Medyan (geometri)

En genel anlamıyla, bir refüj , bir üçgende , karşı tarafın ortasında üçgenin üç köşesinden birini birleştiren bir çizgiyi belirtir .

Ek olarak, içerisinde düzlem geometri , bir ortalamaları ile dörtgen olan segmentler iki karşıt yanı orta noktalarını bağlayan.

Son olarak, uzayda geometride , bir tetrahedronun medyanları, tetrahedronun bir köşesinden ve diğer üçünün de izobary merkezinden geçen çizgilerdir .

Üçgen geometri

Bir üçgen de ABC , tepe medyan A hattı (bir AI ) bir segmentinin [orta noktasını temsil eder B , C ]. Ortanca terimi bazen ( AI ) doğrusundan ziyade segmenti [ A , I ] belirtir .

Her bir medyan ABC üçgenini eşit alanlara sahip iki üçgene ayırır : ABI üçgeninin alanı ACI üçgeninin alanına eşittir .

Gösteri

ABI ve ACI olmak üzere iki üçgeni düşünün .

H'ye ( BC ) doğrusu üzerindeki A noktasının dik izdüşümü diyoruz .

Bu yana bir segmenti [orta noktası BC ] Elimizdeki BI = CI . Bir üçgende, bir tarafın medyanı, o tarafın ortasından ve açısının tepesinden geçen çizgidir.

ABI üçgeninin alanı eşittir . ACI üçgeninin alanı eşittir . Olarak BI = CI , bu iki bölge birbirine eşittir. $\ frac {BI \ times AH} {2}$ ${\ displaystyle {\ frac {CI \ times AH} {2}}}$

Aynı şekilde B ve C'den elde edilen medyanların bu özelliği doğruladığını ispatlıyoruz .

Bunu göstermenin başka bir temel yolu , bu iki üçgenin ortak tarafın ( AI ) iki paralelkenarının yarısı olduğunu ve birbirlerinden çevrildiğini fark etmektir .

Medyan teoremi

Üçgen olarak ABC ise, I [orta noktası olan BC ] o bu eşitlik tanımının hemen sonucudur I olarak isobarycenter arasında B ve C (bkz ağırlık merkezinden ilgili eşyanın § “Azaltma” ). ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}} = 2 {\ overrightarrow {AI}}.}$

" İlk medyan teoremi " şunu belirtir:

{\ displaystyle AB ^ {2} + AC ^ {2} = {1 \ 2} BC ^ {2} + 2AI ^ {2}.}

Pergalı Apollonius ve Thales tarafından ifade edildi .

İzobarymerkez

Bir üçgenin üç medyanı eşzamanlıdır. Kesişme noktasıdır isobarycenter genellikle "ağırlık üçgen merkezi" olarak adlandırılan uç köşe. Karşılık gelen tepe noktasından her bir medyanın üçte ikisinde bulunur. Bu izobarycenter G vektör ilişkisini karşılar:

${\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}$

Gösteri

[ B, C ] 'nin orta noktası I vektör denklemi ile tanımlanır:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {BI}} + {\ overrightarrow {CI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Üç A , B ve C noktasının izobarycenter G , vektör denklemi ile tanımlanır:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Bu iki denklemden şunu çıkarıyoruz:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + 2 {\ overrightarrow {GI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Bu nedenle G , A ve I hizalanır, diğer bir deyişle G medyana ( AI ) aittir . Ayrıca diğer iki medyaya ait olduğunu da gösteriyoruz. Üç medyan bu nedenle çok eşzamanlıdır. (Bu özelliği , Ceva teoreminin özel bir durumu olarak da görebiliriz .)

Vektör bilgisi kullanmayan başka bir kanıt var.

Gösteri

Herhangi bir ABC üçgenini ve I , J ve K noktalarını, [ AB ], [ AC ] ve [ BC ] ' nin ilgili orta noktalarını ve G'yi medyanların ( CI ) ve ( AK ) kesişim noktası olarak kabul ediyoruz (bir saçma ile akıl olduğu G de tanımlandığı gibidir, iki ile iki kesişme üç medyan için).

Let D simetrik G ile ilgili olarak I . Öyleyse AGBD bir paralelkenardır, bu nedenle ( BD ) ( AG ) 'ye, yani ( KG )' ye paraleldir . Başka bir deyişle: G , [ BC ] ' nin orta noktasından geçen ( BD )' ye paralel olana aittir . Aynı zamanda ( CD ) 'ye ait olduğu için , Thales teoremine göre G'nin [ CD ]' nin orta noktası olduğunu anlıyoruz . D'nin tanımına göre , G noktası , C'den üçte ikisi [ CI ] üzerinde bulunur .

Özetle, ( CI ) ve ( AK ) kesişme noktası C'den üçte ikisi [ CI ] üzerindedir .

Aynı mantıkla, ( CI ) ve ( BJ ) 'nin kesişimi de bu noktada. Üçgenin üç medyanı bu nedenle çok eşzamanlıdır.

Burada kullandığımız özel durumun bir kanıtını, yani, dikkate alınan iki medyan arasındaki rollerin eşitliğini yeniden kuran orta nokta teoreminin tersini birleştirebiliriz: E , G'ye göre simetrik olsun. K . ( BD ) - daha önce gördüğümüz gibi - ( AG ) 'ye paralel olduğu gibi , ( BE ) doğrusu ( CG )' ye paraleldir , başka bir deyişle: dörtgen BDGE'nin zıt tarafları ikişer ikişer paraleldir. Bu nedenle, DG = BE = GC olacak şekilde bir paralelkenardır .

