Lucas Süit
Gelen matematik , Lucas sekansları U ( P , Q, ) ve V ( P , Q, ) , iki ilişkili tamsayı P ve Q iki olan tekrarlayan dizilerin doğrusal düzeninin 2 sırasıyla genelleme tam sayı değerleri ile Fibonacci dizisi ve bu Fibonacci'nin. -Lucas , P = 1 ve Q = –1 değerlerine karşılık gelir .
Adlarını Fransız matematikçi Édouard Lucas'a borçludurlar .
Tümevarım ile tanım
Let p ve Q'nun iki sıfır olmayan tamsayılardır, örneğin
Δ=P2−4Q≠0{\displaystyle \Delta =P^{2}-4Q\neq 0}![{\displaystyle \Delta =P^{2}-4Q\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f0b6b53622afeb7d19a37f3560a0791afcdb8e)
(dejenere vakaları önlemek için).
Lucas dizileri U ( P , Q ) ve V ( P , Q ) doğrusal tekrarlama ilişkileri ile tanımlanır.
U0(P,Q)=0,U1(P,Q)=1,Un(P,Q)=P.Un−1(P,Q)−Q.Un−2(P,Q) pour n⩾2{\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n}(P,Q)=P.U_{n-1}(P,Q)-Q.U_{n-2}(P,Q){\mbox{ pour }}n\geqslant 2}![{\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n}(P,Q)=P.U_{n-1}(P,Q)-Q.U_{n-2}(P,Q){\mbox{ pour }}n\geqslant 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429524178441f33729b5dec29206a4eb5b9716d5)
ve
V0(P,Q)=2,V1(P,Q)=P,Vn(P,Q)=P.Vn−1(P,Q)−Q.Vn−2(P,Q) pour n⩾2.{\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n}(P,Q)=P.V_{n-1}(P,Q)-Q.V_{n-2}(P,Q){\mbox{ pour }}n\geqslant 2.}![{\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n}(P,Q)=P.V_{n-1}(P,Q)-Q.V_{n-2}(P,Q){\mbox{ pour }}n\geqslant 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87e7cf2bc8d3bf17b61b8beaecbd9062548635e)
Genel ifade
Göstermek iki biri kare kökleri arasında Ô (muhtemelen içinde ℂ ).
δ{\displaystyle \delta }![\delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
Yana Ô ≠ 0 , karakteristik polinom tekrarlama ile ilişkili x 2 - PX + Q sahip iki farklı
kökleri
a=P+δ2etb=P−δ2.{\displaystyle a={\frac {P+\delta }{2}}\quad {\rm {et}}\quad b={\frac {P-\delta }{2}}.}![{\displaystyle a={\frac {P+\delta }{2}}\quad {\rm {et}}\quad b={\frac {P-\delta }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf7241f63da371b22069a3c1d1515f2c203fb4e)
O zaman U ( P , Q ) ve V ( P , Q ) , Binet formülünün aşağıdaki analogu ile a ve b cinsinden de tanımlanabilir :
Un(P,Q)=an−bna−b=an−bnδetVn(P,Q)=an+bn,{\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\delta }}\quad {\rm {et}}\quad V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n},}![{\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\delta }}\quad {\rm {et}}\quad V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a8ef00ab27b553b11141494da93395ecdec0ec)
ilişki kurabileceğimiz
an=Vn+Unδ2etbn=Vn−Unδ2.{\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}\delta }{2}}\quad {\rm {et}}\quad b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}\delta }{2}}.}![{\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}\delta }{2}}\quad {\rm {et}}\quad b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}\delta }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691fba599282830cbe44f02446f5f008749dcb1b)
Diğer ilişkiler
