Lucas numarası
Olarak matematik , sayılar ve Lucas terimlerdir , aşağıdaki genel Lucas ilişkili Fibonacci dizisi . Bu dizi, bu nedenle aynı doğrusal tekrarlama ilişkisi ile tanımlanır :
Ldeğil+2=Ldeğil+1+Ldeğil{\ displaystyle L_ {n + 2} = L_ {n + 1} + L_ {n}}
ancak iki farklı başlangıç değeriyle: 0 ve 1 yerine,
L0=2,L1=1.{\ displaystyle L_ {0} = 2, \ quad L_ {1} = 1.}
Diziye ( L n ) "Fibonacci-Lucas dizisi" veya daha basitçe "Lucas dizisi" denir.
İlk değerler
Bu tamsayı dizisi olan kesin artan gelen , n için (= 1. İlk on açısından n olan, 0 ile 9 arası) 2 , 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , 47 ve 76 için ( n tane 500'e kadar , devamı bakınız A000032 bir OEIS ).
Özellikleri
Lucas sayısı ile altın oran arasındaki ilişki
Genel bir terimdir L n, Lucas dizisinin bir fonksiyonu olarak ifade edilir altın sayısı cp , aşağıdaki formül ile, benzer Binet formül Fibonacci dizisi için:
Ldeğil=φdeğil+(-φ)-değil=(1+52)değil+(1-52)değil{\ displaystyle L_ {n} = \ varphi ^ {n} + (- \ varphi) ^ {- n} = \ sol ({1 + {\ sqrt {5}} \ 2} üzerinde \ sağ) ^ {n} + \ left ({1 - {\ sqrt {5}} \ over 2} \ right) ^ {n}} ;
Bu nedenle φ'nin ardışık güçleri Lucas sayılarına yakındır. Daha kesin olarak, eşittir 1 / φ n için kesinlikle daha az 1/2 olduğu, (ve hızlı bir şekilde 0 doğru eğilimi olduğu), burada gösterildiği L n, daha sonra tam sayı yakın için cp n . Örneğin: φ 2 = 2.61809 ..., φ 3 = 4.23606 ..., φ 4 = 6.85410 ...
|Ldeğil-φdeğil|{\ displaystyle | L_ {n} - \ varphi ^ {n} |}değil⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}
Lucas ve Fibonacci sayıları arasındaki ilişkiler
Lucas sayıları, Fibonacci sayıları ile kimliklerle ilişkilidir :
- Ldeğil=Fdeğil-1+Fdeğil+1=Fdeğil+2Fdeğil-1=Fdeğil+2-Fdeğil-2{\ displaystyle \, L_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n + 1} = F_ {n} + 2F_ {n-1} = F_ {n + 2} -F_ {n-2}}
- Lm+değil=Lm+1Fdeğil+LmFdeğil-1{\ displaystyle \, L_ {m + n} = L_ {m + 1} F_ {n} + L_ {m} F_ {n-1}}
-
Ldeğil2=5Fdeğil2+4(-1)değil{\ displaystyle \, L_ {n} ^ {2} = 5F_ {n} ^ {2} +4 (-1) ^ {n}}ve böylece dizi yakınsıyor .(LdeğilFdeğil){\ displaystyle \ sol ({\ frac {L_ {n}} {F_ {n}}} \ sağ)}5{\ displaystyle {\ sqrt {5}}}
- F2değil=LdeğilFdeğil{\ displaystyle \, F_ {2n} = L_ {n} F_ {n}}
- Fdeğil+k+(-1)kFdeğil-k=LkFdeğil{\ displaystyle \, F_ {n + k} + (- 1) ^ {k} F_ {nk} = L_ {k} F_ {n}}
-
Ldeğil+k-(-1)kLdeğil-k=5FkFdeğil{\ displaystyle \, L_ {n + k} - (- 1) ^ {k} L_ {nk} = 5F_ {k} F_ {n}}, ve bu yüzden
-
Ldeğil=Fdeğil-1+Fdeğil+1=Fdeğil+2-Fdeğil-2=Fdeğil-3+Fdeğil+32=Fdeğil+4-Fdeğil-43=Fdeğil-5+Fdeğil+55=...{\ displaystyle \, L_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n + 1} = F_ {n + 2} -F_ {n-2} = {F_ {n-3} + F_ {n + 3} \ over 2} = {F_ {n + 4} -F_ {n-4} \ over 3} = {F_ {n-5} + F_ {n + 5} \ over 5} = \ dots}, ve
- Fdeğil=Ldeğil-1+Ldeğil+15=Ldeğil-3+Ldeğil+310=Ldeğil-5+Ldeğil+525=Ldeğil-7+Ldeğil+765=...{\ displaystyle \, F_ {n} = {L_ {n-1} + L_ {n + 1} \ 5'ten fazla} = {L_ {n-3} + L_ {n + 3} \ 10'dan fazla} = {L_ {n-5} + L_ {n + 5} \ 25'ten fazla} = {L_ {n-7} + L_ {n + 7} \ 65'ten fazla} = \ nokta}
L n , F n ve altın oran arasındaki ilişki
