Teğet kanunu

Olarak geometrisinin ve üçgen , teğetler kanunu arasında bir ilişki vardır uzunluğu bir üçgenin iki yanından ve ikisinin ölçüde köşe .

Şekil 1'de gösterilen herhangi bir ABC üçgenini düşünün. 1 zıt, burada açılar α , β , γ ile ve açıların karşısındaki taraflar a , b ve c harfleriyle gösterilir . Yani,

-de-b-de+b=bronzlaşmak⁡α-β2bronzlaşmak⁡α+β2.{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}.}

Gösteri

Teğet yasası, Mollweide formüllerinin doğrudan bir sonucudur .

Ayrıca, ikincisi gibi doğrudan sinüs yasasından ve Simpson formüllerinden de çıkarabiliriz  :

-de-b-de+b=-de(1-günah⁡βgünah⁡α)-de(1+günah⁡βgünah⁡α)=günah⁡α-günah⁡βgünah⁡α+günah⁡β=2çünkü⁡α+β2günah⁡α-β22günah⁡α+β2çünkü⁡α-β2=(günah⁡α-β2çünkü⁡α-β2)(günah⁡α+β2çünkü⁡α+β2)=bronzlaşmak⁡α-β2bronzlaşmak⁡α+β2.{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {a (1 - {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha}})} {a (1 + {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha}})}} = {\ frac {\ sin \ alpha - \ sin \ beta} {\ sin \ alpha + \ sin \ beta}} = {\ frac {2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {2 \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}} = {\ frac {\ left ({\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}} \ right)} {\ left ({\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}} \ right)}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}.}

İkinci aşama için bir değişken:

günah⁡α-günah⁡βgünah⁡α+günah⁡β=(günah⁡α-günah⁡βçünkü⁡α+çünkü⁡β)(günah⁡α+günah⁡βçünkü⁡α+çünkü⁡β)=bronzlaşmak⁡α-β2bronzlaşmak⁡α+β2.{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha - \ sin \ beta} {\ sin \ alpha + \ sin \ beta}} = {\ frac {\ sol ({\ frac {\ sin \ alpha - \ sin \ beta } {\ cos \ alpha + \ cos \ beta}} \ right)} {\ left ({\ frac {\ sin \ alpha + \ sin \ beta} {\ cos \ alpha + \ cos \ beta}} \ sağ) }} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}.}

Öklid dışı geometrilere genelleme

K eğriliğinin Öklid dışı bir yüzeyi için , ρ eğriliğinin yarıçapını şu şekilde tanımlarız :

ρ=1/|K|,{\ displaystyle \, \ rho = 1 / {\ sqrt {| K |}},}

sonra üçgenin a , b ve c küçültülmüş boyutları :

-de=BVS/ρ,b=ATVS/ρ,vs=ATB/ρ.{\ displaystyle \, a = BC / \ rho, \ quad b = AC / \ rho, \ quad c = AB / \ rho.}

Küresel geometri

Bir de küresel üçgenin ABC bir , b ve c , büyük yay segmentlerinin [BC], [AC] ve [AB] olur ve teğet hukuku açısal ölçümüne tekabül (Şekil 2).:

bronzlaşmak⁡-de-b2bronzlaşmak⁡-de+b2=bronzlaşmak⁡α-β2bronzlaşmak⁡α+β2.{\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {ab} {2}}} {\ tan {\ frac {a + b} {2}}}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}.}

Notlar ve referanslar

Ayrıca görün

• Trigonometri
• Trigonometrik fonksiyon
• Nirengi
• Bir üçgeni çözmek
• Al-Kashi teoremi

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">