Descartes yöntemi
Kartezyen yöntem olup belirsiz katsayıları denilen mümkün değil, aynı zamanda ve özellikle, ikinci denklemleri çözmek için yapar dördüncü derece .
Rene Descartes derece polinom bu çarpanlara kullanımları n şeklinde sahip N gerçek veya karmaşık kökleri (bakınız DAlembert-Gauss teoremi o zaman ana ilk matematikçi biridir).
-de(x-x1)(x-x2)⋯(x-xdeğil){\ displaystyle a (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) \ cdots (x-x_ {n})}x1,...,xdeğil{\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}
İkinci dereceden denklem
Çözmek için
-dex2+bx+vs=0{\ displaystyle balta ^ {2} + bx + c = 0},
katsayılar ve kökler arasındaki iki ilişkiden başlıyoruz :
x1+x2=-b-de{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = - {\ frac {b} {a}}} ;
x1x2=vs-de{\ displaystyle x_ {1} x_ {2} = {\ frac {c} {a}}}.
İlk ilişki eşdeğerdir
x1=-b2-de+pvex2=-b2-de-p{\ displaystyle x_ {1} = - {\ frac {b} {2a}} + p \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = - {\ frac {b} {2a}} - p },
burada p , ikinci ilişki tarafından belirlenen bir parametredir.
Bu numara çok yaygındır: A ve B sayılarının toplamını C'yi bildiğimizde, A'yı her zaman C'nin yarısının ve belirli bir p miktarının toplamı olarak yazabiliriz; B, eşitliği sağlamak için A + B = C, zorunlu olarak C eksi p'nin yarısı değerinde olacaktır.
Sonra varıyoruz
(-b2-de+p)(-b2-de-p)=vs-de{\ displaystyle \ sol (- {\ frac {b} {2a}} + p \ sağ) \ sol (- {\ frac {b} {2a}} - p \ sağ) = {\ frac {c} {a }}},
ve ondan ± p , sonra iki kökü çıkarırız.
4. derece denklemi
La Géométrie (1637) adlı çalışmasında Descartes, dördüncü dereceden denklemleri çözmek için bu yöntemi uygular :
İlk önce denklemi ( baskın katsayıya bölerek, ardından 3. derece terimini ortadan kaldırmak için değişkeni çevirerek ) formun bir denklemine indirgiyoruz.
z4+pz2+qz+r=0{\ displaystyle z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r = 0}.
Bu denklemin çift şeritli olmadığını, yani q ≠ 0 olduğunu varsayacağız .
Amaç, dört kökü bulmak için yalnızca ikinci dereceden iki denklemi çözmektir, daha sonra biri, polinomu , katsayıları belirlemek için gerekli olacak ikinci dereceden iki üniter polinomun bir ürününe ayırmaya çalışır. Bu nedenle bir öncelik belirledikX4+pX2+qX+r{\ displaystyle X ^ {4} + pX ^ {2} + qX + r}
(X2+-deX+b)(X2+-de′X+vs)=X4+pX2+qX+r{\ displaystyle (X ^ {2} + aX + b) (X ^ {2} + a'X + c) = X ^ {4} + pX ^ {2} + qX + r},
bu, katsayıları geliştirip tanımlayarak aşağıdakilere eşdeğerdir:
{-de′+-de=0vs+-de-de′+b=p-devs+b-de′=qbvs=r,{\ displaystyle {\ başlama {vakalar} a '+ a & = 0 & \\ c + aa' + b & = p \\ ac + ba '& = q \\ bc & = r, \ son {vakalar}} }ya da
{-de′=--devs+b=p+-de2vs-b=q/-debvs=r{\ displaystyle {\ başlar {vakalar} a '& = - a \\ c + b & = p + a ^ {2} \\ cb & = q / a \\ bc & = r \ son {vakalar}}}yani
{-de′=--devs=p+-de2+q/-de2b=p+-de2-q/-de2(p+-de2-q/-de)(p+-de2+q/-de)=4r.{\ displaystyle {\ begin {case} a '= - a \\ c = {\ frac {p + a ^ {2} + q / a} {2}} \\ b = {\ frac {p + a ^ {2} -q / a} {2}} \\ (p + a ^ {2} -q / a) (p + a ^ {2} + q / a) = 4r. \ End {vakalar}}}Dördüncü denklem yeniden yazılmıştır:
(p+-de2)2-q2-de2=4r{\ displaystyle (p + a ^ {2}) ^ {2} - {\ frac {q ^ {2}} {a ^ {2}}} = 4r},
veya:
{-de2=AT(AT+p)2AT-4rAT=q2.{\ displaystyle {\ {vakalar} a ^ {2} = A \\ (A + p) ^ {2} A-4rA = q ^ {2}. \ son {vakalar}}}Bir çözüm bulmak A 0 son denklemin - denilen çözme kübik (tr) - tarafından standart yöntemlerden biri , o zaman için seçim bir iki kare köklerinin biri A 0 ve biz anlamak bir ' , c ve b tarafından önceki denklemler.
Elde edilen iki denklem:
z2+-dez+p+-de2-q/-de2=0veyaz2--dez+p+-de2+q/-de2=0ile-de2=AT0{\ displaystyle z ^ {2} + az + {\ frac {p + a ^ {2} -q / a} {2}} = 0 \ quad {\ text {veya}} \ quad z ^ {2} - az + {\ frac {p + a ^ {2} + q / a} {2}} = 0 \ quad {\ text {with}} \ quad a ^ {2} = A_ {0}},
Ferrari'dekilerle aynıdır (1540):
z2+-dez+y0-q2-de=0veyaz2--dez+y0+q2-de=0ile-de2=2y0-p{\ displaystyle z ^ {2} + az + y_ {0} - {\ frac {q} {2a}} = 0 \ quad {\ text {veya}} \ quad z ^ {2} -az + y_ {0 } + {\ frac {q} {2a}} = 0 \ quad {\ text {with}} \ quad a ^ {2} = 2y_ {0} -p},
çünkü parametre değişikliği çözücü kübik Descartes'ı Ferrari'ninkine çevirir .
AT=2y-p{\ displaystyle A = 2y-p}4(y2-r)(2y-p)=q2{\ displaystyle 4 (y ^ {2} -r) (2y-p) = q ^ {2}}
Descartes'ın çözücüsü ve dört çözümün bu çözücünün kökünün bir fonksiyonu olarak ifadesi , Lagrange yöntemininkilerle aynıdır (1770).
Örnekler için, Wikiversity'deki derse ( aşağıdaki bağlantı ) ve alıştırmalarına bakın.
Not
-
Bu ön adım olmadan yöntemin genelleştirilmesi için bkz.Joseph -Alfred Serret , Cours d'Algebre Supérieur ,1854, 2 nci baskı. ( 1 st ed. 1849) da ( okuma çizgi ) , s. 242veya Wikiversity bölümünün sonu ( aşağıdaki bağlantı ).
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">