Χ kanunu
Kanunu χ{\ displaystyle \ chi}
|
Olasılık yoğunluğu
|
|
|
Dağıtım işlevi
|
|
Ayarlar
|
k∈{1,2,...}{\ displaystyle k \ in \ {1,2, \ noktalar \} \,} ( serbestlik derecesi )
|
---|
Destek
|
x∈[0;∞[{\ displaystyle x \ in [0; \ infty [}
|
---|
Olasılık yoğunluğu
|
21-k/2xk-1e-x2/2Γ(k/2){\ displaystyle {\ frac {2 ^ {1-k / 2} x ^ {k-1} e ^ {- x ^ {2} / 2}} {\ Gama (k / 2)}}}
|
---|
Dağıtım işlevi
|
P(k/2,x2/2){\ displaystyle P (k / 2, x ^ {2} / 2) \,}
|
---|
Umut
|
μ=2Γ((k+1)/2)Γ(k/2){\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gama ((k + 1) / 2)} {\ Gama (k / 2)}}}
|
---|
Moda
|
k-1{\ displaystyle {\ sqrt {k-1}} \,} için k≥1{\ displaystyle k \ geq 1}
|
---|
Varyans
|
σ2=k-μ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}
|
---|
Asimetri
|
γ1=μσ3(1-2σ2){\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}
|
---|
Normalleştirilmiş basıklık
|
2σ2(1-μσγ1-σ2){\ displaystyle {\ frac {2} {\ sigma ^ {2}}} (1- \ mu \ sigma \ gama _ {1} - \ sigma ^ {2})}
|
---|
Entropi
|
ln(Γ(k/2))+{\ displaystyle \ ln (\ Gama (k / 2)) + \,}![{\ displaystyle \ ln (\ Gama (k / 2)) + \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d10d5bcf76800e7afa268cfec2a4a26ecd8e546) 12(k-ln(2)-(k-1)ψ0(k/2)){\ displaystyle \, {\ frac {1} {2}} (k \! - \! \ ln (2) \! - \! (k \! - \! 1) \ psi _ {0} (k / 2))}
|
---|
Moment üreten fonksiyon
|
(makaledeki ayrıntılara bakın)
|
---|
Karakteristik fonksiyon
|
(makaledeki ayrıntılara bakın)
|
---|
Gelen olasılık teorisi ve istatistik , hukukχ{\ displaystyle \ chi}
(telaffuz "chi") bir olduğunu yasası sürekli olasılık . Bu kök ortalama kare yasasıdır k rastgele değişkenlerin bağımsız ait olağan kanun parametresi, azaltılmış ortalanmış k sayısıdır serbestlik derecesi . En yaygın örnek Maxwell yasasıdır , bir kanunun k = 3 serbestlik derecesi için ; moleküler hızı modeller (normalleştirilmiş).
χ{\ displaystyle \ chi}![\ chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
Orada ise şunlardır k ortalama ile normal dağılımın bağımsız rasgele değişkenler ve standart sapma sonra, değişken
Xben{\ displaystyle X_ {i}}
μben{\ displaystyle \ mu _ {i}}
σben{\ displaystyle \ sigma _ {i}}![\ sigma _ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab3208a7d0c634ef720e03ff5a9949e8310edc4)
Y=∑ben=1k(Xben-μbenσben)2{\ displaystyle Y = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2}}}}![{\ displaystyle Y = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e4a2307b8cde142c71637127b4ac83d4db27d1)
kanunu .
χ{\ displaystyle \ chi}![\ chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
Karakterizasyonlar
Olasılık yoğunluğu
Olasılık yoğunluk kanunu geçerli:
χ{\ displaystyle \ chi}![\ chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
f(x;k)={21-k2xk-1e-x22Γ(k2) için x>00 değilse{\ displaystyle f (x; k) = {\ başlar {vakalar} \ displaystyle {\ frac {2 ^ {1 - {\ frac {k} {2}}} x ^ {k-1} e ^ {- { \ frac {x ^ {2}} {2}}}} {\ Gama ({\ frac {k} {2}})}} & {\ text {for}} x> 0 \\ 0 & {\ text {aksi}} \ end {vakalar}}}![{\ displaystyle f (x; k) = {\ başlar {vakalar} \ displaystyle {\ frac {2 ^ {1 - {\ frac {k} {2}}} x ^ {k-1} e ^ {- { \ frac {x ^ {2}} {2}}}} {\ Gama ({\ frac {k} {2}})}} & {\ text {for}} x> 0 \\ 0 & {\ text {aksi}} \ end {vakalar}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39af21bb5a6f879f5f54eaa28fc34fa67265db8)
burada bir gama fonksiyonu .
