Stone-Weierstrass teoremi

Gelen matematik , taş sıkıştırma teoremi bir genellemedir Weierstrass teoremi içinde gerçek bir analizi herhangi biri uyarınca, sürekli bir fonksiyon , bir tanımlanmış kesimi olabilir yaklaşık olarak eşit tarafından polinom fonksiyonlar .

Marshall Stone tarafından yapılan genelleme , bu sonucu , polinom fonksiyonlarının cebirini bir alt cebir veya doğal hipotezleri tatmin eden bir kafes ile değiştirerek, kompakt bir uzayda ve gerçek değerlerle tanımlanan sürekli fonksiyonlara genişletiyor .

Weierstrass yaklaşım teoremi

F [ a , b ] 'den ℝ ' ye kadar sürekli bir fonksiyon olsun.

Ε> 0'ın tümü için , [ a , b ], | ' deki tüm x'ler için gerçek katsayıları olan bir polinom fonksiyonu p vardır. f ( x ) - p ( x ) | ≤ ε.

veya:

Bir duyulmaktadır sekansı ( p , n polinomların) eşit yakınsayan için f [ile bir , b ].

Grubu, C ([ a , b : [gerçek ve sürekli değerlerle fonksiyonların]) bir , b sonsuz norm sahip], ${\ displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |}$ , a, Banach cebir ( yani bir birleştirici ℝ-cebir ve Banach alanı bu şekilde tüm f ve g ). Polinom fonksiyonları kümesi, C ([ a , b ]) ' nin bir alt cebirini oluşturur ve Weierstrass yaklaşım teoremi, bu alt cebirin C ([ a , b ]) cinsinden yoğun olduğunu ileri sürer . ${\ displaystyle \ | f \ cdot g \ | \ leq \ | f \ | \ cdot \ | g \ |}$

Herhangi teoremi a , b için eşdeğer bir , b (sabit bir < b ).

Teoremi bir sabit segment [üzerinde herhangi bir sürekli fonksiyon için geçerlidir varsayalım c , d ile (] c < d ) ve hala olduğunu göstermektedir sürekli için de geçerlidir fonksiyonu f bir segmenti [ile bir , B ile (] a < b ). Bunun için, bize izin bir tercih polinom homeomorfizma cp: [ a , b ] → [ c , d - örneğin] Afin bijection x ↦ c + ( x - a ) ( d - C ) / ( b - a ) - ve g , [ c , d ] 'de sürekli olan f Φ −1 fonksiyonunu göstersin , bu nedenle (hipotezle) bir polinom dizisinin tekdüze limiti g n . Let f n : = g n ∘ Φ. Yine bir polinom fonksiyonudur, bu sefer [ a , b ] üzerinde tanımlanmıştır ve (çünkü $Φ$ , [ c , d ] üzerindeki [ a , b ] ' den bir eşleşme olduğundan ) ║ f - f n ║ = ║ ( g - g n ) ∘ Φ║ = ║ g - g n ║ → 0.

Aşağıda, [-1, 1] aralığı boyunca mutlak değer fonksiyonuna yakınsayan bir polinom dizisi örneği.

Diğer versiyonlar ve genellemeler

Trigonometrik versiyon

Herhangi bir sürekli periyodik fonksiyon f için , homojen olarak f'ye yakınsayan bir dizi trigonometrik polinom vardır .

Teori türetilen Fourier serisi , Fejer teoremi böyle bir dizinin yapısal bir örnek verir.

Büyük sayılar kanunu

S. Bernstein bir verdi yapıcı biz sürebilir kanıtlayarak, [0, 1] Weierstrass teoreminin ve olasılıksal kanıt:

P_ {n} (x) = \ toplam _ {{k = 0}} ^ {n} f \ left ({\ frac kn} \ sağ) B_ {k} ^ {n} (x)

nerede olduğunu Bernstein polinomları . $B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ k} seçin x ^ {k} (1-x) ^ {{nk}}$

Gerçekten de, X, a, rastgele değişken aşağıdaki binom dağılımını parametrenin ( n , x ), daha sonra P , n ( x ) olan beklenti arasında f ( x / n ortalama yani), f başarılarına sayısına uygulanan n bağımsız olasılık deneyleri x . Basit yakınsama ait P n ( x kadar) f ( x herkes için) x bir sonucudur çok sayıda zayıf yasa . Arasındaki fark olasılığını arttırarak x / n ve x , biz üniform yakınsama anlamak P , n doğru f .

