Hausdorff anları

Gelen matematik , Hausdorff an sorun bir için gerekli ve yeterli koşullar arasında olmasıdır dizisi ( m, n ve) reals için dizisi olabilir anlar

{\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} \, d \ mu (x) \,}

a Borel ölçüsü ile segmenti [0, 1]. $\ mu$

Sorunun adı Alman matematikçi Felix Hausdorff ile ilişkilendirilmiştir .

Durumda m 0 = 1, bu varlığına eşit olan gerçek rasgele değişken X tüm bu aralık [0, 1], örneğin içinde n , beklenti arasında X , n eşittir m , n .

Bu sorun sorununa benzer Stieljes anları aralığında tanımlı o, Toeplitz üzerinde ve bunun Hamburger üzerinde varsa ancak bu farklı olarak, çözüm, tektir. ${\ displaystyle [0, \ infty [}$ ${\ displaystyle \ {t \ in \ mathbb {C} \ orta \ sol | t \ sağ | = 1 \}}$ $\ mathbb {R}$

İki boyutlu alanlara ve kesik süitlere genişletildi.

Monoton seriler

Hausdorff bir çözelti var olduğunu gösterdi ve dizi (sadece eğer m , n ) bir tam monoton yani farklılıkları olan sekanslar yerine, eğer $\ mu$

{\ displaystyle (-1) ^ {k} (\ Delta ^ {k} m) _ {n} \ geq 0}

tüm n için , k ≥ 0, burada Δ, tarafından verilen sonlu fark operatörüdür .

{\ displaystyle (\ Delta m) _ {n} = m_ {n + 1} -m_ {n}.}

Gerçekten böyle bir koşul gerekli

{\ displaystyle (-1) ^ {k} (\ Delta ^ {k} m) _ {n} = \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (1-x) ^ {k} \ , \ mathrm {d} \ mu (x) \ geq 0}

Örneğin

{\ displaystyle \ Delta ^ {4} m_ {6} = m_ {6} -4m_ {7} + 6m_ {8} -4m_ {9} + m_ {10} = \ int x ^ {6} (1-x ) ^ {4} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ geq 0}

Benzersizliği olabilir ait çıkarılabilir Weierstrass' yaklaşımı teoremi : $\ mu$

Benzersizliğin kanıtı

(Pozitif) iki işlem için ise (bitmiş) ayn saatlere, onların farkı bir olan sınırlı ölçü , kaybolan anların yüzden herhangi polinom için o , . Sürekli fonksiyonlarda polinomların yoğunluğu ile (üniforma norm için), bu izler her sürekli fonksiyon için o sürekli , bir başka deyişle . $[a, b]$ $\ mu$ $P$ ${\ displaystyle \ int P \, \ mathrm {d} \ mu = 0}$ $[a, b]$ $f$ $[a, b]$ ${\ displaystyle \ int f \, \ mathrm {d} \ mu = 0}$ $\ mu = 0$

Kesilmiş süit

Fizikteki yaklaşım problemleri, kesik dizilerin kullanımına yol açar . Bu durumda, aşağıdaki Hankel matrislerini tanımlarsak ${\ displaystyle (m_ {0}, m_ {1}, ..., m_ {p})}$

{\ displaystyle A_ {k} = \ sol (m _ {(i + j)} \ sağ) _ {i, j = 0} ^ {k} \ ,, \; \; \; B_ {k} = \ left (m _ {(i + j + 1)} \ right) _ {i, j = 0} ^ {k} \ ,, \; \; \; C_ {k} = \ left (m _ {(i + j)} \ sağ) _ {i, j = 1} ^ {k}}

varoluşun gerekli ve yeterli koşulu , ${\ displaystyle \ sol [a, b \ sağ]}$

için ${\ displaystyle p = 2k}$

{\ displaystyle A_ {k} \ geq 0 \ quad {\ text {ve}} \ quad (a + b) \, B_ {k-1} \ geq a \, b \, A_ {k-1} + C_ {k}}

için ${\ displaystyle p = 2k + 1}$

{\ displaystyle b \, A_ {k} \ geq B_ {k} \ geq a \, A_ {k}.}

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Hausdorff an sorun " ( yazarların listesini görmek ) .

(içinde) James Alexander Shohat ve Jacob Tamarkin , The Problem of Moments , AMS , diğerleri. "Matematiksel Araştırmalar ve Monografiler" ( n o 1),1943( ISBN 0-8218-1501-6 , çevrimiçi okuyun ).
(tr) MG Kerin ve AA Nudelman ( Rusça'dan çeviri ), The Markov Moment Problem and Extremal Problems , AMS, coll. "Çeviri. Matematik. Monografiler "( n o 50)1977Alıntılanma (in) Raul E. Curto ve Lawrence A. Fialkow, " tekrarlamasinda, pozitiflik ve kesilmiş zamanlama sorunları " , Matematik Houston Dergisi , cilt. 17, n o 4,1991( çevrimiçi okuyun ).
(de) F. Hausdorff , " Summationsmethoden und Momentfolgen. I. ” , Mathematische Zeitschrift , cilt. 9,1921, s. 74-109.
(de) F. Hausdorff, " Summationsmethoden und Momentfolgen. II. » , Mathematische Zeitschrift , cilt. 9,1921, s. 280-299.

Ayrıca görün

İşler

(tr) William Feller , Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları , cilt. 2, John Wiley & Sons ,1971
(en) Naum Akhiezer ( Rusça'dan N. Kemmer tarafından çevrilmiştir ), The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis , New York, Hafner Publishing,1965

İlgili makale

Momentler yöntemi (istatistiksel fizik)