İntegral operatör

Gelen matematik , bir integral ya da çekirdek operatör a, lineer bir operatör bir ile tanımlanan parametre integralini bir kısmı üzerinde fonksiyonel alanlar . Bu nedenle, böyle bir operatör tarafından bir işlevin görüntüsü , etki alanı çok farklı olabilen başka bir işlevdir .

Bu tür operatörler , çözülmesi daha kolay bir önsel versiyon elde etmek için özellikle bir denklemi dönüştürmeyi mümkün kılan fonksiyonel analizde temel nesneleri oluştururlar . İlk örnekler evrişim ve Fourier veya Laplace dönüşümleridir , bu nedenle ad da integral dönüşümle karşılaştı .

İfade

Bir integral operatörünün genel formu aşağıdaki ifade ile verilmiştir:

S (f) (t) = \ int _ {{A}} {f (x) K (x, t) \, {\ mathrm {d}} \ mu (x)}

burada $K$ fonksiyonuna operatör çekirdeği denir .

Birçok yaygın örnekte, $A$ entegrasyonunun alanı gerçek bir aralıktır ve ilişkili ölçü Lebesgue'inkidir .

Özel çekirdek şekilleri

Bir çekirdek $K'nin$ ayrılabilir olduğu söylenir veya dejenere şeklinde yazılabilir

{\ displaystyle K (x, t) = \ toplam _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} (x) b_ {i} (t)}

$( a i )$ bağımsız fonksiyonları ile .

Karmaşık değerli bir çekirdek $K'nin$ , tatmin ederse simetrik veya Hermitesel olduğu söylenir.

{\ displaystyle \ forall x, t, \ K (x, t) = {\ overline {K (t, x)}}.}

Bir çekirdek $K$ , eğer biçimdeyse " evrişim çekirdeği " olarak adlandırılır.

{\ displaystyle K (x, t) = k (xt).}

Bir $K$ çekirdeğinin düzenli olduğu söylenir:

{\ displaystyle \ iint K (x, t) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} t <+ \ infty.}

Bir çekirdek $K$ , sınırlı bir $h$ işlevi için biçimine sahipse ,

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {| xt | ^ {m}}}, \ m \ içinde] 0; 1 [,}

daha sonra integral denklemin "zayıf bir şekilde tekil" olduğu söylenir. İçin sabit $h$ , biz Abel integral denklemi bulabilirsiniz.

Bir çekirdek $K$ , biçimindeyse "Cauchy çekirdeği" olarak adlandırılır

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {xt}}.}

Cauchy'nin temel değerinin tanımında görünür .

kullanım

İntegral operatörler, klasik olarak integral denklemlere müdahale ettiği difüzyon olgusuna müdahale eder . Çözümlerin varlığı ve benzersizliği, Fredholm alternatifi ile çözümler bulur , ikincisi uygulanabilir olduğunda, yani operatör kompakt olduğunda .

Pratikte çok sayıda durumda, operatör spektral analizinin kapsamlı bir çalışması halihazırda mevcuttur.

Böyle bir operatör , aynı zamanda bir integral operatör olan bir tersi kabul eder . İkincisinin çekirdeği daha sonra ters çekirdek olarak adlandırılır.

Ayrıca görün

[PDF] Gilles Leborgne, "İntegral çekirdekler, üreyen çekirdekli Hilbert uzayı: giriş" , ISIMA ders notları,Mart 9, 2016 (danışıldı Temmuz 25, 2016)