bu üçgenin dik açılı olduğunu görürüz. İndüksiyon a, buluşsal , o zaman söylemek sıkı bir matematiksel akıl oluşturmak için yardımcı olan bir yöntemdir; hiçbir durumda matematiksel bir gösterim oluşturmaz.
Tümdengelimde, hipotezlerden başlıyoruz ve teoremin ispatına götürmek için mantıksal diziler oluşturmaya çalışıyoruz. Bu yaklaşım, bir ispata ulaşılmadan yapılacak yeni bir kesintinin olmadığı bir noktaya götürebilir (çıkmaz). Başka bir rota (yani başka bir kesinti) almak için geri dönmeyi gerektirir. Bu tamamen tümdengelimli yaklaşım pahalı olabilir, çünkü keşfedilecek yolların sayısı son derece fazladır. Daha da sezgisel ve eksik fikir sahibi olmak sonra ilginç olabilir “doğru” yönde ve “tedbir” Biz çözümü (bkz ne kadar yakın backtrack ). Bu nedenle, kesinti diğer buluşsal yöntemler ile birleştirilmelidir.
Sorunu bir vakaya bölerek bir gösteri arıyoruz.
Örnek : Biz tüm doğal için, var mısayılar,hatta?
Önerme şudur: " tüm doğal sayılar n için çifttir"
Sezgisel şudur: “vakaların ayrılmasıyla akıl yürütürüz” .
Durum 1: düşündüğümüz bile ya sahip bir doğal sayı.
hangi bir çift sayıdır.
Durum 2: düşündüğümüz tek veya birlikte bir doğal sayı.
hangi bir çift sayıdır. Böylece, herhangi bir doğal sayı (çift veya tek) için çiftimiz var .
Her durum için bir kanıtımız varsa, genel problemin bir kanıtımız var.
Göstermek istediğimiz şeyin olumsuzluğunu varsayarız, sonra bunun bir saçmalığa yol açtığını gösteririz.
Bu göstermek için bir yer bir ima B reddi olduğu gösterilmiştir B yadsınmasını eder A .
Adım adım bir işlemle, bir özelliğin tüm tamsayılar veya tamsayılara benzeyen herhangi bir matematiksel yapı için doğru olduğunu kanıtlıyoruz.
Biri potansiyel aday çözümleri analiz eder ve bunlardan biri otantik çözümler olmayanları eler, böylece elenmeyen adaylar arasında gerçek bir gösterim elde etmeyi umar.
Biçimsel düzeltmenin yanı sıra, matematikçiler (aynı sonucun) belirli kanıtlarını, genellikle daha kısa oldukları için, ancak aynı zamanda kullanılan argümanların ustalığı veya zaten bilinen diğer sonuçlarla gizli ilişkilerin ortaya çıkması nedeniyle diğerlerinden daha zarif yargılamada hemfikirdirler. .