Uygulama (matematik)

Gelen matematik , bir uygulama , bir bir ilişki iki arasındaki setleri (adlı ilk her bir elemanının olan başlangıç grubu veya kaynak ) bir ilgilidir tek ikinci elemanı (bitiş grubu veya hedef ). Terim, işlevle rekabet halindedir , ancak ikincisi bazen hedefi bir dizi sayı olan uygulamaları daha spesifik olarak belirtir ve bazen tam tersine, başlangıç kümesinin her bir öğesinin en fazla bağlı olduğu ilişkileri daha geniş bir şekilde kapsar. varış düzeneğinin bir elemanı.

Bir uygulama böyle doğdukları gün bir sınıftaki her öğrenciye ilişkilendiren biri ya da bir her kart ilişkilendiren bir uygulama olarak sayısal olmayan değerler, sahip olabilir 32 kartların kümesi onun ile renk .

Bu nedenle bir uygulama, küme teorisinden kaynaklanan , grafiği ile tanımlanan ve imge ve öncül kavramlarıyla ilişkilendirilen bir nesnedir . Varış kümesinin her bir öğesi için bir öncülün benzersizliğine veya varlığına bağlı olarak enjekte edici veya örtük olabilir . Bu iki özelliğe sahip bir harita , daha sonra karşılıklı bir haritayı kabul eden bir eşlemedir . Uygulamalar ayrıca başlangıç setlerinin bir alt kümesiyle oluşturulabilir veya sınırlandırılabilir.

Analiz bağlamının dışında, terim diğerleri arasında afin geometri , doğrusal cebir , topoloji ve dinamik sistemler teorisinde belirtilir . Bazen , özellikle kategori teorisinde operatörün veya morfizmin hatta ok ile değiştirilir .

İşlev ve uygulama

İki tür nesne arasında bir yazışma olarak işlev kavramı nispeten eskidir. Ancak sonunda terimi görünür XVII inci yazılarında yüzyılda Leibniz 1694, bir geometrik eğrinin, leibniz söyler, ve x-ekseni, bir eğrinin kavis y ya da yarıçapta ile ilişkili işlevi daha sonra bir M noktası, M noktasının bir fonksiyonudur . Aynı zamanda Newton , zaman olarak adlandırdığı bir değişkene bağlı olarak nicelikler için akıcı olduğundan bahseder ( zamanın oynadığı rolün başka bir miktar tarafından oynanabileceğini belirtirken). F biçimindeki gösterim hemen yerine oturmadı. Jean Bernoulli dönmesini 1698 önermektedir X bir fonksiyonu x , daha sonra fx 1718. Leibniz icat çeşitli fonksiyonlar üzerinde çalışmaya izin veren bir gösterim içinde: ve böylece iki işlev bağlıdır x . Euler , 1734'te fx gösterimini kullanır . Fonksiyonlar daha sonra her zaman sayısal değerlere sahiptir (gerçek veya karmaşık) ve ayrıca kısıtlayıcı özelliklere de sahiptir (cebirsel bir denkleme bağlı, Euler sürekliliği, tüm serilerde genişletilebilir ...). $\ overline x | \ underline 1$ $\ overline x | \ underline 2$

Aynı zamanda, geometride, dakik yazışmalar için uygulama kavramı geliştirilmiştir.

Fonksiyon (veya uygulama) kavramı önce birkaç sayısal değişkene, bir eğri olan bir değişkene ( Vito Volterra ) genelleştirilir , daha sonra 1904'te Maurice Fréchet ve Eliakim Hastings Moore , keyfi bir kümede argümanı alır ve 1909'da Fréchet, fonksiyonun değeri de.

Boyunca XX inci yüzyılın birçok bilimsel çalışmalarda, işlev ve uygulama koşulları eşanlamlıdır. Bazen belirli nüanslar ortaya çıkar: fonksiyon terimi, varış setinin dijital olduğu durumda ve bazen tanım seti başlangıç setine eşit olmadığında daha çok kullanılır.

