Tüm kısım ve kesirli kısım
Gelen matematik ve bilgisayar biliminin , varsayılan tam sayı parçası , ya da daha düşük bir tamsayı , genel olarak olarak kısaltılır bütün bütün kısım a, reel sayı benzersizdir nispi tamsayıdır (pozitif, negatif veya sıfır) gibi
x{\ displaystyle x} değil{\ displaystyle n}
değil⩽x<değil+1{\ displaystyle n \ leqslant x <n + 1}.
Bu da göstermektedir varlığını ve benzersizliğini ile analiz-sentez : olan büyük tam sayı daha az veya eşit (tamsayı kısmı eşdeğer tanımı olarak kabul edilebilir , aşağıya bakınız), varlığı ile garanti edilmektedir Arşimet özelliği .
değil{\ displaystyle n}x{\ displaystyle x}x{\ displaystyle x}
Durumda rasyonel olduğunu , tamsayı kısmı başkası değildir Öklit bölüm içinde par .
x{\ displaystyle x}-deb,-de∈Z,b∈DEĞİL∗{\ displaystyle {a \ over b}, a \ in \ mathbb {Z}, b \ in \ mathbb {N ^ {*}}}x{\ displaystyle x}-de{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
Bir sayı ile tam sayı kısmı arasındaki farka kesirli kısım veya ondalık kısım denir .
x{\ displaystyle x}
Notasyonlar
Tam sayı (varsayılan) kısmı geleneksel olarak not edilir . Tam sayı işlevi genellikle ile gösterilir ya da .
x{\ displaystyle x}⌊x⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}E{\ displaystyle \ mathrm {E}}E_{\ displaystyle \ mathrm {\ underline {E}}}
Ayrıca gösterimi de kullanıyoruz, ancak parantezlerle karıştırılabileceği için Anglo-Sakson gösterimi ile değiştirilme eğilimindedir . Ek olarak, çerçeve tarafından tanımlanan tüm alt kısım (İngilizce zeminde , "zemin" olarak adlandırılır) arasında simetri vardır :
[x]{\ displaystyle [x]}⌊x⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}
⌊x⌋⩽x<⌊x⌋+1{\ displaystyle \ sol \ lfloor x \ sağ \ rfloor \ leqslant x <\ sol \ lfloor x \ sağ \ rfloor +1}
ve üst kısmın tamamı (İngilizce tavanda "tavan" olarak adlandırılır) şu şekilde tanımlanır:
⌈x⌉-1<x⩽⌈x⌉{\ displaystyle \ sol \ lceil x \ sağ \ rceil -1 <x \ leqslant \ sol \ lceil x \ sağ \ rceil}
Tam sayı bölümü , standart gösterimde ondalık sayıların çıkarılmasına karşılık gelen ve negatif sayılar için tam sayı bölümünden farklı olan kesme Tek, tam veya kesme ile karıştırılmamalıdır .
Örneğin, –1.5'in tamsayı kısmı –2 iken, birim kesmesi –1'dir.
Kesirli kısım
Kesir kısmı a kaydetti gerçek bir sayı bu sayıya ve varsayılan olarak kendi tamsayı kısmı arasındaki farktır:
x{\ displaystyle x}{x}{\ displaystyle \ {x \}}
{x}=x-⌊x⌋{\ displaystyle \ {x \} = x- \ lfloor x \ rfloor}.
Bir sayının kesirli kısmı pozitif veya sıfır gerçektir, kesinlikle 1'den küçüktür.
Özellikle ondalık sayılar için sayının ondalık kısmı terimi de vardır .
Bazılarının "kesirli kısım" terimini irrasyonel sayılar için uygunsuz bulduğuna dikkat edin, çünkü o zaman bu kısım rasyonel değildir ve bu nedenle bir kesir değildir . Ancak "ondalık kısım", kendileri ondalık olmayan sayılar durumunda artık doğru değildir, çünkü bu kısım da ondalık değildir.