Özellikler

Bir köşeden ( örneğin A ) kaynaklanan bir üçgenin her bir medyanı, üçgenin iki bitişik kenarı ve A'dan diğer tarafa geçen paralel ile harmonik bir ışın oluşturur.

Diğer iki köşeden her bir medyanın ortasındaki bir tepe noktasını birleştiren iki çizgi, karşı tarafı üç eşit parçaya böler.

Bir üçgene ( Steiner elips ) yazılmış en büyük elips , üçgenin kenarlarına, medyanların ayaklarında teğettir.

Herhangi bir üçgen üç medyan uzunluklarının karelerinin toplamı , ve iki karelerinin toplamının dörtte üçüne eşit olduğunu: $benim}$ $m_ {B}$ ${\ displaystyle m_ {C}}$

{\ displaystyle m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2} = {\ frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ { 2} + c ^ {2})}

. Gösteri

Her medyanın uzunluğu için medyan teoremini üç kez yazarak

{\ displaystyle 2m_ {A} ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - {\ frac {1} {2}} a ^ {2}}

{\ displaystyle 2m_ {B} ^ {2} =}

…,

{\ displaystyle 2m_ {C} ^ {2} =}

…,

toplam verir . ${\ displaystyle 2 (m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2}) = 2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ { 2}) - {\ frac {1} {2}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}$

2'ye bölerek, formülü basitleştirerek buluruz.

Özellikle üçgenler medyan

Bir ikizkenar üçgende , üçgenin tabanına göre ortanca, üçgenin simetri eksenidir. Segment olarak kabul edildiğinde, diğer iki medyan eşit uzunluktadır. Tersine, eğer bir üçgende iki medyan aynı uzunluktaysa, üçgen ikizkenardır.

Bir de dik üçgenin hipotenüs sağ açı ölçer yarısının tepe noktasından medyan. Tersine, bir üçgende bir medyanın uzunluğu, karşılık gelen kenarın uzunluğunun yarısına eşitse, üçgen dik açılıdır.

Bir üçgende, B ve C'den gelen medyanlar, ancak ve ancak üçgenin kenarları arasında aşağıdaki ilişkiye sahipsek ortogonaldir: $b 2 + c 2 = 5 a 2$ .

Medyan AM = ise , diğer iki medyan ortogonaldir. ${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} a}$

Bir dörtgen içinde medyanlar

Dörtgenin medyanları , karşı tarafların orta noktalarını birleştiren segmentlerdir.

Medyanlar, Varignon paralelkenarının köşegenleridir , orta noktalarında kesişirler.
Birleşimi, barycenters da medyan orta noktası olduğunu haklı mümkün kılar isobarycenter dörtgenin köşe. Üçgen durumundan farklı olarak, köşelerin bu izobary merkezi, kütle merkezi ile çakışmaz .

Uzayda geometri

Uzayda geometride, biri bir tetrahedronun medyanlarını, tetrahedronun köşelerinden birini ve diğer üçünün izobar merkezini birleştiren çizgileri çağırır . Bu nedenle, bir tetrahedronda dört medyan vardır. Dört köşenin izobaryanteri olan bir noktada kesişirler (bakınız Commandino'nun teoremi (de) ). Aynısı üç bimedyen için de geçerlidir (iki zıt kenarın orta noktalarını birleştiren).

Tüm bu özellikler (üçgenin, dörtgen ve tetrahedronun) aşağıdaki teoremin özel durumlarıdır ve barisenterin birlikteliğinin bir sonucudur:

S , afin uzayın sonlu bir nokta kümesi olsun . Bu medyan çağrı S , iki boş olmayan parçaların isobarycenters birleştiren herhangi bir segment S Tamamlayıcı birbirine. Medyan tüm Yani S isobarycenter de kesişme S .

(İki parçanın nokta sayılarının oranına göre, izobaryantın dikkate alınan segment üzerindeki konumu bile belirtilebilir.)

Bir içinde düzenli tetrahedron (yüzleri eşkenar üçgen olduğu her), kenarortay yükseklikleri bulunmaktadır. Bu tetrahedronun ortoentrik (in) olduğunu söylüyoruz , çünkü yükseklikleri eşzamanlıdır (bu, bir üçgenin aksine, bir tetrahedronda genel olarak durum böyle değildir).

CH 4 metan molekülü , bu durumu göstermektedir: köşe hidrojen atomları ile işgal edilmiştir; karbon atomu, medyanların buluştuğu yerde bulunur.

Referanslar

Pierre-François Compagnon, Geometri Elemanları , Gauthier-Villars ,1868( çevrimiçi okuyun ) , s. 55-56, § 121.
Medyan teoremi kullanarak eşdeğerliğin ispatı için bu belgenin Alıştırması 4.42'ye bakınız .
(in) Maria Flavia Mammana, Biagio Micale ve Mario Pennisi, " Çokgenler ve Çokyüzlü Merkezler Üzerine " , Forum Geometricorum , cilt. 8,2008, s. 121-130 ( çevrimiçi okuyun ).
(in) Robert B. Kirchner, " Poligon için Medyan Teoremi " ile ilgili Wolfram Gösteriler Projesi .