1950'lerde Bourbaki okulu iki kavramı kesin olarak tanımlamaya çalıştı. Böylece , 1954 Unsurlarının II. Bölümünün I. Kitabının taslağında aşağıdaki tanımları okuyabiliriz :

İlişki R ( x , y ) tip işlevsel bir ilişki olarak adlandırılır (T x U) o biri aşağıdaki koşulu ise: ne x , en az bir adet vardır y gibi R ( x , y ). Herhangi bir işlevsel ilişkiye, işlev dediğimiz yeni bir nesne ekleriz;
Bu fonksiyon tanımlama alanı aramak f öğeleri kümesinin X ve E y, orada mevcut olduğu, R (x, y). Bu parçasıdır ben bir E . Biz o f tanımlanır söylemek üzerinde E ve içinde E .
Bunun yerine tanımlanan bir fonksiyonun konuşma üzerine E ve değerleri alarak F , biz bir uygulamanın söz E yılında F .

Son kelimelerde bile, eğer Elements 1970, işlev her zaman tanımlanır üzerine onun başlangıç noktası, bu ayrım Fransız orta öğretim birinci ve ikinci döngüsü aşağıdaki zaman içinde tekrarlanır Lichnerowicz Komisyonu , 1968 yeni programlarını uygulamak. Böylece 6 bakınız th ok diyagramları, aşağıdaki tanımlara ile gösterilen:

başlangıç kümesinin her bir öğesinden en fazla bir ok olacak şekilde ilişkiler, işlevler olarak adlandırılır;
başlangıç kümesinin her bir öğesinden tam olarak bir ok bırakacak şekilde ilişkilere eşleme denir.

Uygulamada, bir işlevin başlangıç kümesini, onu bir uygulamaya dönüştürmek için tanım kümesine indirgemenin yeterli olması, bu ayrımı çok az kullanmaktadır.

Bu ayrım, yeni programların benimsenmesiyle 1985 yılına kadar okul kitaplarından kaybolmaya başlamaz, ancak bu ayrımın mevcut olduğu yeni kitaplar hala vardır.

Tanım

Bir fonksiyonun matematiğindeki olağan tanım bu nedenle belirlenir ve esasen çift ve Kartezyen çarpımın tanımını varsayar . Bir uygulama ya da işlev üçlüsü olan f = ( E , F , G, bir birlikte) ikili bir ilişki G ⊂ E x F tüm bu hangi doğrular ve x ve E yoktur mevcut bir tek y arasında F , öyle ki bir çift ( X , Y ) G'ye aittir . Tam olarak bu durumda, G ⊂ E × F ikili ilişkisi olarak verilen bir f G haritasının iyi tanımlandığı söylenir . Üçlü setlerin sırası keyfidir ve ayrıca çalışmalara göre varyasyonlar buluyoruz. Karakteristik özellik iki maddeye ayrılabilir:

Varoluş . ∀ x ∈ E ∃ y ∈ F ( x , y ) ∈ G ; Benzersizlik . ∀ x ∈ E ∀ y ∈ F ∀ y ' ∈ F ([( x , y ) ∈ G ve ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

Başka bir deyişle, bu, G'nin her bir alt kümeyi { x } × F , varlığı birinci cümle tarafından verilen ve ikinci cümle tarafından verilen tek bir noktada kesiştiği anlamına gelir . F'nin elemanı olan bu nokta, f haritası tarafından x'in görüntüsü olarak adlandırılır ve f ( x ) olarak gösterilir . Açıkça bir unsuru görüntüsünü ayırt etmek E bir unsurdur, F görüntüsündenfarklı, f bir alt kümesidir, F , bazen bir ikinci durumda konuşmak görüntü kümesi içinde f .

Aynı zamanda, söz konusu olan ön ilişkilendirir X elemanı f ( x ), ya da f gönderir x ve f ( x ). Pasif formlar " x gönderilir f fazla f ( x ,"), " f ( x ilişkilidir) x ile f " de kullanılmaktadır.

Eğer x , unsuru E , tatmin f ( x ) = y , o ki X bir olduğu önceki bir y . Bir eleman y arasında F de tüm birden fazla önceki veya yok olabilir.

Bir fonksiyonu için E olarak F o x ortakları f ( x ), biz not:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & E & \ longrightarrow & F \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matris}}}

örneğin, karesini bir sayıyla ilişkilendiren gerçek değişkenin işlevi için:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & x ^ {2} \ end {matris}}}

Önceki örnekte, fonksiyonu tanımlamak için gerçek sayıların yapısını kullandık. Herhangi bir E kümesi için , her zaman , E'nin herhangi bir x öğesi ile x öğesinin kendisini ilişkilendiren özdeşliği veya özdeş eşlemeyi tanımlayabiliriz . Grafiği, x = y ilişkisiyle tanımlanan alt küme olan Kartezyen çarpımı E × E'nin köşegenidir .

Eğer F boş değil, o zaman herhangi bir unsur ilişkilendirebileceğiniz b ait F , sözde sabit haritası ait E yılında F hangi ortakları herhangi öğesiyle, E eleman b . Dolayısıyla grafiği E × { b } 'dir.

Bazen başka terminolojiler ve gösterimler kullanılır. Doğal tam sayıların (veya bir kısmının) N kümesinde tanımlanan işlevler genellikle diziler olarak adlandırılır , örneğin gerçek diziler , gerçeklerin R kümesindeki N'nin işlevleridir . Daha sonra indeks gösterimini kullanırız: ( u n ) n ∈ N , ( u n ) olarak kısaltılabilen yazı dizisini belirtir ve u n , görüntüyü bu n tamsayısı dizisi ile belirtir .

Bu gösterim, başka bir gösterim ve başka bir terminoloji ile F'de I fonksiyonları olan, verilen bir F kümesinin I elemanları tarafından indekslenen ailelere genişletilir .

İki set arasında uygulama seti

Tüm başvurular E yılında F genelde belirtilir F E . Onun kardinali sadece E ve F'nin ilgili kardinallerine bağlıdır : | F E | = | F | | E | .

Uygulama işlemleri

Kısıtlama ya $f$ için bir uygulama $E$ içinde $E$ ve izin $Belirleme A$ bir alt kümesi $E$ . Kısıtlama $f$ için $A$ ile gösterilen, bir uygulamadır $A$ için $F$ herhangi bir öğe bu $olduğu$ bir $A$ elemanı birleştiren $f$ $($ $a$ $)$ bir $F$ . Biz tarafından ifade Diğer bir deyişle, $G$ grafiği $f$ ,bir haritasıdır $A$ içinde $F$ Grafik, $G$ $\cap ($ $A$ $x$ $K$ $)$ . ${\ displaystyle f_ {| A}}$ ${\ displaystyle f_ {| A}}$
Corestriction : corestriction geliş kümesinin bir alt kümesi üzerinde benzer bir işlemdir, ama biz bir uygulama kalmasını istiyorsak, geliş setini kısıtlayamaz F tarafından f qu 'için bir alt F' arasında F imgesi kümesi içeren f . Daha sonra aynı başlangıç setine ve aynı grafiğe sahip ancak aynı bitiş setine sahip olmayan bir uygulama elde ederiz.
Uzatma : izin f iki olmak haritalar gelen E için F Grafik, G , ve 'f den E' için 'F Grafik, G' . Biz söylemek f ' bir uzantısıdır f zaman:E ⊂ E ' ve F ⊂ F' ve G ⊂ G ' .( Temel matematikteki özel bir durum için bkz. Tanım kümesi # Uzantı .)
Bileşim : iki uygulama bileşimi f arasındabölgesive g arasındaolarakyazılır. Bu bir uygulamadır içindeherhangi bir öğe için tanımlandığı, X veile: $E_2$ $E_ {3}$ $E_1$ $E_2$ $f \ circ g$ $E_1$ $E_ {3}$ $E_1$ $f \ circ g (x) = f (g (x)).$ Grafiği halinde f olduğu ve grafik g olan , grafiği geçerli: $G_f$ $İyi oyun}$ $f \ circ g$ $G_ {f \ circ g} = \ {(x, z) \ E_1 \ times E_3 \ mid \ var y \ içinde E_2, (x, y) \ G_g \ wedge (y, z) \ içinde G_f \} .$

Enjeksiyonluk ve örtünme

Bir harita f den E için F olduğu söylenir birebir ya da yine bir enjeksiyon zaman gelişi kümesindeki herhangi bir elemanı f tarafından sahip başlangıç kümesindeki bir önceki en f yazılabilir:

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ in E \ left [f (x_ {1}) = f (x_ {2}) \ Rightarrow x_ {1} = x_ {2} \ sağ]

. veya Contraposée ile :

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ in E \ left [x_ {1} \ neq x_ {2} \ Rightarrow f (x_ {1}) \ neq f (x_ {2}) \ sağ]

. İki enjeksiyonun bileşiği bir enjeksiyondur ve tersine, eğer belirli bir işlev için , o bir enjeksiyonsa, o zaman bir enjeksiyondur.

g

g

f

f

Bir eşleme arasında içinde söylenen olmak örten , veya yeniden bir olduğu örten varış kümesinin herhangi bir öğe ile görüntü ise, f yazılır ilk grubu, en az bir elemanın: $f$ $E$ $F$ $\ forall y \ F'de, \ E'de x \ var, \ f (x) = y.$ Başka bir deyişle, görüntü kümesi tüm hedef kümesiyse , kapsayıcıdır . İki surjeksiyonun bileşiği bir surjeksiyondur ve tersine, eğer bir surjeksiyon ise, o zaman bir surjeksiyondur. $f$
$g \ circ f$ $g$
Bir harita f olduğu söylenir bijective veya yine bir olan bijection bu haritanın injektif ve örten hem olduğunda varış kendi kümesinin her eleman bir öncülü ve sadece bir tarafından sahip olduğunu söylemek olduğunu, f , l 'başlangıç seti yazılan: ${\ displaystyle \ forall y \ F'de, \ var! x \ E'de, \ f (x) = y.}$ İki önyargının bileşimi bir eşlemedir, ancak tersine, iki haritanın bileşimi bir eşleştirme ise, yalnızca birinin bir enjeksiyon, diğerinin de bir sürtüşme olduğu sonucuna varabiliriz.

Karşılıklı başvuru

Bir harita Eğer f : E → F bijective olduğunu her elemana F tarafından benzersiz öncülü ilişkilidir f içinde E f örten ve f birebirdir beri benzersiz olan beri var. Bu nedenle bu, f'nin karşılıklı haritası olarak adlandırdığımız ve bu durumda aynı zamanda f'nin karşılıklı eşleşmesi olarak da adlandırılan bir eşleştirme olan bir haritayı tanımlar .

Bunu not ediyoruz . Grafiği f'nin grafiğinin simetrikidir , yani G , f'nin grafiğiyse, grafiği {( y , x ) | ( x , y ) ∈ G }. E = F = R olması durumunda , gerçek sayılar kümesi, grafiği, R ² düzleminde , birinci bisektöre göre f'nin simetrikidir . Böylece, x ile ilişkilendirilen x ² bir eşleştirme, karşılığının karekök olduğu ve birinin grafiği, y = x denkleminin doğrusuna göre simetri ile diğerinden çıkarıldığı pozitif gerçeklerin fonksiyonu . $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$

Sayısal bir fonksiyon, örneğin durumda, bir elemanın tersinin söz zaman a ait F , bu bir yazılabilir bir -1 . Bu durumda , elemanın tersini belirler . Bu, ters 1 / f fonksiyonudur (eğer varsa). Gösterim , f'nin (eğer varsa) karşılıklı olarak bağlanması için ayrılmıştır . $f (x) ^ {{- 1}}$ $f (x)$ $f ^ {- 1}$