Genel Özellikler
Herhangi bir gerçek , aşağıdaki özellikleri karşılar; burada göreli tam sayılar kümesi bulunur:
x{\ displaystyle x}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
-
x=⌊x⌋+{x}{\ displaystyle x = \ lfloor x \ rfloor + \ {x \}} ; ile ;0⩽{x}<1{\ displaystyle 0 \ leqslant \ {x \} <1}
- her şey için bizde ;değil∈Z{\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}⌊x+değil⌋=⌊x⌋+değil{\ displaystyle \ lfloor x + n \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + n}
- şu sonuca varabiliriz:
- ⌊-x⌋+⌊x⌋={0Eğer x∈Z-1değilse{\ displaystyle \ lfloor -x \ rfloor + \ lfloor x \ rfloor = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0 & {\ text {si}} x \ in \ mathbb {Z} \\ - 1 & {\ text {aksi halde,}} \ end {dizi}} \ sağ.}
-
⌊x⌋+⌊y⌋⩽⌊x+y⌋⩽⌊x⌋+⌊y⌋+1{\ textstyle \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor \ leqslant \ lfloor x + y \ rfloor \ leqslant \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor +1}ile gerçek y .
Kesinlikle pozitif herhangi bir tam sayı için :
değil{\ displaystyle n}
-
0⩽⌊değilx⌋-değil⌊x⌋⩽değil-1{\ displaystyle 0 \ leqslant \ lfloor nx \ rfloor -n \ lfloor x \ rfloor \ leqslant n-1}(çünkü );değil⌊x⌋⩽değilx<değil⌊x⌋+değil{\ displaystyle n \ lfloor x \ rfloor \ leqslant nx <n \ lfloor x \ rfloor + n}
-
⌊⌊değilx⌋değil⌋=⌊x⌋{\ displaystyle \ sol \ lfloor {\ frac {\ lfloor nx \ rfloor} {n}} \ right \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor}(çünkü );⌊x⌋⩽⌊değilx⌋değil⩽x{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ leqslant {\ frac {\ lfloor nx \ rfloor} {n}} \ leqslant x}
- olduğu sonucunu elde eğer m ve n kesinlikle pozitif tam sayılardır birbirine asal (daha sonra Sylvester'ın formülü )
∑k=1değil-1⌊kmdeğil⌋=(m-1)(değil-1)2{\ displaystyle \ toplamı _ {k = 1} ^ {n-1} \ sol \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ sağ \ rfloor = {\ frac {(m-1) (n-1) } {2}}}.yukarıdaki formül, tüm kesin pozitif tamsayılar m ve n için genelleştirilebilir :∑k=1değil-1⌊kmdeğil⌋=(m-1)(değil-1)+pgcd(m,değil)-12{\ displaystyle \ toplamı _ {k = 1} ^ {n-1} \ sol \ lfloor {\ frac {km} {n}} \ sağ \ rfloor = {\ frac {(m-1) (n-1) + \ operatöradı {pgcd} (m, n) -1} {2}}}.
Tam parça işlevi
Tamsayı işlevi bir tamsayı değerinde sürekli değildir , ancak sağ sürekli ve üst yarı süreklidir .
Onun türevi anlamında dağılımları ise Dirac tarağı dönemi 1.
Kesirli bölüm işlevi
Bazen not edildi , solda sürekli ve yukarıda yarı süreklidir. Bu aynı zamanda periyodik süre 1 (anında görüşüne göre: tüm tamsayı , ).
çatlamak{\ displaystyle {\ text {frac}}}değil{\ displaystyle n}⌊x+değil⌋=⌊x⌋+değil{\ displaystyle \ lfloor x + n \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + n}
Tamsayı olmayanlar için , Fourier serisi ayrıştırmasını kabul edin :
x{\ displaystyle x}x↦{x}{\ displaystyle x \ mapsto \ {x \}}
{x}=12-∑değil=1∞günah(2πdeğilx)değilπ{\ displaystyle \ {x \} = {\ frac {1} {2}} - \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (2 \ pi nx)} {n \ pi }}}.
Her bir tamsayının görüntüsüne yakın bir yerde , hesaplanan katsayıların sayısındaki artışa rağmen devam eden kesirli bölüm fonksiyonunun Fourier serisi ayrışması üzerine bir Gibbs fenomeni gözlemliyoruz (karşımızdaki canlandırmaya bakınız).
Fazladan tüm kısım
Üst kısım olarak da adlandırılır, ifade ile tanımlanabilir:
⌈x⌉=-⌊-x⌋{\ displaystyle \ lceil x \ rceil = - \ mathrm {\ lfloor} -x \ rfloor}.
Bazen belirtilen işlev solda süreklidir ve aşağıda yarı süreklidir.
x↦⌈x⌉{\ displaystyle x \ mapsto \ sol \ lceil x \ sağ \ rceil}E¯{\ displaystyle {\ overline {\ text {E}}}}
Ayrıca her şey için :
değil∈Z{\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}
değil=⌊değil/2⌋+⌈değil/2⌉{\ displaystyle n = \ lfloor n / 2 \ rfloor + \ lceil n / 2 \ rceil} ;
∀m∈DEĞİL∗⌈değilm⌉={\ displaystyle \ forall m \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ sol \ lceil {\ frac {n} {m}} \ sağ \ rceil =}⌊değil+m-1m⌋=⌊değil-1m⌋+1{\ displaystyle \ sol \ lfloor {\ frac {n + m-1} {m}} \ sağ \ rfloor = \ sol \ lfloor {\ frac {n-1} {m}} \ sağ \ rfloor +1}.
Örnekler
x
|
Tüm parça ⌊x⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}
|
aşırı ⌈x⌉{\ displaystyle \ lceil x \ rceil}
|
Kesirli bölüm { x }
|
---|
12/5 = 2.4
|
2
|
3
|
2/5 = 0.4
|
---|
2.9
|
2
|
3
|
0.9
|
---|
−2.7
|
−3
|
−2
|
0.3
|
---|
−2
|
−2
|
−2
|
0
|
---|
Eşdeğer tanımlar
Aşağıdaki formüllerde, x ve y gerçek sayılardır, m , n ve k göreceli tam sayılardır.
Varsayılan ve fazla tüm parçalar aşağıdaki ifadelerle de tanımlanabilir:
⌊x⌋=max{m∈Z∣m⩽x}{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = \ max \ {m \ in \ mathbb {Z} \ orta m \ leqslant x \}} ; .
⌈x⌉=min{değil∈Z∣değil⩾x}{\ displaystyle \ lceil x \ rceil = \ min \ {n \ in \ mathbb {Z} \ orta n \ geqslant x \}}Yarı açık 1 genişlik aralığında yalnızca bir tam sayı olduğundan, herhangi bir gerçek x için tam olarak iki tam sayı m ve n vardır, öyle ki:
x-1<m⩽x⩽değil<x+1{\ displaystyle x-1 <m \ leqslant x \ leqslant n <x + 1}.
Daha sonra tüm parçaları varsayılan olarak ve fazlalık olarak ve ile de tanımlayabiliriz .
⌊x⌋=m{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = m}⌈x⌉=değil{\ displaystyle \ lceil x \ rceil = n}
Tam sayı kısımları olan ifadeleri basitleştirmek için diğer eşdeğer formüller kullanılabilir:
⌊x⌋=m⇔m⩽x<m+1,⌈x⌉=değil⇔değil-1<x⩽değil.{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} \ lfloor x \ rfloor = m & \; \; \ Leftrightarrow & m & \ leqslant x <m + 1, \\\ lceil x \ rceil = n & \; \; \ Leftrightarrow & n-1 & <x \ leqslant n. \ end {hizalı}}}
Belirli bir hassasiyete tam yuvarlama ve yuvarlama
Tanım ve gösterimler
Bütün yuvarlama gerçek sayısı belirtilmiştir, ya da , en yakın tam sayı olduğu ; eğer iki tane varsa, mutlak değerde en büyük olanı seçeriz ki bu da fonksiyonu tek bir fonksiyon yapar .
x{\ displaystyle x}yuvarlak(x){\ displaystyle {\ text {yuvarlak}} (x)}EPP(x){\ displaystyle {\ text {EPP}} (x)}x{\ displaystyle x}yuvarlak{\ displaystyle {\ text {yuvarlak}}}
Tamsayı yuvarlama ve tamsayı bölümü kavramları, herhangi bir gerçek sayı için geçerli olan aşağıdaki ilişki yoluyla bağlanır :
x{\ displaystyle x}
yuvarlak(x)=sgn(x)⌊|x|+0,5⌋{\ displaystyle {\ text {yuvarlak}} (x) = \ operatöradı {sgn} (x) \ sol \ lfloor \ sol \ vert x \ sağ \ vert +0,5 \ sağ \ rfloor}.
