Riemann metriği

Olarak diferansiyel geometri , Rieman metrikleri temel kavramı olan Riemannsal geometrisi . İlk tanıtım 1854 yılında Bernhard Riemann tarafından yapılmıştır. Ancak onun konuyla ilgili makalesi 1868'de ölümünden sonra yayınlanmıştır. Aynı yıl Hermann von Helmholtz da benzer sonuçlar yayınlamıştır.

Riemann metrikleri, pozitif belirli ikinci dereceden formların türevlenebilir aileleridir .

Tanımlar

Bir vektör demeti E → M üzerinde , bir Riemann metriği g , her bir fiber E x üzerindeki bir g x nokta çarpımının verileridir ve bu, taban noktasının x değişen M ' nin ne kadar düzgün olduğuna bağlıdır . Daha resmi olarak, x↦g x simetrik çift doğrusal formların S 2 E → M vektör demetinin herhangi bir pozitif belirli noktasındaki bir kesittir . Verinin ( E, g ) bir Riemann demeti olduğunu söylüyoruz .

İki Riemannsal demetleri için ( E, G ) ve ( 'f, g üzerine) M , bir Rieman demeti morfizmanın f :( e, g ) → ( E, G' ) bir vektör demeti morfizmanın olan f E → E ' bu şekilde herhangi bir nokta için x ve M , doğrusal harita f x E x → F x isimli bir doğrusal izometri olduğunu:

\ forall v, w \ E_ {x}, \ dörtlü g '_ {x} (f_ {x} (v), f_ {x} (w)) = g_ {x} (v, w).

Eğer M diferansiyel manifoldu olduğunu, bir Riemann metrik M basitçe onun üzerinde Riemann metrik tanjant demeti . Veri ( M, g ) bir Riemann manifoldudur .

İki Riemann manifoldu ( M, g ) ve ( N, g ' ) verildiğinde , bir izometri F :( M, g ) → ( N, g' ) türevlenebilir bir haritadır F: M → N öyle ki tanjant haritası dF :( TM, g ) → ( TN, g ' ) Riemann demetlerinin bir morfizmidir. Bu son koşul yeniden yazılır: F * g '= g .

Örnekler

ℝ n üzerindeki herhangi bir skaler ürün , herhangi bir önemsiz vektör demeti üzerinde indüklenir M × ℝ n → M a Riemann metriği: $<,>$ $g_ {x} ((x, v), (x, w)) = <v, w>.$
Let g olduğu bir Rieman metrik e → M ve P bir manifold. Türevlenebilir bir fonksiyon için ψ: P → M , vektör demetinde geri çekilenindüklenmiş lif ψ * E → P benzersiz bir Riemann metriği ψ * g vardır, öyle ki doğal morfizm ψ * E → E Riemann demetlerinin bir izomorfizmidir.
Eğer gr bir Rieman ölçümdür e → M , o zaman kısıtlaması , g arasında herhangi bir vektör subbundle bir Rieman metrik tanımlar E .
Sınırı Minkowsky metrik C yaklaşımlar sonsuz bir demet ölçümdür. Zaman mutlak hale gelir ve uzay-zaman yukarıda fiberdir , Galileo'nun dönüşümünü buluruz . İki farklı zamanda metrik, zamanların farkıdır. Aynı zamanda, ile izomorfik bir uzay lifinde metrik, olağan skaler çarpımdır. ${{\ rm {d}}} s ^ {2} = c ^ {2} {{\ rm {d}}} t ^ {2} - {{\ rm {d}}} x ^ {2} - {{\ rm {d}}} y ^ {2} - {{\ rm {d}}} z ^ {2}$ $\ matematik bb {R} ^ {3}$

varlık

Herhangi bir parakompakt temel vektör demetinde bir Riemann metriği vardır.

gösteriler

Ünitenin bir bölümü aracılığıyla kanıt.

Yeterince küçük herhangi bir açık U için M , vektör demeti π -1 ( U ) → U önemsizleştirilebilir. Bununla birlikte, yukarıdan bakıldığında, herhangi bir önemsizleştirilebilir vektör demeti, bir Riemann metriğini kabul eder. Dolayısıyla, π -1 ( U ) üzerinde bir Riemann metriği g U vardır .

Kullanma paracompacity ait M , bir sayılabilir örtüşme (vardır U n ) n ∈ℕ ait M bir tamsayı için, örneğin, bu , n , bir Rieman metrik vardır g N vektör demeti π üzerinde -1 ( U N →) U , n . (ϕ n ) n ∈ℕ , ( U n ) n ∈ℕ'ye bağlı birimin bir bölümü olsun . Harita x ↦φ n ( x ) g n ( x ), bir global kesitidir S 2 π -1 ( u , n →) U , n çevresinde sıfır sınır ∂ U n . Bu uzatılır küresel bir bölüm G 2 e → M yanlış ile gösterilen, x ↦φ n ( x ) g n ( x ). ${\ görüntü stili 0}$

Sonra soruyoruz:

g = \ toplam _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ {n} g_ {n}: x \ mapsto \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ { n} (x) g_ {n} (x)

. Bu bir kesitidir S 2 e → M , ve de herhangi bir noktada olumlu tanımlanır ve M :, eğer bir destek içinde ait olduğu ve sıfır olmayan herhangi bir vektör için bir ,

x

x

\ fi _ {n}

v

Ör}

g (v, v) \ geq \ phi _ {n} (x) g_ {x} ^ {n} (v, v)> 0

Bir gömme yoluyla kanıt.

Demeti için bir vektör vardır F → M şekilde D ⊕ F → M trivializable olup. Bu düzeyde Kullanılan parakompaktlık ait M . Yani E ⊕ F → M üzerinde bir Riemann metriği vardır ve bu da E → M üzerinde bir Riemann metriğiyle sınırlıdır .

Görünüşte daha kısa olmasına rağmen, bu ikinci argüman, varlığının zorluğunu gizler . Bu varoluş aynı zamanda bir birlik bölümü argümanına da başvurur . $F$

Özellikle :

Herhangi bir parakompakt diferansiyel manifoldda bir Riemann metriği vardır.

Şuna da bakın: