Rastgele matris

Gelen Olasılık teorisi ve matematiksel fizik , bir rasgele matris a, matris öğesi olan rastgele değişkenler . Rastgele matrisler teorisi, bu matrislerin operatör normları, özdeğerleri veya tekil değerleri gibi belirli özelliklerini anlamayı amaçlamaktadır .

1950'lerde deneysel olarak gözlemlenen nükleer spektrumların artan karmaşıklığıyla karşı karşıya kalan Wigner , çekirdeğin Hamilton operatörünü rastgele bir matris ile değiştirmeyi önerdi .

Bu verimli hipotez , matematikte sayı teorisine yayılan ve özellikle Riemann zeta fonksiyonu ile ilginç bir bağlantıya sahip olan teorik fizikte çok aktif yeni bir araştırma alanının hızla gelişmesine yol açtı (örneğin bkz. içinde Şubat 2019Yazan : Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen ve Don Zagier ve Robert C. Smith'in blogundaki yorumları).

Bu örneklere ek olarak, rastgele matrisler teorisinin uygulamaları da vardır:

İntegrallenebilir sistemleri ,
kuantum kaos ,
KRD ağı ,
kuantum çekimi , iki boyutta ve daha üzerinden sicim teorisi ve Yazışmalar ADS / CFT ,
süpersimetrik ayar teorileri .

Daha fazla ayrıntı için Nicolas Orantin'in tezinin girişini okuyun (çevrimiçi olarak mevcuttur).

Birçok günlük durumda rastgele matrisler de bulunur: metro treni için bekleme süresi, tsunamiler, borsa fiyatları, cep telefonu antenleri, ağaçların vahşi bir ormandaki konumu, uçağa binme süresi vb. Biyolojide de verimli olduklarını kanıtladılar: protein formları, kristaller vb.

Bazı rastgele matris kümeleri

Wigner matrisleri

Bir Wigner matrisi , girdileri bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış merkezlenmiş rasgele değişkenler (iid) olan simetrik bir rasgele matristir . Örneğin, bir Rademacher yasasına göre belirlenen rastgele değişkenler ailesiyse , simetrik matris şu şekilde tanımlanır: $N \ times N$ ${\ displaystyle (X_ {i, j}) _ {i, j \ in \ {1, ..., n \}}}$ ${\ displaystyle M = (M_ {i, j}) _ {i, j \ in \ {1, ..., n \}}}$

{\ displaystyle M_ {i, j} = {\ başla {vakalar} X_ {i, i} {\ text {si}} i = j, \\ X_ {i, j} {\ text {si}} i < j \\ X_ {j, i} {\ text {si}} i> j \ end {vakalar}}}

bir Wigner matrisidir.

Gauss kümeleri

Bunlar, Wigner tarafından nükleer spektrum teorisi için sunulan setlerdir. Üç set var:

ortogonal Gauss grubu zamanla değişmeyen (GOE);
üniter Gauss grubu (İngilizce olmayan değişmez zaman ters sistemleri için Gauss üniter grubu veya GUE );
ve spinli sistemler için Gauss semplektik topluluğu (İngilizce, Gaussian semplektik topluluk veya GSE ).

Set GOE durumunda , matris elemanları Gauss dağılımına uyan gerçek simetrik matrisleri dikkate alırız : $N \ times N$ $A_ {ij}$

P (A _ {{ij}}) \ prod _ {i} dA _ {{ii}} \ prod _ {{i <j}} dA _ {{ij}} = \ exp \ left (-g {\ mathrm {Tr}} ({} ^ {t} AA) \ right) \ prod _ {i} dA _ {{ii}} \ prod _ {{i <j}} dA _ {{ij}}

Dağılım, ortogonal dönüşümlerle değişmezdir. Aynı şekilde, üniter kümede, Hermit matrisleri dikkate alınır ve dağılım üniter dönüşümlerle değişmez. GSE setinde, dağılım semplektik dönüşümlerin etkisi altında değişmez.

Wigner, bu matrislerin öz değerlerinin limit içindeki dağılımını çıkardı . Yarım dairenin yasasıdır. $N \ ila \ infty$

Bir temel değişikliği ile özdeğerlerin ortak dağılım yasasını çıkarmak mümkündür. Sonuç şudur:

P (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {N}) = C_ {N} \ exp (-g \ sum _ {i} \ lambda _ {i} ^ {2}) \ prod _ { {i <j}} \ mid \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j} \ mid ^ {\ beta}

matrisin özdeğerleri burada ve GOE durumunda, GUE durumunda, GSE durumunda. $\ lambda _ {i}$ $\ beta = 1$ $\ beta = 2$ $\ beta = 4$

Bu dağılımlardan özdeğerler arasındaki farkların dağılım yasasını elde edebiliriz. Biz ise göstermektedir mesafe iki özdeğerler, iki özdeğerler uzak olduğu olasılığı arasındaki (durum yoğunluğu ile normalize) sıfıra eğilimi sıfır eğilimindedir. Özdeğerler tekdüze olarak dağıtılmış olsaydı, bu olasılık Poisson yasası tarafından verilecek ve sıfıra yönelme eğiliminde olmayacaktı . Gauss kümelerinin bu özelliğine seviye itme denir. $s$ $s$ $s$ $s$

Birim setleri

Önemli COE, CUE, CSE. Bu sefer matrisler sırasıyla dikey, üniter veya semplektiktir. Özdeğerleri, modül 1'in karmaşık sayılarıdır. Freeman Dyson , bu özdeğerlerin dağılımının çalışmasının , mesafe ile logaritmik etkileşimli bir daire üzerindeki bir parçacık gazının istatistiksel mekaniğinin incelenmesi anlamına geldiğini gösterdi .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Fransızca dış bağlantılar