Stone-Weierstrass teoremi, cebirsel versiyon

Yaklaşım teoremi iki yönde genelleşir:

Kompakt aralığı [ a , b ] kompakt bir X uzayı ile değiştirilebilir .
Polinom fonksiyonların cebri bir alt cebiri ile ikame edilmiş olabilir , A , C (arasında X bu tatmin etmektir önemli bir özelliği olması koşuluyla) noktaları ayrı (in) (bir alt kümesi bir C (arasında X ) varsa puan ayıran çift { x , y noktaların} x , bir işlev vardır p ait bir şekilde p ( x ) ≠ p ( y )).

Bu bağlamda teorem yazılmıştır:

Teoremi - Let X, kompakt boşluk ve C ( X ) sürekli fonksiyonların Banach cebri X ℝ için. Bir alt cebiri C (yoğun olan X ) (ve sadece) bu sayı ayırır ve herhangi bir nokta için, içerir x ve X , kaybolmaması bir fonksiyonu x .

[ A , b ] üzerindeki polinomlar noktaları ayıran C ([ a , b ]) ' nin birleşik bir alt cebirini oluşturduğundan , Weierstrass teoremi yukarıdaki teoremin bir sonucudur.

Reel sayılar alan bu ile ikame edilmiş olabilir kompleksleri varsayarak koşuluyla, bir olan stabil ile konjugasyon .

Bu teorem, Stone-Weierstrass teoremi “kafes versiyonu” ndan (aşağıda) ve aşağıdaki iki lemadan çıkarılmıştır.

Lemma 1 - Herhangi bir gerçek a > 0 için, [- a , a ] üzerinde x ↦ | fonksiyonuna doğru düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi vardır. x |.

Lemma 2 - C ( X ) 'in herhangi bir kapalı alt cebiri bir kafestir.

İki lemmanın kanıtı

Lemma 1 . Tarafından ispatlarda , bu polinomlarla [-1, 1], mutlak değeri yaklaşık yeterlidir. Bunun için yazıyoruz | x | = $\sqrt 1 - (1 - x 2 )$ ve kullanan fonksiyonu Taylor serisi $h$ dönüs ümü altında, $\sqrt 1 - h$ olan normal yakınsak [0, 1] ile.
Lemma 2 . Bu alt cebir L olsun . İlişkiler sayesinde $\ max (g, h) = {\ frac {g + h} 2} + {\ frac {| gh |} 2} {\ text {et}} \ min (g, h) = {\ frac {g + h} 2} - {\ frac {| gh |} 2},$ $f$ ∈ L ise | $f$ | ∈ L . Alma $a = \ max _ {{x \ içinde X}} \ left | f (x) \ sağ |,$ Süreklilik ve kompaktlık ile var olan, Lemma 1 ile , mutlak değer fonksiyonuna doğru $[-$ $a$ $,$ $a$ $]$ üzerinde homojen olarak yakınsayan bir polinomlar dizisi $( P n )$ buluruz . Bu polinomların değerlerin her birinden çıkarılmasıyla demek olsa bile kendi sabit terimi, onlar daha sıfır 0 altındadır varsayabiliriz $P$ $, n$ $($ $f$ $)$ daha sonra gelen işlevler bir dizi oluşturan L ile ilgili üniform yakınsar, X doğru | $f$ |.

Teoremin "kafes versiyonuna" indirgenmesi

Let L Madde yapışma alt cebri bir A .

Çarpma, toplama ve bir skaler ile çarpım sürekliliği ile L bir alt cebirdir.
Lemma 2'ye göre, bu bir kafestir.
Stone-Weierstrass teoremi "kafes versiyonu" hipotezinin doğrulandığını gösterelim. X , X'in iki ayrı noktası $x$ ve $y$ ve iki gerçek sayı $a$ ve $b olsun$ . Nereden $p, q, r \ içinde A {\ text {öyle ki}} p (x) \ neq p (y), q (x) \ neq 0, r (y) \ neq 0,$ ilk biz inşa ederiz $g \ in A {\ text {öyle ki}} g (x) \ neq g (y), g (x) \ neq 0, g (y) \ neq 0,$ $u$ ve $v$ gerçeklikleri için $g = p + uq + vr'yi$ uygun şekilde seçilmiş olarak ayarlayarak . Daha sonra $α$ ve $β$ gerçek sayıları vardır, öyle ki fonksiyon $f = \ alpha g + \ beta g ^ {{2}}$ (ait olan A , bu nedenle için L ) tatmin $f ( x ) = a$ ve $f ( y ) = b$ .

Bu izler L olan yoğun C ( X ), bu nedenle, C (e eşit X, yani), bir C (yoğun olan X ).

