Χ kanunu ortalanmamış

Merkezli olmayanlar kanunuχ{\ displaystyle \ chi}
Ayarlar	k∈{1,2,...}{\ displaystyle k \ in \ {1,2, \ noktalar \} \,}( serbestlik derecesi ) λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0 \,}
Destek	x∈[0;+∞[{\ displaystyle x \ in [0; + \ infty [\,}
Olasılık yoğunluğu	e-(x2+λ2)/2xkλ(λx)k/2benk/2-1(λx){\ displaystyle {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}
Umut	π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ sol ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} { 2}} \ sağ) \,}
Varyans	k+λ2-μ2{\ displaystyle k + \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} \,}

Gelen olasılık teorisi ve istatistik , hukuk dışı merkezliχ{\ displaystyle \ chi} bir genellemedir kay kare testi yasası . Eğer vardır k rasgele değişkenler bağımsız ait olağan kanun ortalamaları ve ilgili standart sapmanın ve ardından Xben,ben=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle X_ {i}, \, i = 1, \ noktalar, k} μben,ben=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ mu _ {i}, \, i = 1, \ noktalar, k}σben,ben=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma _ {i}, i = 1, \ noktalar, k}

X=∑1k(Xbenσben)2{\ displaystyle X = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2}}}}

merkezli olmayan rastgele bir değişkendir . Bu yasanın iki parametresi vardır: serbestlik derecesi sayısını (yani değişkenlerin sayısını ) belirten bir tamsayı ve formülle değişkenlerin ortalamasına göre gerçek : χ{\ displaystyle \ chi}k{\ displaystyle k}Xben{\ displaystyle X_ {i}}λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}Xben{\ displaystyle X_ {i}}

λ=∑1k(μbenσben)2{\ displaystyle \ lambda = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ sol ({\ frac {\ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2} }}}

X'in k serbestlik derecesi ve λ parametresi ile ortalanmamış bir χ yasasını izlediğini söyleyeceğiz,X∼DEĞİLVSχk(λ){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (\ lambda)}

Özellikleri

Olasılık yoğunluk ile elde edilir:

f(x;k,λ)=e-(x2+λ2)/2xkλ(λx)k/2benk/2-1(λx){\ displaystyle f (x; k, \ lambda) = {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}

burada bir modifiye Bessel fonksiyonu birinci tür. benν(z){\ displaystyle I _ {\ nu} (z)}

İlk anlar :

μ1′=π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ sol ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} {2}} \ sağ)} μ2′=k+λ2{\ displaystyle \ mu '_ {2} = k + \ lambda ^ {2}} μ3′=3π2L3/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {3} = 3 {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {3/2} ^ {(k / 2-1)} \ sol ({\ frac { - \ lambda ^ {2}} {2}} \ sağ)} μ4′=(k+λ2)2+2(k+2λ2){\ displaystyle \ mu '_ {4} = (k + \ lambda ^ {2}) ^ {2} +2 (k + 2 \ lambda ^ {2})}

nerede olduğunu genelleştirilmiş Laguerre polinomu . İkinci momenti ile aynı olduğuna dikkat edin , n ve inci an olmayan merkezli χ² hakları parametresi ile değiştirilir . Ldeğil(-de)(z){\ displaystyle L_ {n} ^ {(a)} (z)}λ{\ displaystyle \ lambda}λ2{\ displaystyle \ lambda ^ {2}}

Diğer kanunlara bağlantılar

• Eğer bir uncentered olan χ²-hukuk rastgele değişken , daha sonra rasgele değişken bir uncentered χ-hukuk rasgele değişkendir.X{\ displaystyle X}X2{\ displaystyle X ^ {2}}
• Eğer bir kay kare testi yasası , sonra χ merkezli değil kanundur: . Başka bir deyişle, χ yasası, parametre ile ortalanmayan χ yasasının özel bir durumudur .X{\ displaystyle X}X∼χk{\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k}}X{\ displaystyle X}X∼DEĞİLVSχk(0){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (0)}λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}
• Değil iki serbestlik derecesine sahip merkezli kay kare testi yasası benzer Rice yasası ile .σ=1{\ displaystyle \ sigma = 1}
• Eğer X , bir serbestlik derecesine ve λ parametresine sahip bir merkezsiz yasasını takip ediyorsa , o zaman σ X , herhangi bir σ değeri için σλ ve σ 2 parametreli katlanmış bir normal yasayı izler .

Farklı yasalar veχ{\ displaystyle \ chi}χ2{\ displaystyle \ chi ^ {2}}

Kanunlar	normal dağılım değişkenlerinin bir fonksiyonu olarak
χ² kanunu	∑ben=1k(Xben-μbenσben)2{\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {k} \ sol ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2} }
χ² kanunu ortalanmamış	∑ben=1k(Xbenσben)2{\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {k} \ sol ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2}}
χ kanunu	∑ben=1k(Xben-μbenσben)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sol ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2}}}}
χ kanunu ortalanmamış	∑ben=1k(Xbenσben)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2}}}}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">