Fibonacci polinomu
Fibonacci polinomu
In matematik Fibonacci polinomları İtalyan matematikçi onuruna adlandırılmış, Leonardo Fibonacci , bir olan polinomların dizisi genelleştirici Fibonacci sayıları bir şekilde tanımlanmış, eşittir n Fibonacci dizisindeki inci numara. Polinomları Lucas hatta genelleme Lucas sayıları .
Fdeğil(x){\ displaystyle F_ {n} (x)}
Fdeğil(1){\ displaystyle F_ {n} (1)}![{\ displaystyle F_ {n} (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ce6cd4077042556e1a4425eea578c7ea253bd0)
Tanım
Fibonacci polinomları, doğrusal bir tekrarlama ilişkisi ile tanımlanır .
Fdeğil(x)={0,Eğer değil=01,Eğer değil=1xFdeğil-1(x)+Fdeğil-2(x),Eğer değil≥2{\ displaystyle F_ {n} (x) = {\ begin {case} 0, & {\ mbox {si}} n = 0 \\ 1 ve {\ mbox {si}} n = 1 \\ xF_ {n -1} (x) + F_ {n-2} (x) ve {\ mbox {si}} n \ geq 2 \ end {vakalar}}}![{\ displaystyle F_ {n} (x) = {\ begin {case} 0, & {\ mbox {si}} n = 0 \\ 1 ve {\ mbox {si}} n = 1 \\ xF_ {n -1} (x) + F_ {n-2} (x) ve {\ mbox {si}} n \ geq 2 \ end {vakalar}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a41638600eb48520b08667b9cd6db15819eb104)
; n -1 dereceli bir polinomdur .
Fdeğil{\ displaystyle F_ {n}}![F_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cdf519c21deec43f984815e57e15d2dd3575d7)
İlk Fibonacci polinomları şunlardır:
F0(x)=0{\ displaystyle F_ {0} (x) = 0 \,}
F1(x)=1{\ displaystyle F_ {1} (x) = 1 \,}
F2(x)=x{\ displaystyle F_ {2} (x) = x \,}
F3(x)=x2+1{\ displaystyle F_ {3} (x) = x ^ {2} +1 \,}
F4(x)=x3+2x{\ displaystyle F_ {4} (x) = x ^ {3} + 2x \,}
F5(x)=x4+3x2+1{\ displaystyle F_ {5} (x) = x ^ {4} + 3x ^ {2} +1 \,}
F6(x)=x5+4x3+3x{\ displaystyle F_ {6} (x) = x ^ {5} + 4x ^ {3} + 3x \,}
Lucas polinomları aynı tümevarımla, ancak farklı başlangıç değerleriyle tanımlanır:
Ldeğil(x)={2,Eğer değil=0x,Eğer değil=1xLdeğil-1(x)+Ldeğil-2(x),Eğer değil≥2.{\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ begin {case} 2, & {\ mbox {si}} n = 0 \\ x ve {\ mbox {si}} n = 1 \\ xL_ {n -1} (x) + L_ {n-2} (x) ve {\ mbox {si}} n \ geq 2. \ end {vakalar}}}![{\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ begin {case} 2, & {\ mbox {si}} n = 0 \\ x ve {\ mbox {si}} n = 1 \\ xL_ {n -1} (x) + L_ {n-2} (x) ve {\ mbox {si}} n \ geq 2. \ end {vakalar}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc7218bd86ae382a421eb723ce07699723e5154)
; derece bir polinomdur n .