Tüm fonksiyonlar

1885 yılında, Weierstrass'ın da bir analog teoremi göstermişti tamsayı fonksiyonları ( holomorfik fonksiyonları bütün kompleks düzleminde), burada Torsten Carleman (tr) üzerinde herhangi bir sürekli fonksiyon göstererek, 1927 genelleştirilmiş R olan muntazam bir sınırı (üzerindeki R ait) bir dizi tam sayı işlevi. Bir açıklama üzerine Marcel Brelot , Wilfred Kaplan (tr) Carleman en kanıtı bile şu sonucu üretilen gösterdi:

Carleman'ın teoremi - Devamlı bir fonksiyon olalım . Her Sürekli fonksiyonu için , bütün bir işlevi yoktur böyle: . ${\ displaystyle Q: \ mathbb {R} \ - \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle E: \ mathbb {R} \ sola] 0, + \ infty \ sağa [}$ $f$ ${\ displaystyle \ forall x \ içinde \ mathbb {R} \ dörtlü | f (x) -Q (x) | <E (x)}$

Başvurular

Stone-Weierstrass teoremi, aşağıdaki dört önermeyi kanıtlamamıza izin verir:

Eğer ön blok [tanımlı gerçek değerlere sahip sürekli bir fonksiyonudur bir , b ] x [ c , d ] ve ε gerçek kesinlikle pozitif ise, o zaman bir polinom fonksiyonu vardır p iki değişken, örneğin bunun için tüm x bölgesindeki [ a , b ] ve y in [ c , d ], | f ( x , y ) - p ( x , y ) | <ε.
Eğer X ve Y, iki kompakt boşluk ve eğer f : X, X, Y → ℝ sürekli bir fonksiyon tüm £ değerinin> 0, daha sonra, orada var n > 0 ve sürekli fonksiyonlar f 1 , f 2 , ..., f , n ile X ve g 1 , g 2 ,…, g n Y üzerinde öyle ki ║ f - i f ben g ben ║ <ε
Bir sınırlı ölçü [ile bir , b tüm anlarda sıfır sıfır (olup] bakınız an sorun ). Örneğin, ℝ'deki [0, 1] 'in integrallenebilir bir fonksiyonu $f$ şöyle ise $\ mathbb {N} içinde \ forall p \, ~ \ int _ {0} ^ {1} t ^ {p} f (t) ~ {\ mathrm d} t = 0,$ o zaman $f$ hemen hemen her yerde sıfırdır (dolayısıyla sürekli ise her yerde ).
Eğer X, a, kompakt ( dolayısıyla ayrılabilir ) metrik alan iki Banach cebri Cı ( X ) olan ayrılabilir . Bu seçim yapmak yeterli X bir yoğun sayılabilir parçası Y ile tanımlamak için, X bir eleman için, y ve Y , bir işlev f y ile f y ( x ) = D ( x , y ) ve için almak bir la Uniferous alt -ℝ cebir arasında C ( X bu tarafından üretilen) f y : yana bir yoğun olan Cı- ( X teoremi, uniferous bu aynı tarafından üretilen bir alt-ℚ-cebri göre) f y (de sayılabilir ve yoğun A ) 'dir C ( X ) olarak yoğun .
Eğer f [üzerinde sürekli bir fonksiyonudur a ; b ] daha sonra f bu segmentte bir ters türevi kabul eder. Bu ispat, bir integral kavramı içermeyen bir ilkelin varlığını sağlar.

Sürekli işlevler için bazı geçerli sonuçlar, Stone-Weierstrass teoremi kullanılarak süresiz olarak türevlenebilir işlevler durumuna indirgenebilir. Stokes teoremini kullanarak Brouwer'in sabit nokta teoreminin bir kanıtını bu şekilde elde ederiz .

Stone-Weierstrass teoremi, kafes versiyonu

Let X'in olmak bir kompakt uzay. Bir alt L , C (arasında X ) olarak adlandırılan bir kafes C (arasında X ) varsa, iki elemanları f , g ve L max fonksiyonları ( f , g ) ve dak ( f , g , aynı zamanda aittir) L . Stone-Weierstrass teoreminin kafes versiyonu şunu belirtir:

Teoremi - Eğer X , en az iki nokta ile kompakt bir alan ve, eğer L , C (bir kafes olan X ), örneğin, tüm farklı noktaları için, bu X ve Y ve X ve reals bir ve b , L , bir işlev içeren f tatmin f ( x ) = a ve f ( y ) = b , bu durumda L , C ( X ) ' de yoğundur .

Bu daha genel versiyon, aşağıdaki lemadan hemen sonra gelir.

Lemma 3 - L bir C ( X ) kafesi olsun . C ( X ) ' in bir $g$ fonksiyonunun L' nin yapışmasına ait olması için (gereklidir ve) tüm $x$ $,$ $y$ ∈ X ve tüm $> 0 için$ bir $f$ ∈ L fonksiyonunun olması yeterlidir, öyle ki

| f (x) -g (x) | <\ varepsilon {\ text {ve}} | f (y) -g (y) | <\ varepsilon.

