Harmonik sayı
Gelen matematik , n- inci harmonik sayısı toplamı tersleri arasında n ilk sıfır olmayan doğal tam sayı :
Hdeğil=1+12+13+⋯+1değil=∑k=1değil1k{\ displaystyle H_ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} = \ toplam _ { k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}}.
Bu rasyonel sayı da eşittir , n ve katı ters harmonik ortalama olarak, hem de bu tamsayılar n- inci kısmi toplamı harmonik serisi .
Harmonik sayılar eski zamanlarda incelenmiştir ve sayı teorisinin çeşitli alanlarında önemlidir . Birçok kombinatoryal analiz probleminde ortaya çıkarlar .
İlk harmonik sayılar tablosu
Değer n
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
---|
Değeri H n
|
0 |
1
|
32{\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}
|
116{\ displaystyle {\ frac {11} {6}}}
|
2512{\ displaystyle {\ frac {25} {12}}}
|
13760{\ displaystyle {\ frac {137} {60}}}
|
4920{\ displaystyle {\ frac {49} {20}}}
|
363140{\ displaystyle {\ frac {363} {140}}}
|
761280{\ displaystyle {\ frac {761} {280}}}
|
71292520{\ displaystyle {\ frac {7129} {2520}}}
|
73812520{\ displaystyle {\ frac {7381} {2520}}}
|
---|
Yaklaşık H n değeri
|
0
|
1
|
1.5
|
1.8
|
2.1
|
2.3
|
2.5
|
2.6
|
2.7
|
2.8
|
2.9
|
---|
Numerators ve paydası bu gerekçesi bu , meydana gelen , n = 1 , seri tamsayılar A001008 ve A002805 arasında OEIS .
Alt-dizi arasında asal numerators olan 3 , 11 , 137 , 761 , 7129 , ... ( A067657 ) ve karşılık gelen dizinler 2, 3, 5, 8, 9, ... (vardır A056903 ).
Asimptotik davranış
Dizisi harmonikleri artar yavaş yavaş eklenmiştir.
Harmonik seriler ıraksar ; Bunu toplamıdır ∞ + . Aşağıdaki asimptotik geliştirmeye sahibiz :
Hdeğil=lndeğil+γ+12değil-112değil2+Ö(1değil4),{\ displaystyle H_ {n} = \ ln n + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - {\ frac {1} {12n ^ {2}}} + O \ sol ({\ frac {1 } {n ^ {4}}} \ sağ),}burada bir Euler-Mascheroni sabiti ; daha genel olarak, Euler-Maclaurin formülü şunları verir:
γ{\ displaystyle \ gamma}
Hdeğil=lndeğil+γ+12değil-∑k=1pB2k2kdeğil2k+Ö(1değil2p+2),{\ displaystyle H_ {n} = \ ln n + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {B_ {2k}} {2kn ^ {2k}}} + O \ sol ({\ frac {1} {n ^ {2p + 2}}} \ sağ),}nerede olduğunu Bernoulli sayıları .
B2k{\ displaystyle B_ {2k}}
Özellikleri
Hdeğil=1değil![değil+12]{\ displaystyle H_ {n} = {\ frac {1} {n!}} \ sol [{\ başlar {matris} n + 1 \\ 2 \ end {matris}} \ sağ]}, birinci türden bir
Stirling sayısı nerede .
[değil+12]{\ displaystyle \ sol [{\ başlar {matris} n + 1 \\ 2 \ uç {matris}} \ sağ]}
Hdeğil=∑k=1değil(değilk)(-1)k-1k{\ displaystyle H_ {n} = \ toplam _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}}}.
H n'nin paydası ( n ≥ 1 için ) böyledir ( H 0 = 0 hariç ), tek tam sayı harmonik numarası H 1 = 1'dir . Göre Kürschák teoremine , H 1 birbirini takip eden doğal tamsayı tersleri da yalnızca tamsayı toplamıdır.
2⌊günlük2değil⌋{\ displaystyle 2 ^ {\ lfloor \ log _ {2} n \ rfloor}}
Bertrand önerme sadece diğer harmonik sayılar gösterir ondalık olarak , H 2 = 1.5 ve H 6 = 2.45 .
Herhangi biri için asal sayı p ≥ 5 , arasında pay H p -1 olan bölünebilir ile p 2 : “bölümüne bakın Wolstenholme teoremini ”.
Euler aşağıdaki integral gösterimi verdi:
Hdeğil=∫011-xdeğil1-xdx{\ displaystyle H_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1-x ^ {n}} {1-x}} \, \ mathrm {d} x},
kimlik kullanarak
1-xdeğil1-x=1+x+⋯+xdeğil-1{\ displaystyle {\ frac {1-x ^ {n}} {1-x}} = 1 + x + \ cdots + x ^ {n-1}},
burada bir sağlar meromorfik uzantı . Aslında,
z↦Hz{\ displaystyle z \ mapsto H_ {z}}
Hz=∑k≥1(1k-1k+z)=ψ(z+1)+γ{\ displaystyle H_ {z} = \ toplamı _ {k \ geq 1} \ sol ({\ frac {1} {k}} - {\ frac {1} {k + z}} \ sağ) = \ psi ( z + 1) + \ gamma},
burada ψ olan digamma fonksiyonu .
Genelleme
Bu tanımlar , n inci genelleştirilmiş harmonik sayısı H , n, r, üs r olarak N inci kısmi toplamı bir dizi Riemann üs r :
Hdeğil,r=∑k=1değil1kr{\ displaystyle H_ {n, r} = \ toplam _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {r}}}}.
Herhangi biri için , gerçek r > 1 , değeri için bu dizi yakınsak r arasında Riemann zeta fonksiyonu :
∀r>1limdeğil→∞Hdeğil,r=ζ(r){\ displaystyle \ forall r> 1 \ quad \ lim _ {n \ ila \ infty} H_ {n, r} = \ zeta (r)}.
H gibi başka gösterimler de mevcuttur( r )
n, Hiper harmonik sayılarla (inç) kafa karıştırıcı .
Üslü 2 olan genelleştirilmiş harmonik sayıların paylarına Wolstenholme sayıları denir .
Kullanım örnekleri
Harmonik sayılar doğal görünen vinyet kolektörün sorununun içinde olasılık teorisi .
Notlar ve referanslar
-
(inç) Ronald L. Graham , Donald E. Knuth ve Oren Patashnik , Beton Matematik ,1994, 2 nci baskı. ( 1 st ed. 1989) ( çevrimiçi okuma ) , s. 273.
-
Boş meblağ .
-
Örneğin Wikiversity'deki bu düzeltilmiş alıştırmaya bakın .
-
Graham, Knuth ve Patashnik 1994 , s. 275 ve eski. 21 p. 311.
-
(in) Julian Havil (de) , Gamma: Exploring Euler's Constant , Princeton University Press ,2009( 1 st ed. 2003), 304 , s. ( ISBN 978-0-691-14133-6 , çevrimiçi okuyun ) , s. 24-25.
-
(in) C. Edward Sandifer , Euler Did It nasıl , MAA ,2007, 237 p. ( ISBN 978-0-88385-563-8 , çevrimiçi okuyun ) , s. 206.
-
(in) Eric W. Weisstein , " Harmonik Numarası " ile MathWorld .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">