Ldeğil{\ displaystyle L_ {n}}![L_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebec334cb04f246db1139e2ca6be0b957d2ef520)
İlk Lucas polinomları:
L0(x)=2{\ displaystyle L_ {0} (x) = 2 \,}
L1(x)=x{\ displaystyle L_ {1} (x) = x \,}
L2(x)=x2+2{\ displaystyle L_ {2} (x) = x ^ {2} +2 \,}
L3(x)=x3+3x{\ displaystyle L_ {3} (x) = x ^ {3} + 3x \,}
L4(x)=x4+4x2+2{\ displaystyle L_ {4} (x) = x ^ {4} + 4x ^ {2} +2 \,}
L5(x)=x5+5x3+5x{\ displaystyle L_ {5} (x) = x ^ {5} + 5x ^ {3} + 5x \,}
L6(x)=x6+6x4+9x2+2.{\ displaystyle L_ {6} (x) = x ^ {6} + 6x ^ {4} + 9x ^ {2} +2. \,}
Fibonacci sayıları daha sonra polinom değerini değerlendirmek hesaplanır F N olduğunda X = 1; Pell numaraları değerlendirilerek belirlenir F N olduğunda X = 2. Son olarak, Lucas sayıları değerlendirilmesi ile elde edilir L n, 1 ile.
Bu polinom dizileri ilişkili Lucas dizileridir :
Fdeğil(x)=Udeğil(x,-1),{\ displaystyle F_ {n} (x) = U_ {n} (x, -1), \,}
Ldeğil(x)=Vdeğil(x,-1).{\ displaystyle L_ {n} (x) = V_ {n} (x, -1). \,}
Seri oluşturma
Jeneratör serisi Fibonacci polinomların içindir:
∑değil=0∞Fdeğil(x)tdeğil=t1-xt-t2.{\ displaystyle \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} F_ {n} (x) t ^ {n} = {\ frac {t} {1-xt-t ^ {2}}}.}![{\ displaystyle \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} F_ {n} (x) t ^ {n} = {\ frac {t} {1-xt-t ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fd88eeeff5202fd5d6af4a27514f13ba8de3d7)
Benzer şekilde, Lucas polinomlarının oluşturucu serisi şöyledir:
∑değil=0∞Ldeğil(x)tdeğil=2-xt1-xt-t2.{\ displaystyle \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) t ^ {n} = {\ frac {2-xt} {1-xt-t ^ {2}}}. }![{\ displaystyle \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} L_ {n} (x) t ^ {n} = {\ frac {2-xt} {1-xt-t ^ {2}}}. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec99dae9cf8f4ca4a4e910ef2b4d8425dc52ef83)
Olağanüstü ilişkiler
Lucas dizilerinin özel durumları olarak , bu polinomlar birçok kimliği doğrular.
Negatif endeksler için şu şekilde tanımlanabilirler:
F-değil(x)=(-1)değil-1Fdeğil(x),L-değil(x)=(-1)değilLdeğil(x).{\ displaystyle F _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n-1} F_ {n} (x), \, L _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n } L_ {n} (x).}![{\ displaystyle F _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n-1} F_ {n} (x), \, L _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n } L_ {n} (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c56e53e4da61b62911f8631044693de530eaca)
Ayrıca buna sahibiz:
Fm+değil(x)=Fm+1(x)Fdeğil(x)+Fm(x)Fdeğil-1(x){\ displaystyle F_ {m + n} (x) = F_ {m + 1} (x) F_ {n} (x) + F_ {m} (x) F_ {n-1} (x) \,}