Lemma Kanıtı 3

Let $ε> 0$ ve $g$ ∈ C ( X, bu koşulu karşılayan). Bir fonksiyon inşa edecek $f$ ∈ L yaklasik $g$ eşit $ε$ yakınında bulunmaktadır.

İlk olarak, sabit bir eleman $z \in x$ .
Let $x \in X$ . Hipoteze göre, bir $f z, x$ ∈ L fonksiyonu vardır $,$ öyle ki $f _ {{z, x}} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {ve}} f _ {{z, x}} (x) <g (x) + \ varepsilon.$ Sonra sorarız $V _ {{z, x}} = \ {y \ in X \ mid f _ {{z, x}} (y) <g (y) + \ varepsilon \}$ $f$ $z, x$ ve $g'nin$ sürekliliği ile $x'i$ içeren ve bir açık olan . Aile $($ $V$ $Z, X$ $)$ $X$ $\in$ $X,$ bir bir açık örtü arasında X ve kompakt ile sonlu kaplama ondan özü $($ $V$ $Z, X$ $)$ $X$ $\in$ $bir$ $z$ . O zaman sorabiliriz
$h_ {z} = \ min _ {{x \ in A_ {z}}} f _ {{z, x}}$ L kafesine ait olan . $H z$ fonksiyonunun tatmin edici olduğuna dikkat edin $h_ {z} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {ve}} \ forall y \ in X, h_ {z} (y) <g (y) + \ varepsilon.$
Şimdi $( h z ) z \in X$ ailesine bakıyoruz . Biz poz veriyoruz $U_ {z} = \ {y \ içinde X \ mid h_ {z} (y)> g (y) - \ varepsilon \}$ $V$ $z, x ile$ aynı nedenlerle $z$ içeren ve açık olan . Aile $($ $U$ $z$ $)$ $z$ $\in$ $X$ kapakları X ve kompakt biz sonlu undercoverage ayıklamak $($ $U$ $z$ $)$ $z$ $\in$ $B$ Biz seti $f = \ max _ {{z \ B içinde}} h_ {z}$ ait L .

$F$ fonksiyonu daha sonra doğrular

\ forall x \ in X, \ quad g (x) - \ varepsilon <f (x) <g (x) + \ varepsilon

beklenildiği gibi.

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde “ Taş - Weierstrass teoremi ” ( yazarların listesini görmek ) .

(de) Karl Weierstrass , " Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen " , Sitz'ber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin ,1885 : Ben, s. 633-639 ve II, s. 789-805 .
Böyle bir alan tanımı gereği ayrıdır .
Laurent Schwartz, Genel topoloji ve fonksiyonel analiz , Hermann,1970, s. 372-376
Bu gösteri nedeniyle etmektir Henri Lebesgue sadece geçmişti, matematik toplanmasına : İlk makalesinde, "Henri Lebesgue fonksiyonlarının yaklaşım üzerinde ," Bülten des bilimler mathiques , vol. 22,1898, s. 278-287 ( çevrimiçi okuyun ).
Torsten Carleman, Weierstrass Teoremi Üzerine , Arkiv. Direk. Astron. Fys. , uçuş. 20, n, o 4, 1927, p. 1-5 .
Carleman, Weierstrass gibi - 1885'te daha iyi bilinen - bir dizi tekdüze (çünkü normalde ) yakınsak işlevler ( Weierstrass 1885 , s. 637: " es yakınsama […] die Reihe […] unbedingt und gleichmässig ${\ displaystyle \ toplamı _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} f _ {\ nu} (x)}$ " terimleriyle formüle eder . ).
(inç) Wilfred Kaplan, " Tüm fonksiyonlara göre yaklaşım " , Michigan Math. J. , cilt. 3, n o 1,1955, s. 43-52 ( DOI 10.1307 / mmd / 1031710533 , çevrimiçi okuyun ).
Pinkus 2000 , s. 51-54.
Krş (tr) Charalambos D. Aliprantis ve Kim C. Sınır, Sonsuz Boyutlu Analiz: Bir Otostopçunun Kılavuzu , Springer ,2007, 3 e ed. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , çevrimiçi okuyun ) , s. 353Ayrıca, karşıtını ispat ki: herhangi bir kompakt için X ise, Cı- ( X ) ayrılabilir o zaman X bir metriklenebilir . Aslında, herhangi bir ayrılabilir normlu vektör uzayı E için , zayıf topoloji- * ile donatılmış E ' çiftinin birim topu ölçülebilirdir veya E = C ( X ) için, X doğal olarak bu topun bir alt uzayıyla tanımlanır .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Kaynakça

(en) Allan Pinkus, " Weierstrass ve yaklaşım teorisi " , J. Approx. Teori , cilt. 107, n o 1,2000, s. 1-66 ( DOI 10,1006 / jath.2000.3508 )