Γ(z){\ displaystyle \ Gama (z)}![\ Gama (z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ca17f880240539116aac7e6326909299e2a080)
Dağıtım işlevi
Dağılımı fonksiyonu yasasına geçerli:
χ{\ displaystyle \ chi}![\ chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
F(x;k)={P(k2,x22) için x>00 değilse{\ displaystyle F (x; k) = {\ başlar {vakalar} \ displaystyle P \ sol ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {x ^ {2}} {2}} \ sağ) & {\ text {for}} x> 0 \\ 0 & {\ text {aksi halde}} \ end {vakalar}}}![{\ displaystyle F (x; k) = {\ başlar {vakalar} \ displaystyle P \ sol ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {x ^ {2}} {2}} \ sağ) & {\ text {for}} x> 0 \\ 0 & {\ text {aksi halde}} \ end {vakalar}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097d84267fb82853d5322c39ff3c1a34f5891e25)
burada bir tam olmayan (tanzim edilmiş) gama fonksiyonu .
P(k,x){\ displaystyle P (k, x)}![{\ displaystyle P (k, x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e4b62c85e1f741ab60db4b20b22a502051bbfa)
İşlevler oluşturma
Moment üreten fonksiyon
Anların jeneratör işlevi ile verilir:
M(t)=M(k2,12,t22)+t2Γ(k+12)Γ(k2)M(k+12,32,t22).{\ displaystyle M (t) = M \ sol ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ sağ ) + t {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac {k} {2}})}} M \ left ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ sağ).}![{\ displaystyle M (t) = M \ sol ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ sağ ) + t {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac {k} {2}})}} M \ left ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ sağ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d657e517a6e3a9095deced4947da86e7ab96783)
burada M bir konfluent hipergeometrik fonksiyonu Kummer.
Karakteristik fonksiyon
Karakteristik fonksiyonu ile verilmektedir:
φ(t;k)=M(k2,12,-t22)+bent2Γ(k+12)Γ(k2)M(k+12,32,-t22).{\ displaystyle \ varphi (t; k) = M \ sol ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2 }} \ sağ) + it {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac {k} {2} })}} M \ sol ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2}} \ sağ) .}![{\ displaystyle \ varphi (t; k) = M \ sol ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2 }} \ sağ) + it {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac {k} {2} })}} M \ sol ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2}} \ sağ) .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf68ea84a88e0560984acf17c7d62b760babc74d)
burada M yine birleşik hipergeometrik fonksiyonu Kummer.
Özellikleri
Anlar
Anlar hukuk ait tarafından verilmiştir:
χ{\ displaystyle \ chi}![\ chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
μj=2j/2Γ(k+j2)Γ(k2){\ displaystyle \ mu _ {j} = 2 ^ {j / 2} {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + j} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac {k} {2 }})}}}![{\ displaystyle \ mu _ {j} = 2 ^ {j / 2} {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + j} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac {k} {2 }})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797134e2b2b83d8f07b3e81756f2b2bf07880580)
burada bir gama fonksiyonu . İlk anlar:
Γ(z){\ displaystyle \ Gama (z)}![\ Gama (z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ca17f880240539116aac7e6326909299e2a080)
μ1=2Γ(k+12)Γ(k2){\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac { k} {2}})}}}
μ2=k{\ displaystyle \ mu _ {2} = k \,}
μ3=22Γ(k+32)Γ(k2)=(k+1)μ1{\ displaystyle \ mu _ {3} = 2 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + 3} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac {k} {2}})}} = (k + 1) \ mu _ {1}}
μ4=k(k+2){\ displaystyle \ mu _ {4} = k (k + 2) \,}
μ5=42Γ(k+52)Γ(k2)=(k+1)(k+3)μ1{\ displaystyle \ mu _ {5} = 4 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + 5} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac {k} {2}})}} = (k + 1) (k + 3) \ mu _ {1}}
μ6=k(k+2)(k+4){\ displaystyle \ mu _ {6} = k (k + 2) (k + 4) \,}
ifadeler gama işlevinin yineleme ilişkisinden gelir:
Γ(x+1)=xΓ(x){\ displaystyle \ Gama (x + 1) = x \ Gama (x) \,}![{\ displaystyle \ Gama (x + 1) = x \ Gama (x) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af9765e5fbdd31e3ed649cd3d93f039e415fe82)
Bu ifadelerden beklenti , varyans , asimetri ve son olarak basıklık için aşağıdaki ilişkileri kurabiliriz :
μ=2Γ(k+12)Γ(k2){\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gama ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gama ({\ tfrac {k} {2}} )}}}
σ2=k-μ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}
γ1=μσ3(1-2σ2){\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}
γ2=2σ2(1-μσγ1-σ2){\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {2} {\ sigma ^ {2}}} (1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1} - \ sigma ^ {2})}
Entropi
Entropi ile verilir:
S=ln(Γ(k2))+12(k-ln(2)-(k-1)ψ0(k2)){\ displaystyle S = \ ln \ sol (\ Gama \ sol ({\ frac {k} {2}} \ sağ) \ sağ) + {\ frac {1} {2}} \ sol (k- \ ln ( 2) - (k-1) \ psi _ {0} \ left ({\ frac {k} {2}} \ sağ) \ sağ)}![{\ displaystyle S = \ ln \ sol (\ Gama \ sol ({\ frac {k} {2}} \ sağ) \ sağ) + {\ frac {1} {2}} \ sol (k- \ ln ( 2) - (k-1) \ psi _ {0} \ left ({\ frac {k} {2}} \ sağ) \ sağ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38321b5ac8b32f9bb733fdb6908bf9ac63acd65)
burada bir poligama fonksiyonu .
ψ0(z){\ displaystyle \ psi _ {0} (z)}![{\ displaystyle \ psi _ {0} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b815ea0ac8b1e078d14e41eb6ac7dc05155e5365)
Diğer kanunlara bağlantılar
- Eğer o zaman , ( χ² yasası )X∼χk(x){\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k} (x)}
X2∼χk2{\ displaystyle X ^ {2} \ sim \ chi _ {k} ^ {2}}![{\ displaystyle X ^ {2} \ sim \ chi _ {k} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b277560b0ea29b389a66f210441627f8f78247)
-
limk→∞χk(x)-μkσk→d DEĞİL(0,1){\ displaystyle \ lim _ {k \ ila \ infty} {\ tfrac {\ chi _ {k} (x) - \ mu _ {k}} {\ sigma _ {k}}} {\ xrightarrow {d}} \ N (0,1) \,}
, ( normal dağılım )
- Eğer o zaman , ( yarı normal dağılım ) herkes içinX∼χ1(x){\ displaystyle X \ sim \ chi _ {1} (x) \,}
σX∼HDEĞİL(σ){\ displaystyle \ sigma X \ sim HN (\ sigma) \,}
σ>0{\ displaystyle \ sigma> 0 \,}
-
χ2(x)∼R-deylebengh(1){\ displaystyle \ chi _ {2} (x) \ sim \ mathrm {Rayleigh} (1) \,}
, ( Rayleigh yasası )
-
χ3(x)∼M-dexwell(1){\ displaystyle \ chi _ {3} (x) \ sim \ mathrm {Maxwell} (1) \,}
, ( Maxwell yasası )
-
‖DEĞİLben=1,...,k(0,1)‖∼χk(x){\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {N}} _ {i = 1, \ ldots, k} {(0,1)} \ | \ sim \ chi _ {k} (x)}
( Norm ait n değişkenleri arasında normal dağılımın yasasının olduğu ile k serbestlik derecesine.)χ{\ displaystyle \ chi}![\ chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
- yasası , genelleştirilmiş gama yasasının özel bir durumudur .χ{\ displaystyle \ chi}
![\ chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
Farklı yasalar veχ{\ displaystyle \ chi}
χ2{\ displaystyle \ chi ^ {2}}
Kanunlar |
normal dağılım değişkenlerinin bir fonksiyonu olarak
|
---|
χ² kanunu |
∑ben=1k(Xben-μbenσben)2{\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {k} \ sol ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2} }
|
χ² kanunu ortalanmamış |
∑ben=1k(Xbenσben)2{\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {k} \ sol ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2}}
|
χ kanunu |
∑ben=1k(Xben-μbenσben)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sol ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2}}}}
|
χ kanunu ortalanmamış |
∑ben=1k(Xbenσben)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ sağ) ^ {2}}}}
|
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">