çok terimli yasa
Çok terimli veya polinom
|
|
|
|
Ayarlar
|
değil>0{\ görüntü stili n> 0}olay sayısı (tam sayı) olay olasılıkları ( )
p1,...pm{\ displaystyle p_ {1}, \ ldots p_ {m}}Σpben=1{\ displaystyle \ Sigma p_ {i} = 1} |
---|
Destek
|
DEĞİLben∈{0,...,değil}{\ displaystyle N_ {i} \ in \ {0, \ nokta, n \}} ΣDEĞİLben=değil{\ görüntü stili \ Sigma N_ {i} = n \!}
|
---|
kütle fonksiyonu
|
değil!değil1!⋯değilm!p1değil1⋯pmdeğilm{\ displaystyle {\ frac {n!} {n_ {1}! \ cdots n_ {m}!}} p_ {1} ^ {n_ {1}} \ cdots p_ {m} ^ {n_ {m}}}
|
---|
Umut
|
E[DEĞİLben]=değilpben{\ displaystyle E \ sol [N_ {i} \ sağ] = np_ {i}}
|
---|
Varyans
|
Vder(DEĞİLben)=değilpben(1-pben){\ displaystyle {\ matematik {Var}} (N_ {i}) = np_ {i} (1-p_ {i})} VSÖv(DEĞİLben,DEĞİLj)=-değilpbenpj{\ displaystyle {\ matematik {Cov}} (N_ {i}, N_ {j}) = - np_ {i} p_ {j}}( )
ben≠j{\ displaystyle ben \ neq j} |
---|
Moment üreten fonksiyon
|
(∑ben=1mpbenetben)değil{\ displaystyle \ sol (\ toplam _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} e ^ {t_ {i}} \ sağ) ^ {n}}
|
---|
Binom dağılımları başarılı sonuç sayısını ifade eder n Bernoulli denemelerinin oyununda olduğu gibi, her bir ikili sonucunu veren bağımsız yazı turaya . Çok terimli yasalar ( polinom dağılımları olarak da adlandırılır ) bunların genelleştirilmiş halidir, örneğin altı yüzü olan bir zarın n atışında bulunur . Bu basit örneklerden farklı olarak, farklı olasılıklar genellikle eşit derecede olası değildir.
Binom yasasının başka bir sunumu
Yazılan
bir binom rasgele değişken K'nin olasılık fonksiyonu
P(K=k)=değil!k!(değil-k)!pk(1-p)değil-k{\ displaystyle \ mathbb {P} (K = k) = {\ frac {n!} {k! (nk)!}} p ^ {k} (1-p) ^ {nk}}
toplamı n'ye eşit olan iki değişken dahil edilerek simetrik olarak yeniden yazılabilir :
DEĞİL1=K,DEĞİL2=değil-K,p1=p,p2=1-p{\ displaystyle N_ {1} = K, \ dörtlü N_ {2} = nK, \ dörtlü p_ {1} = p, \ dörtlü p_ {2} = 1-p}
P(DEĞİL1=değil1,DEĞİL2=değil2)=değil!değil1!değil2!p1değil1p2değil2{\ displaystyle \ mathbb {P} (N_ {1} = n_ {1}, N_ {2} = n_ {2}) = {\ frac {n!} {n_ {1}! n_ {2}!}} p_ {1} ^ {n_ {1}} p_ {2} ^ {n_ {2}}}
genelleme
İle multinomial durumda 2 yerine olası sonuçları, değişkenler haline , olasılıklara ve tekabül , kısıtlamalarıyla
m{\ görüntü stili m \,}DEĞİLben{\ görüntü stili N_ {i} \,}ben∈{1,...,m}{\ displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, m \} \,}pben{\ görüntü stili p_ {i} \,}ben∈{1,...,m}{\ displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, m \} \,}
∑ben=1mDEĞİLben=değil∑ben=1mpben=1{\ displaystyle \ toplam _ {i = 1} ^ {m} N_ {i} = n \ dörtlü \ toplam _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} = 1}
Daha sonra değişkenlerin toplamına ilişkin koşul altında olasılık fonksiyonu yazılır:
P(DEĞİL1=değil1,...DEĞİLm=değilm)=değil!değil1!...değilm!p1değil1...pmdeğilm{\ displaystyle \ mathbb {P} (N_ {1} = n_ {1}, \ ldots N_ {m} = n_ {m}) = {\ frac {n!} {n_ {1}! \ ldots n_ {m }!}} p_ {1} ^ {n_ {1}} \ ldots p_ {m} ^ {n_ {m}}}
Değişkenlerin her biri, ortalaması ve varyansı olan bir binom değişken olarak kalır.
E(DEĞİLben)=değilpbenvar(DEĞİLben)=değilpben(1-pben){\ displaystyle \ operatör adı {E} (N_ {i}) = np_ {i} \ dörtlü \ operatör adı {var} (N_ {i}) = np_ {i} (1-p_ {i})}
kovaryanslar yazılırken
cov(DEĞİLben,DEĞİLj)=-değilpbenpj{\ displaystyle \ operatör adı {cov} (N_ {i}, N_ {j}) = - np_ {i} p_ {j} \,}
yaklaşıklık
Rastgele değişken zaman K i yeterince büyük olur, merkezi sınır teoremi makul bir ile tahmin edildiği görülmektedir , normal değişken değişken tekabül merkezli indirgenir hangi .
DEĞİLben-değilpbendeğilpben(1-pben){\ displaystyle {\ frac {N_ {i} -np_ {i}} {\ sqrt {np_ {i} (1-p_ {i})}}}}
Bu değişkenler bağımsız olsaydı , m serbestlik dereceli χ 2 yasasını izlerdi .
∑ben=1m(DEĞİLben-değilpben)2değilpben(1-pben){\ displaystyle \ toplam _ {i = 1} ^ {m} {\ frac {(N_ {i} -np_ {i}) ^ {2}} {np_ {i} (1-p_ {i})}} }
Nedeniyle geçerlidir doğrusal kısıtlaması, değişken bir kuralı takip kay kare testi 2 ile ( m - 1) serbestlik derecesi. ∑ben=1m(DEĞİLben-değilpben)2değilpben{\ displaystyle \ toplam _ {i = 1} ^ {m} {\ frac {(N_ {i} -np_ {i}) ^ {2}} {np_ {i}}}}
Bu son açıklama χ² testinin temelidir .
Referanslar
-
Teorik ve uygulamalı istatistikler , Pierre Dagnélie , Editions de Boeck, Brüksel 2013