Narsistik sayı

Bir narsistik numarası (ya da Armstrong sayısı birinci tür ya da - İngilizce - PPDI için geçmiş zaman basamaklı değişmez ) a, doğal sayı , n güçler toplamına eşittir sıfır değildir, p figürleri inci on baz , p , n'nin basamak sayısını gösterir :

{\ displaystyle n = \ toplam _ {k = 0} ^ {p-1} x_ {k} 10 ^ {k} = \ toplam _ {k = 0} ^ {p-1} (x_ {k}) ^ {p} \ quad {\ text {with}} \ quad x_ {k} \ in \ {0, \ ldots, 9 \} \ quad {\ text {ve}} \ quad x_ {p-1} \ neq 0 .}

Örnekler

1'den 9'a kadar olan tüm tam sayılar narsisttir.
Narsisistik sayı 88 dizisinin aşağıdaki on koşulları (devam A005188 arasında OEIS 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54 748, 92 727 ve 93 084) vardır.
- $153 = 1 ^ {3} + 5 ^ {3} + 3 ^ {3}$ .
- ${\ displaystyle 93084 = 9 ^ {5} + 3 ^ {5} + 0 ^ {5} + 8 ^ {5} + 4 ^ {5}}$ .
En büyüğü 115.132.219.018.764.000.000.000.000.000.000.000.000.000'dir.

Armstrong sayılarının çeşitleri

Dördüncü türden bir Armstrong sayısı veya değişmez mükemmel basamak (PDI), basamaklarının q- üslerinin toplamına eşit olan bir n tamsayısıdır , ancak bu kez herhangi bir q > 0 tamsayısı için, sayıya eşit olması gerekmez. s basamak n (örneğin, bir n- bu nedenle genel olarak olduğu değil narsistik sayısı): $n = \ toplam _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} x_ {k} 10 ^ {k} = \ toplam _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} (x_ {k}) ^ {q} \ quad {\ text {with}} \ quad x_ {k} \ in \ {0, \ ldots, 9 \},$ belirli bir q > 0 için.Sezgisel olarak, p , n'deki tam basamak sayısı ise ve artarsa, q'nun artma eğiliminde olduğu açıktır .

Gösteri

Gibi , . Öte yandan ,. Nereden . $x _ {{p-1}} \ neq 0$ $n \ geq 10 ^ {{p-1}}$ $n = \ toplam _ {{k = 0}} ^ {{p-1}} (x_ {k}) ^ {q} \ leq 9 ^ {q} p$ $9 ^ {q} p \ geq 10 ^ {{p-1}}$

Karşılaştırmalı büyüme teoremine göre, belirli bir p için q'nun zorunlu olarak verilen bir sıranın üzerinde olduğunu ve bunun p ile arttığını izler .

Not: Bu, q'nun varlığını kanıtlamaz .

Armstrong'un üçüncü tür sayıları (PDDI) için Münchhausen'in numarası makalesine bakın .
İkinci türden bir Armstrong numarası n'yi doğrular:

{\ displaystyle n = \ toplam _ {k = 0} ^ {p-1} x_ {k} 10 ^ {k} = \ toplam _ {k = 0} ^ {p-1} (x_ {k}) ^ {k + 1} \ quad {\ text {with}} \ quad x_ {k} \ in \ {0, \ ldots, 9 \}}

Armstrong'un sayılarını ondan farklı bir tabanda da ele alabiliriz .

Referanslar

(in) Eric W. Weisstein , " Narsistik Numarası " ile MathWorld
(içinde) Dört tanım Armstrong