Uygulama f : E → F , birebirdir ancak ve ancak orada varsa bir örten g : F → E karşılıklı sol f yani, g ∘ f kimliği olan E . Tüm ön birebirdir, bunun için almak yeterli g arasında bir görüntü öğesi için bir uygulama f ile öncülünü ilişkilendiren f ve diğer elemanlar ile isteğe bağlı olarak tayin edilir. F aynı zamanda önyargılı olmadığı sürece bu işlev benzersiz değildir . Sohbet, doğrudan g'nin bir harita olduğu gerçeğini izler .
Uygulama f : E → F bir enjeksiyon vardır ancak ve ancak üzerine olduğunu g : F → E karşılıklı hak f demek ki, f ∘ g is kimliğini F . Varsayalım f görüntü kümesi halinde, surjective f sonsuzdur, tüm genelliği bu enjeksiyon kolları varlığı Seçim aksiyomu (herhangi bir örten için belirtilen bu seçim belitinin bile eşdeğerdir). Uygulanması g aslında bir elementin bir geçmiş bütün setlerinde seçim fonksiyonudur F , her element için iyi bir geçmişi seçer F . Bu işlev, f'nin önyargılı olması dışında benzersiz değildir (öncülün benzersiz olduğu, seçim aksiyomunun gerekli olmadığı durum). Bir fonksiyon varlığı g karşılıklı sağ f direkt olarak bir öncülünü içerir f her bir eleman için F .

Kanonik ayrıştırma

Biz diyoruz ikili ilişkiyi canonically ilişkili harita ile f tanımlanan yazışma ℛ E ölçütü:

x , y ile ilişkilidir ancak ve ancak x ve y f tarafından ortak bir imgeye sahipse .

Bu ilişki her zaman simetrik ve geçişlidir , çünkü görüntünün benzersizliği ve aynı zamanda varlığından dolayı refleksiftir, bu nedenle bir eşdeğerlik ilişkisidir .

Daha sonra bölüm kümesi tanımlayabilir E / ℛ ve karşılık gelen standart örten s , harita ile ilgili f . Herhangi bir elemanı ile bu örten ilişkilendirir x ve E başkası ℛ ile denklik, sınıf f -1 ({ f ( x )}), öncülleri grubu f ( x ).

Daha sonra yazışma düşünün i arasında D de / ℛ F ile tanımlanır:

Bir göre olan y , ancak ve ancak bir öncülleri setidir y ile f .

Bu yazışma bir enjeksiyondur, uygulama f ile bağlantılı kanonik enjeksiyondur . F = i ∘ s olduğunu kolayca gösterebiliriz .

Özet: Herhangi bir uygulama benzersiz bir şekilde aşırı enjeksiyon ve enjeksiyon olarak ayrılabilir.

Bu ayrıştırma, uygulamanın kanonik ayrıştırmasıdır . Bu ayrıştırmada:

Surjeksiyon s , ancak ve ancak f bir enjeksiyon ise, yani f −1 ∘ f = id E ise ;
Enjeksiyon i , ancak ve ancak f bir sürjeksiyon ise, f ∘ f -1 = id F olduğunu söylemektir .

Küme teorisi

Fonksiyon kavramı, Zermelo veya Zermelo-Fraenkel kümelerinin teorilerinde ilkel değildir ve ilkel olmayan çift ve Kartezyen çarpım kavramları sayesinde tanımlanır . Nosyonu (olmadan Zermelo teorisine gelişebilir sonsuz aksiyomuna ile) Genişletilebilirlik aksiyomunun , çiftinin aksiyomu , birleşme beliti , setin aksiyomu. Parçaları ve anlama belitlerinin şeması . Bir seferinde, seçim aksiyomu olan bir üstel işlevin tam tersinin varlığını tüm genellikle göstermemiz gerekiyordu .