Bir gerçekliğin yuvarlanması , alt veya üst tüm kısmına eşit olduğundan, bazen de not edilir .
x{\ displaystyle x}⌊x⌉{\ displaystyle \ sol \ lfloor x \ sağ \ rceil}
Özetle, üst, alt ve tüm yuvarlama eşitsizliklerle karakterize edilir (üçüncü yalnızca pozitiftir):
x{\ displaystyle x}
{⌊x⌋⩽x<⌊x⌋+1⌈x⌉-1<x⩽⌈x⌉⌊x⌉-0,5⩽x<⌊x⌉+0,5{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {dizi} {c} \ sol \ lfloor x \ sağ \ rfloor \ leqslant x <\ sol \ lfloor x \ sağ \ rfloor +1 \\\ sol \ lceil x \ sağ \ rceil -1 <x \ leqslant \ left \ lceil x \ right \ rceil \\\ left \ lfloor x \ right \ rceil -0.5 \ leqslant x <\ left \ lfloor x \ right \ rceil +0.5 \ end {dizi}} \ sağ.}
Belirli bir hassasiyete yuvarlama
Kesinlikle pozitif reel Verilen , kesinlik yuvarlama bir gerçeğin sayısının farklı olduğu en yakın :
ϵ{\ displaystyle \ epsilon}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}x{\ displaystyle x}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}x{\ displaystyle x}
yuvarlakϵ(x)=ϵ.yuvarlak(xϵ){\ displaystyle {\ text {yuvarlak}} _ {\ epsilon} (x) = \ epsilon. {\ text {yuvarlak}} \ sol ({\ frac {x} {\ epsilon}} \ sağ)}
Bir tam sayı verildiğinde , sıraya ondalık yuvarlama , ' den kesinliğe yuvarlamadır :
değil{\ displaystyle n}x{\ displaystyle x}değil{\ displaystyle n}x{\ displaystyle x}10-değil{\ displaystyle 10 ^ {- n}}
yuvarlakdeğil(x)=10-değil.yuvarlak(10değilx){\ displaystyle {\ text {yuvarlak}} _ {n} (x) = 10 ^ {- n}. {\ text {yuvarlak}} \ sol (10 ^ {n} x \ sağ)}.
Örneğin, sayının 0,1,2,3,4 numaralı emirlerinin yuvarlanması sırayla şöyledir:
3,1805{\ displaystyle 3.1805}
3-3,2-3,18-3,181-3,1805{\ displaystyle 3 \, - \, 3,2 \, - \, 3,18 \, - \, 3,181 \, - \, 3,1805}
Yazdığımızda , bu, 3. sıraya yuvarlamanın eşit olduğu anlamına gelir , başka bir deyişle buna .
x≈3,120{\ displaystyle x \ yaklaşık 3.120}x{\ displaystyle x}3,120{\ displaystyle 3.120}3,1195⩽x<3,1205{\ displaystyle 3.1195 \ leqslant x <3.1205}
Rasyonel bir kesrin tamsayı ve kesirli kısımları
Tanım
Rasyonel tamsayı kısmı gerçeği ile benzer şekilde Öklid bölümüdür kısmen , bir tamsayı kısmı tanımlayan rasyonel fraksiyon olarak Öklid bölüm arasında eşit , bu bölüm temsil bağlı değildir göstermiştir sonra fraksiyonunun . Tam sayı kısmı arasında bu nedenle benzersiz polinom şekilde bir ile derece polinom kesinlikle daha düşük . Değerlendirme: . Bu parçanın tamamının bir tamsayı değil, bir polinom olduğuna dikkat edin.
-deb{\ displaystyle a \ b üzeri}-de{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b} F=ATB{\ displaystyle F = {A \ B üzerinde}}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}ATB{\ displaystyle {A \ B üzerinde}}F{\ displaystyle F}Q{\ displaystyle Q}ATB=Q+RB{\ displaystyle {A \ over B} = Q + {R \ over B}}R{\ displaystyle R}B{\ displaystyle B}E(F){\ displaystyle {\ text {E}} (F)}
Fraksiyonel parçası olduğunu .
E(F)-F=RB{\ displaystyle {\ text {E}} (F) -F = {R \ B üzerinde}}
Bu tanımlar rasyonel işlevlere aktarılır .
Özellikleri
P1: derece <0 ise ve değilse (ve bu nedenle ).