Lm+değil(x)=Lm(x)Ldeğil(x)-(-1)değilLm-değil(x){\ displaystyle L_ {m + n} (x) = L_ {m} (x) L_ {n} (x) - (- 1) ^ {n} L_ {mn} (x) \,}
Fdeğil+1(x)Fdeğil-1(x)-Fdeğil(x)2=(-1)değil{\ displaystyle F_ {n + 1} (x) F_ {n-1} (x) -F_ {n} (x) ^ {2} = (- 1) ^ {n} \,}
F2değil(x)=Fdeğil(x)Ldeğil(x).{\ displaystyle F_ {2n} (x) = F_ {n} (x) L_ {n} (x). \,}
Binet'in formülüne benzer ifadeler mevcuttur:
Fdeğil(x)=α(x)değil-β(x)değilα(x)-β(x),Ldeğil(x)=α(x)değil+β(x)değil,{\ displaystyle F_ {n} (x) = {\ frac {\ alpha (x) ^ {n} - \ beta (x) ^ {n}} {\ alpha (x) - \ beta (x)}}, \, L_ {n} (x) = \ alpha (x) ^ {n} + \ beta (x) ^ {n},}![{\ displaystyle F_ {n} (x) = {\ frac {\ alpha (x) ^ {n} - \ beta (x) ^ {n}} {\ alpha (x) - \ beta (x)}}, \, L_ {n} (x) = \ alpha (x) ^ {n} + \ beta (x) ^ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739884cd39dbfc665ad0af2fddf88b08cb9efc92)
veya
α(x)=x+x2+42,β(x)=x-x2+42{\ displaystyle \ alpha (x) = {\ frac {x + {\ sqrt {x ^ {2} +4}}} {2}}, \, \ beta (x) = {\ frac {x - {\ sqrt {x ^ {2} +4}}} {2}}}![{\ displaystyle \ alpha (x) = {\ frac {x + {\ sqrt {x ^ {2} +4}}} {2}}, \, \ beta (x) = {\ frac {x - {\ sqrt {x ^ {2} +4}}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea20efedf563e0591572c93d8f3ff1722dfd8ac)
çözümleri ( t cinsinden )
t2-xt-1=0.{\ displaystyle t ^ {2} -xt-1 = 0. \,}![{\ displaystyle t ^ {2} -xt-1 = 0. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771aa261c58c3b864621bd1714d445919be32295)
X'in kuvvetleri, Fibonacci polinomlarının bir kombinasyonu olarak ifade edilir.
xdeğil=Fdeğil+1(x)+∑k=1⌊değil/2⌋(-1)k[(değilk)-(değilk-1)]Fdeğil+1-2k(x).{\ displaystyle x ^ {n} = F_ {n + 1} (x) + \ toplamı _ {k = 1} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {k} \ sol [{\ binom {n} {k}} - {\ binom {n} {k-1}} \ sağ] F_ {n + 1-2k} (x).}![{\ displaystyle x ^ {n} = F_ {n + 1} (x) + \ toplamı _ {k = 1} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {k} \ sol [{\ binom {n} {k}} - {\ binom {n} {k-1}} \ sağ] F_ {n + 1-2k} (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5b8d7a17f74e975d5f66d3bc9674ae1a21e2e8)
Örneğin,
x4=F5(x)-3F3(x)+2F1(x){\ displaystyle x ^ {4} = F_ {5} (x) -3F_ {3} (x) + 2F_ {1} (x) \,}
x5=F6(x)-4F4(x)+4F2(x){\ displaystyle x ^ {5} = F_ {6} (x) -4F_ {4} (x) + 4F_ {2} (x) \,}
x6=F7(x)-5F5(x)+9F3(x)-5F1(x){\ displaystyle x ^ {6} = F_ {7} (x) -5F_ {5} (x) + 9F_ {3} (x) -5F_ {1} (x) \,}
x7=F8(x)-6F6(x)+14F4(x)-14F2(x){\ displaystyle x ^ {7} = F_ {8} (x) -6F_ {6} (x) + 14F_ {4} (x) -14F_ {2} (x) \,}![{\ displaystyle x ^ {7} = F_ {8} (x) -6F_ {6} (x) + 14F_ {4} (x) -14F_ {2} (x) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421438e837e4e436def2969a04e9ae6c6d67727a)
.