Nicolas Orantin , Matris modellerinin topolojik gelişiminden topolojik sicim teorisine: cebirsel geometri ile yüzeylerin kombinatorikleri ( teorik fizikte doktora tezi, Paris Üniversitesi 6),2007, 179 s. ( HAL tel-00173162 )
Bertrand Eynard , " Rastgele matrislerin evrenselliği ", Pour la science , n o 487,Mayıs 2018, s. 34-44

Dış bağlantılar

Robert Smith , " Jensen Polinomları, Riemann-zeta Fonksiyonu ve SYK " ,2019(erişim tarihi 11 Ekim 2019 )
Alan Edelman ve N. Raj Rao; Rastgele Matris Teorisi , Acta Numerica 14 : 233-297 (2005)
Alan Edelman ve Moe Kazandı; Rastgele Matris Teorisi ve Uygulamaları , MIT Opencourseware (2004).
Alan Edelman ve Moe Kazandı; Sonsuz Rastgele Matris Teorisi , MIT Opencourseware (2004).
B Conrey, P Diaconis, F Mezzadri, P Sarnak ve NC Snaith (organizatörler); Sayı Teorisinde Rastgele Matris Yaklaşımları , Cambridge Üniversitesi, Isaac Newton Matematik Bilimleri Enstitüsü kolokyumu (26 Ocak - 16 Temmuz 2004).
Matthew R. Watkins; Rastgele matrisler ve Riemann zeta fonksiyonu , Exeter Üniversitesi.
NC Snaith , PJ Forrester, JJM Verbaarschot, Rastgele Matris Teorisindeki Gelişmeler , J. Phys. A, cilt 36, 2003, R 1.
Rastgele matrisler üzerine PJ Forrester Book
M. Debbah "Rastgele matris teorisinin kablosuz telekomünikasyona uygulamaları"
Alice Guionnet , Büyük rasgele matrisler için Büyük sapmalar ve stokastik hesap , Olasılık Araştırmaları 1 : 72-172 (2004)
ZD Bai, Büyük boyutlu rastgele matrislerin spektral analizinde metodolojiler, bir inceleme , Statistica Sinica 9 : 611-677 (1999)
R. Couillet, M. Debbah, "Kablosuz İletişim için Rastgele Matris Teorisi Yöntemleri", Cambridge University Press, 2011.

Kaynakça

(tr) Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen ve Don Zagier " Riemann zeta fonksiyonu ve diğer diziler için Jensen polinomları ",2019.
Madan Lal Mehta , "Nükleer spektrumlarda seviye aralıklarının istatistiksel özellikleri üzerine", Nuclear Physics 18 (1960), 395-419
ML Mehta, Rastgele matrisler . Bu "İncil", artan ciltlerin üç baskısına konu olmuştur:
- Rastgele Matrisler ve Enerji Düzeylerinin İstatistiksel Teorisi , Academic Press (New York - 1967), 259 s.
- Rastgele Matrisler ( 2 e gözden geçirilmiş ve genişletilmiş ed.), Academic Press (New York, San Diego - 1991), 562 s.
- Rastgele Matrisler ( 3 E , Saf ve Uygulamalı Matematik Serisi 142, Elsevier (Londra - 2004) ed.), 688 s. ( ISBN 0-12-088409-7 )
ML Mehta, "Nükleer fizikte rastgele matrisler ve sayı teorisi", JE Cohen, H. Kesten ve CM Newman (editörler), Proceedings of the AMS-IMS-SIAM Joint Summer Conference, Bowdoin College, Brunswick, Maine, USA ( Haziran 1984) , Çağdaş Matematik 50 (1986), 295-309.
Édouard Brézin , Vladimir Kazakov , Didina Serban, Paul Wiegmann (en) ve Anton Zabrodin (editörler), "Fizikte Random Matris Uygulamaları", Proceedings of the NATO Advanced Study Institute / Les Houches Yaz Okulu, 6-25 Haziran 2004 , Les Houches (Fransa) , NATO Science Series II , cilt. 221, Springer-Verlag, (Berlin - 2006). ( ISBN 1-4020-4529-8 )
Bertrand Eynard, Rastgele Matrislere Giriş , Service de Physique Théorique du CEA'da verilen bir kursun notları (Saclay - Eylül 2000). Tam metin burada mevcuttur .
Pierre Cartier , Bernard Julia , Pierre Moussa ve Pierre Vanhove (editörler), Frontiers in Number Theory, Physics & Geometry (I) - On Random Matrices, Zeta Functions & Dynamical Systems , Les Houches Lectures Notes, Springer-Verlag, 2006 ( ISBN 3-540-23189-7 )
Philippe Di Francesco, Paul Ginsparg ve Jean Zinn-Justin , 2D Yerçekimi ve Rastgele Matrisler , Phys.Rept. 254 (1995) 1-133, " hep-inci / 9306153 " üzerine, açık bir metin, arXiv . ( Konuya çok iyi bir giriş. )
VA Malyshev ve AM Vershik (editörler), "Matematiksel fiziğe uygulamalarla birlikte asimptotik kombinatorik", Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, 9-22 Temmuz 2001 , St. Petersburg, Rusya , NATO Science Series II Cilt. 77, Springer-Verlag ( ISBN 1-4020-0792-2 )

Notlar

Griffin ve ark. 2019 .
Smith 2019 .
Orantin 2007 , s. 15-25.
Eynard 2018 .