F{\ displaystyle F}E(F)=0{\ displaystyle {\ text {E}} (F) = 0}derece(E(F))=derece(F){\ displaystyle \ deg ({\ metni {E}} (F)) = \ deg (F)}E(F)=0⇔dereceF<0{\ displaystyle E (F) = 0 \ Leftrightarrow \ deg {F} <0}
P2: bir polinom , rasyonel bir kesrin tam sayı kısmıdır ancak ve ancak kesinlikle negatif derecedeyse.
Q{\ displaystyle Q}F{\ displaystyle F}F-Q{\ displaystyle FQ}
P3: Bir toplamın tamsayı kısmı, tam sayı kısımlarının toplamıdır:
E(F+G)=E(F)+E(G){\ displaystyle {\ text {E}} (F + G) = {\ text {E}} (F) + {\ text {E}} (G)}
Bu nedenle bu, tam sayıdaki ve rasyonel sayılardaki tamsayı kısmı kavramını farklılaştırır; bu özellik, basit öğelere ayrıştırma arayışında çok kullanışlıdır .
Gösteri
P1 için: eğer derecesi <0 ise , o zaman bölüm içinde eşit gerçekten sıfırdır. Aksi takdirde, bu nedenle , bu nedenle . Yani .
F=ATB{\ displaystyle F = {A \ B üzerinde}}dereceAT<dereceB{\ displaystyle \ deg A <\ deg B}Q=E(F){\ displaystyle Q = {\ text {E}} (F)}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}dereceR<dereceB{\ displaystyle \ deg {R} <\ deg {B}}dereceR<dereceBQ{\ displaystyle \ deg {R} <\ deg {BQ}}dereceAT=derece(BQ+R)=dereceBQ=dereceB+dereceQ{\ displaystyle \ deg {A} = \ deg {(BQ + R)} = \ deg {BQ} = \ deg {B} + \ deg {Q}}dereceQ=dereceAT-dereceB=dereceF{\ displaystyle \ deg Q = \ deg {A} - \ deg {B} = \ deg {F}}
P2 için: doğrudan anlam: gerçekten kesinlikle negatif derecededir. Tersine, kesinlikle negatif bir dereceye sahipse , par .
F-Q=RB{\ displaystyle FQ = {R \ B üzerinde}}F-Q=AT-BQB{\ displaystyle FQ = {{A-BQ} \ B üzerinden}}derece(AT-BQ)<dereceB{\ displaystyle \ deg (A-BQ) <\ deg B}Q{\ displaystyle Q}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
P3 için: derecesi <0 olduğundan, P2'ye göre tamsayı kısmı iyidir .
F+G-(E(F)+E(G))=F-E(F)+G-E(G){\ displaystyle F + G - ({\ text {E}} (F) + {\ text {E}} (G)) = F - {\ text {E}} (F) + G - {\ text { ÖRNEĞİN)}F+G{\ displaystyle F + G}E(F)+E(G){\ displaystyle {\ text {E}} (F) + {\ text {E}} (G)}
Uygulama
Derece> 0 olan bir rasyonel fonksiyonun tamsayı kısmı, + ∞ ve -∞'un komşuluğundaki bir asimptotik polinom fonksiyonudur .
f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}
Notlar ve referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınmış olan
İngiliz Vikipedi başlıklı makalesinde
“ Zemin ve tavan fonksiyonları ” ( yazarların listesini görmek ) .
-
D. Guinin ve B. Joppin, MPSI Analysis , Bréal ,2003( çevrimiçi okuyun ) , s. 113.
-
Örneğin, mühendisler için bu teknik kılavuzdaki tanımına bakınız.
-
Michel Mante ve Roland Charney, Okul öğretmen yarışması 20115: Matematik , t. 1,2015( çevrimiçi okuyun ) , s. 50
-
" gerçek sayının ondalık kısmı " üzerine, Scolab
-
JE Blazek, Katalanca N-modüllerinin birleşimi , yüksek lisans tezi, 2015, s. 17 .
-
(inç) Ronald L. Graham , Donald E. Knuth ve Oren Patashnik , Beton Matematik , Addison-Wesley ,1994( ISBN 0-201-55802-5 ) , böl. 3egzersiz 12.
-
Graham, Knuth ve Patashnik 1994 , böl. 3.
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">