Fibonacci polinomlarının kökleri ve çarpanlara ayrılması
Poz , yukarıdaki gösterimi ile kontrol edilir , bu nedenle ve için ortadan yok ki, ; bu nedenle kökleri saf hayalperestlerdir . Aşağıdakilerin çarpanlara ayrılmasını çıkarıyoruz :
x=2bencoshz=ben(ez+e-z){\ displaystyle x = 2 \ mathrm {i} \ cosh z = \ mathrm {i} \ sol (\ mathrm {e} ^ {z} + \ mathrm {e} ^ {- z} \ sağ)}
α(x)=(x+x2+4)/2=benez{\ displaystyle \ alpha \ sol (x \ sağ) = \ sol (x + {\ sqrt {x ^ {2} +4}} \ sağ) / 2 = \ mathrm {i} \, \ mathrm {e} ^ {z}}
β(x)=(x-x2+4)/2=bene-z{\ displaystyle \ beta \ sol (x \ sağ) = \ sol (x - {\ sqrt {x ^ {2} +4}} \ sağ) / 2 = \ mathrm {i} \, \ mathrm {e} ^ {-z}}
Fdeğil(x)=bendeğil-1edeğilz-e-değilzez-e-z{\ displaystyle F_ {n} \ sol (x \ sağ) = \ mathrm {i} ^ {n-1} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {nz} - \ mathrm {e} ^ {- nz} } {\ mathrm {e} ^ {z} - \ mathrm {e} ^ {- z}}}}
z=benkπ/değil{\ displaystyle z = \ mathrm {i} \, k \ pi / n}
Fdeğil{\ displaystyle F_ {n}}
2bençünkü(kπ/değil){\ displaystyle 2 \ mathrm {i} \ cos {(k \ pi / n)}}
Fdeğil(x){\ displaystyle F_ {n} \ sol (x \ sağ)}![{\ displaystyle F_ {n} \ sol (x \ sağ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4398d506e1084c3189cb584d4bbd40db15145f73)
F2değil(x)=x∏1≤k≤değil-1x2+4çünkü2(kπdeğil){\ displaystyle F_ {2n} \ sol (x \ sağ) = x \ prod _ {1 \ leq k \ leq n-1} x ^ {2} +4 \ cos ^ {2} \ sol ({\ frac { k \ pi} {n}} \ sağ)}![{\ displaystyle F_ {2n} \ sol (x \ sağ) = x \ prod _ {1 \ leq k \ leq n-1} x ^ {2} +4 \ cos ^ {2} \ sol ({\ frac { k \ pi} {n}} \ sağ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dcf119df5f8312c41086d5c73d073560823b6f8)
ve
F2değil+1(x)=∏1≤k≤değilx2+4çünkü2(2kπ2değil+1){\ displaystyle F_ {2n + 1} \ sol (x \ sağ) = \ prod _ {1 \ leq k \ leq n} x ^ {2} +4 \ cos ^ {2} \ sol ({\ frac {2k \ pi} {2n + 1}} \ sağ)}![{\ displaystyle F_ {2n + 1} \ sol (x \ sağ) = \ prod _ {1 \ leq k \ leq n} x ^ {2} +4 \ cos ^ {2} \ sol ({\ frac {2k \ pi} {2n + 1}} \ sağ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0fd7fb7af0e1c6988916e0e59a55db8ac25d53)
,
sonra, Fibonacci sayılarının trigonometrik bir ifadesini alarak :
x=1{\ displaystyle x = 1}![x = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee42176e76ae6b56d68c42ced807e08b962a2b54)
Fdeğil=∏1≤k≤(değil-1)/21+4çünkü2(kπdeğil)=∏1≤k≤(değil-1)/23+2çünkü(2kπdeğil){\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = \ prod _ {1 \ leq k \ leq (n-1) / 2} 1 + 4 \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {k \ pi} {n}} \ right) = \ prod _ {1 \ leq k \ leq (n-1) / 2} 3 + 2 \ cos \ left ({\ frac {2k \ pi} {n}} \ sağ)}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = \ prod _ {1 \ leq k \ leq (n-1) / 2} 1 + 4 \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {k \ pi} {n}} \ right) = \ prod _ {1 \ leq k \ leq (n-1) / 2} 3 + 2 \ cos \ left ({\ frac {2k \ pi} {n}} \ sağ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f016f6c55d0e0af270e24e7d3ee4e53ee36c33f)
;
Lucas polinomları için benzer formüller elde edilebilir.