Küme teorisinde genellikle bir fonksiyonun daha önce grafiği olarak adlandırılan şeyle tanımlandığı görülür . Diğer bir deyişle, bir işlev, görüntünün varoluş özelliklerini ve benzersizliğini doğrulayan bir çiftler kümesi olarak tanımlanır; bu, başlangıç kümelerini ve gelişi gerçekten oyuna getirmediklerini kolayca doğrulayabiliriz: bu tanımla G , bir bir dizi çift anlamında, görüntünün benzersizliği ile bir ilişki olduğunda işlev, daha doğrusu:

∀ x ∀ y ∀ y ' ([( x , y ) ∈ G ve ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

Fonksiyonunun başlangıç grubu ilk çıkıntıların dizi G olarak tanımlanır, kavrama sadece ikinci çıkıntıların kümesidir fonksiyonunun görüntü gibi, G (bkz Kartezyen ürün makale bağlı olarak bilgi için çiftlerin temsili). Bir iç varış grubu, yani, artık yoktur f bir fonksiyonudur E içine F bir özelliği haline f : E ilk çıkıntıların dizi f ve l 'genel resim, her ikinci çıkıntıların dahildir F . Enjeksiyon, sadece fonksiyonun grafiğine bağlı olan bir özelliktir. Öte yandan, bu bağlamda, örtenlik veya birebirlik bir özelliği haline f (ve seçilen varış setinin f ait örten E yılında F ).

Paragrafın başında listelenen iki özelliği karşılayan sınıf çiftleri olan, ancak G'nin tamamı yerine bir sınıf olan işlevsel sınıflarla ilgilenmek gerekebilir . Yedek aksiyomu düzeni setleri Zermelo teorisini tamamlar Zermelo-Fraenkel arasında olduğunu bildiren vermek için görüntü (bir fonksiyonel sınıfı tarafından bir dizi bir dizi ve bu nedenle bir dizi fonksiyonel sınıfın kısıtlama olan bir fonksiyondur bir dizi çift).

Notlar ve referanslar

Lucien Chambadal, Modern matematik sözlüğü, "işlev" makalesi, Larousse, 1969.
Jacques Bouveresse , Jean Itard ve Émile Sallé, Matematik tarihi [ baskıların detayı ], s. 33 .
“İşlev (kavramı)” , Matematik sözlüğünde - cebir, analiz, geometri , Paris, Encyclopædia Universalis ve Albin Michel,1997, s. 359-360.
(de) Bartel Eckmann L. Van der Waerden Moderne Algebra, s.6 on Google Books , Volume I, 1930
Rudin için, ( Gerçek ve karmaşık analiz , Rudin, Masson, 1978, s. 7), işlev, uygulama ve dönüşüm terimleri eşanlamlıdır
Roger Godement için ( Matematiksel Analiz I , Springer, 1998, s.21), kayıtsız bir şekilde "f, X üzerinde Y'deki değerlerle tanımlanmış bir fonksiyon olsun" veya "f, Y'deki X'in bir uygulaması olsun" diyebiliriz.
İsimlendirme Boubaki haber odaları , derneğin arşivlerinde, Arşiv 53
Kitap I'in Taslağı, Element Arşivi'nin II. Bölümü 53 , s. 25
Bölüm II , s. 26
Kitap I'in Taslağı, Element Arşivi'nin II. Bölümü 53 , s. 26
Bourbaki, Matematiğin Elemanları: Küme teorisi , Hermann, 1970, yeniden basım 2006, EII13 - Tanım 9
Cossart ve Théron Koleksiyonu, Matematik , 6. sınıf , Bordas, 1969, s. 28
Sandie Ferrigno, Aurélie Muller-Gueudin, Didier Marx, Frédéric Bertrand, Myriam Maumy-Bertrand, Mühendislik bilimleri için Matematik, s. 18 üzerinde Google Kitaplar , Dunod 2013
Alain Droguet, Cebir ve analiz 1. yıl - ekonomik seçenek, s. 6 ve 12 üzerinde Google Kitaplar , Breal 2003
Catherine Berdonneau, Françoise Cerquetti-Aberkane, Anaokulunda Okulda Matematik Öğretimi, s. 45 üzerinde Google Kitaplar Hachette eğitim 2007
Küme teorisine giriş [ baskıların ayrıntıları ], s. 40.
Jean-Louis Krivine , Theory of sets [ edisyonların ayrıntıları ], s. 13 (fonksiyonel ilişki) ve s. 17 (işlev veya uygulama) veya Paul Halmos , Küme teorisine giriş [ sürümlerin ayrıntıları ], s. 40 (ed. 1970).

İlgili Makaleler