Karşılaştırarak Binet formülü , aşağıdaki Lucas benzer formu, biz arasındaki ilişkiyi ortaya L n , F , n ve cp :
Fdeğil=φdeğil-(-φ)-değil5{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {\ varphi ^ {n} - (- \ varphi) ^ {- n}} {\ sqrt {5}}}}Ldeğil=φdeğil+(-φ)-değil{\ displaystyle L_ {n} = \ varphi ^ {n} + (- \ varphi) ^ {- n}}
φdeğil=Ldeğil+Fdeğil52.{\ displaystyle \ varphi ^ {n} = {{L_ {n} + F_ {n} {\ sqrt {5}}} \ 2}.}
Lucas sayılarının bölünebilirliği
Bölünebilirliği soruya bir ilk yaklaşım L n, tam sayı, bir tarafından bir kalanlarından sekansını incelenmesinden oluşmaktadır L n, modulo bir : bu dizi ( R , n ) tatmin (içinde Z / bir Z ) aynı nüks ( r n + 2 = r , n + 1 + r , n ) ve süresi bu yüzden periyodik en bir 2 bir fonksiyonu olarak dönemlerinin (uzunlukları bir biçimde sekansı Pisano sürelerinin , paketi A001175 gelen OEIS ). Daha kesin olarak, bu yinelemenin ve Z / p Z alanında ( p asal sayıdır) L n = F 2 n / F n ilişkisinin incelenmesi , Fibonacci'nin altında elde edilenlere benzer sonuçlara yol açar .
Ayrıca, hiçbir Lucas sayısının bir Fibonacci sayısıyla bölünemeyeceğini de kanıtlıyoruz .
Fdeğil⩾5{\ displaystyle F_ {n} \ geqslant 5}
Asal Lucas sayıları
Bu varsayım bu sekans numaraları Lucas ilk , 2 , 3 , 7 , 11 , 29 , 47 , 199 , 521 , vs. - devam A005479 arasında OEIS - sonsuzdur.
Karşılık gelen endeksler, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13 vb. ( A001606 ), 0, ana ya da hariç hepsi 2'nin kuvveti ve dizinler bu serinin bir parçası olan 2 sadece bilinen güçler 2, 4, 8 ve 16 bulunmaktadır.
Kongreler
-
Ldeğil+4≡Ldeğilmod5{\ displaystyle L_ {n + 4} \ equiv L_ {n} \ mod 5} (çünkü )Ldeğil+4-Ldeğil=5Fdeğil+2{\ displaystyle L_ {n + 4} -L_ {n} = 5F_ {n + 2}}
-
Ldeğil≡1moddeğil{\ displaystyle L_ {n} \ eşdeğeri 1 \ mod n} eğer n asal ama tersi yanlıştır. Kontrol kompozit sayılar olan sözde asal Fibonacci sayıları.Ldeğil≡1moddeğil{\ displaystyle L_ {n} \ eşdeğeri 1 \ mod n}
Gösteri
Izin vermek tek bir asal sayı. As ve bölünemeyen bir için , . Ancak, Fermat'ın küçük teoremine göre , bunu çıkarabiliriz . İçin p = 2 .
p{\ displaystyle p}2pLp=(1+5)p+(1-5)p{\ displaystyle 2 ^ {p} L_ {p} = (1 + {\ sqrt {5}}) ^ {p} + (1 - {\ sqrt {5}}) ^ {p}}(pk){\ displaystyle {\ binom {p} {k}}}p{\ displaystyle p}1⩽k⩽p-1{\ displaystyle 1 \ leqslant k \ leqslant p-1}2pLp≡2modp{\ displaystyle 2 ^ {p} L_ {p} \ eşdeğeri 2 \ mod p}2p≡2modp{\ displaystyle 2 ^ {p} \ eşdeğeri 2 \ mod p}Lp≡1modp{\ displaystyle L_ {p} \ eşdeğeri 1 \ mod p}L2=3≡1mod2{\ displaystyle L_ {2} = 3 \ eşdeğeri 1 \ mod 2}
Notlar ve referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır
İngilizce başlıklı
" Lucas numarası " ( yazarların listesini görmek ) .
-
(en) T. Lengyel, Fibonacci ve Lucas sayılarının sırası , Fibonacci Quarterly , 1995.
-
(in) Thomas Jeffery ve Rajesh Pereira Bölünebilirlik Özellikleri, Fibonacci, Lucas Dizileri ve İlgili , 2013.
-
(in) Chris Caldwell, " Başbakan Sözlük: Lucas prim " ile ilgili Başbakan Sayfalar .
Dış bağlantı
(tr) Eric W. Weisstein , " Lucas Number " , MathWorld'de
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">