Kombinatoryal yorumlama
Eğer F ( n , k ) katsayısı x k olarak F , n ( x ), yani
Fdeğil(x)=∑k=0değilF(değil,k)xk,{\ displaystyle F_ {n} (x) = \ toplamı _ {k = 0} ^ {n} F (n, k) x ^ {k}, \,}![{\ displaystyle F_ {n} (x) = \ toplamı _ {k = 0} ^ {n} F (n, k) x ^ {k}, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234b205896dea55fee4b0a3ae8dbabf3c738d158)
o zaman F ( n , k ) dominolar (dikdörtgenler ) ve tam olarak k birim kareler ile n- 1 karelik bir şerit döşeyebileceğimiz yolların sayısıdır . Aynı şekilde , F ( n , k ) n −1'i 1 ve 2'nin sıralı toplamı olarak yazmanın yollarının sayısıdır ve tam olarak k görünümü 1'dir. Örneğin, F (6,3) = 4 ve 5 yazılabilir 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 olmak üzere 4 şekilde 1 ve 2'nin toplamı tam olarak 1. 1'lerin böyle bir toplamdaki konumu, daha sonra F ( n , k ) 'nin binom katsayısına eşit olduğu anlaşılır 2×1{\ displaystyle 2 \ times 1}
F(değil,k)=(değil+k-12k){\ displaystyle F (n, k) = {\ binom {\ tfrac {n + k-1} {2}} {k}}}![{\ displaystyle F (n, k) = {\ binom {\ tfrac {n + k-1} {2}} {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d37ca6df41ec60480284034fce9ed807ef2624c)
burada n ve k zıt pariteye sahiptir, bu da bu katsayıları yukarıda gösterildiği gibi Pascal üçgeninde okumayı mümkün kılar .
Referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır
İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde
" Fibonacci polinomları " ( yazarların listesini görmek ) .
-
(in) Arthur T. Benjamin ve Jennifer J. Quinn , Gerçekten Önemli Kanıtlar , Washington, DC, MAA ,2003, 193 s. ( ISBN 0-88385-333-7 , çevrimiçi okuyun ) , “§9.4 Fibonacci ve Lucas Polynomial” , s. 141.
-
(inç) Leonard Carlitz , " Fibonacci sayılarıyla ilgili bazı ortogonal polinomlar " , Fibonacci Quarterly , cilt. 4, n o 1,1966, s. 43-48 ( çevrimiçi okuyun ).
-
Yuan ve Zhang 2002
-
(içinde) Carnegie Mellon Bilişim ve Matematik Yarışması (CMIMC) 2016 , 10. yıl (5. sayfadan itibaren)
-
Hoggatt ve Bicknell 1973
-
(inç) Bala Sury, " Fibonacci ve Lucas Sayıları için trigonometrik ifadeler " , Acta Math. Üniv. Comenianae , cilt. 79, n o 22010, s. 199-208 ( çevrimiçi okuyun ).
Ayrıca görün
Kaynakça
- (en) Dominique Foata ve Guo-Niu Han, " Fibonacci sayıları ve ortogonal polinomları " , Leonardo Fibonacci: il tempo, le opere, l'eredit`a Scientifica ,1994( çevrimiçi okuyun )
- (tr) VE Hoggatt ve Marjorie Bicknell , “ Fibonacci polinomlarının Kökleri. » , Fibonacci Quarterly , cilt. 11,1973, s. 271–274 ( ISSN 0015-0517 , Matematik İncelemeleri 0332645 , çevrimiçi okuyun )
- (en) VE Hoggatt ve Calvin T. Long , " Genelleştirilmiş Fibonacci Polinomlarının bölünebilirlik özellikleri " , Fibonacci Quarterly , cilt. 12,1974, s. 113 ( Matematik İncelemeleri 0352034 , çevrimiçi okuyun )
- (en) Paolo Emilio Ricci , " Genelleştirilmiş Lucas polinomları ve Fibonacci polinomları " , Rivista di Matematica della Università di Parma , cilt. 4,1995, s. 137–146 ( Matematik İncelemeleri 1395332 )
- (tr) Yi Yuan ve Wenpeng Zhang , " Fibonacci Polinomlarını içeren bazı kimlikler " , Fibonacci Quarterly , cilt. 40, n, o , 4,2002, s. 314 ( Matematik İncelemeleri 1920571 , çevrimiçi okuyun )
- (in) Johann CIGLER , " q Fibonacci polinomları " , Fibonacci üç aylık , n O 41,2003, s. 31–40 ( Matematik İncelemeleri 1962279 , çevrimiçi okuyun )
İlgili Makaleler
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">