Lucas dizilerindeki sayılar, Fibonacci sayıları ile Lucas sayıları arasındakileri genelleştiren birçok ilişkiyi tatmin eder. Örneğin :
Um+n={\displaystyle U_{m+n}=}
UnUm+1−QUn−1Um=UnVm+UmVn2{\displaystyle U_{n}U_{m+1}-QU_{n-1}U_{m}={U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n} \over 2}}![{\displaystyle U_{n}U_{m+1}-QU_{n-1}U_{m}={U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n} \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb252db5f003e75e12ce47abd0d5825434da5196)
ve
Vm+n=VmVn−QmVn−m=ΔUmUn+VmVn2,{\displaystyle V_{m+n}=V_{m}V_{n}-Q^{m}V_{n-m}={\Delta U_{m}U_{n}+V_{m}V_{n} \over 2},}
özellikle
Un+1=PUn+Vn2=Vn+QUn−1,Vn+1=ΔUn+PVn2=ΔUn+QVn−1{\displaystyle U_{n+1}={PU_{n}+V_{n} \over 2}=V_{n}+QU_{n-1},\qquad V_{n+1}={\Delta U_{n}+PV_{n} \over 2}=\Delta U_{n}+QV_{n-1}}![U_{{n+1}}={PU_{n}+V_{n} \over 2}=V_{n}+QU_{{n-1}},\qquad V_{{n+1}}={\Delta U_{n}+PV_{n} \over 2}=\Delta U_{n}+QV_{{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd119a63ebb4822572221422083e16841b162277)
ve
U2n=UnVn,V2n=Vn2−2Qn.{\displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n},\qquad V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}.}![U_{{2n}}=U_{n}V_{n},\qquad V_{{2n}}=V_{n}^{2}-2Q^{n}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a76ef1675dfc4f029d79f8d5ae96a0a3abe1de)
Bölünebilirlik
İlk özdeşlikten ( U m + n = U n U m +1 - QU n –1 U m ), hemen ( k üzerindeki tümevarım yoluyla ) U nk'nin her zaman U n'nin bir katı olduğunu anlarız: U ( P , Q ) düşük bölünebilirliğe sahiptir .
Bölüm hesaplanarak varyant
Kendimizi dejenere olmayan duruma yerleştirelim ve varsayalım ve yazıyı basitleştirmek için (bu durumda karşılık gelen eşitlikleri bölmeden yazmak yeterlidir ).
k>0{\displaystyle k>0}
Un≠0{\displaystyle U_{n}\neq 0}
Un=0{\displaystyle U_{n}=0}
Un{\displaystyle U_{n}}![U_{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b641ce10cb5e865397c4efe647cbffed98a024)
UnkUn=ank−bnkan−bn=∑j=0k−1an(k−1−j)bnj=(an(k−1)+bn(k−1))+(an(k−2)bn+bn(k−2)an)+(an(k−3)b2n+bn(k−3)a2n)+…=(an(k−1)+bn(k−1))+Qn(an(k−3)+bn(k−3))+Q2n(an(k−5)+bn(k−5))+…=Vn(k−1)+QnVn(k−3)+Q2nVn(k−5)+…∈Z.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {U_{nk}}{U_{n}}}&={\frac {a^{nk}-b^{nk}}{a^{n}-b^{n}}}=\sum _{j=0}^{k-1}a^{n(k-1-j)}b^{nj}\\&=(a^{n(k-1)}+b^{n(k-1)})+(a^{n(k-2)}b^{n}+b^{n(k-2)}a^{n})+(a^{n(k-3)}b^{2n}+b^{n(k-3)}a^{2n})+\ldots \\&=(a^{n(k-1)}+b^{n(k-1)})+Q^{n}(a^{n(k-3)}+b^{n(k-3)})+Q^{2n}(a^{n(k-5)}+b^{n(k-5)})+\ldots \\&=V_{n(k-1)}+Q^{n}V_{n(k-3)}+Q^{2n}V_{n(k-5)}+\ldots \in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}
Böylelikle güçlü bölünebilirlikle bile, yani tatmin eder: pgcd ( U i , U j ) = | U PGCD ( i , j ) |, gerekli ve yeterli olan P ve Q, olduğu göreceli asal .
Gösteri
Dizisi daha sonra 1 = kuvvetli Bölünebilme varsa u 1 = PGCD ( U 2 , U 3 ) = PGCD ( P , P 2 - S = PGCD () p , S ).
Tersine, pgcd ( P , Q ) = 1 olduğunu ve tüm n ≥ 1, pgcd ( U n , Q ) = 1 ve pgcd ( U n , U n –1 ) = 1 olduğunu tümevarımla gösterdiğini varsayalım . L 'başlatması anında gerçekleşir ve miras çıkarılır ( Gauss'un lemması sayesinde ):
- Birinci özellik için: PGCD arasında ( U , n + 1 , S ) = PGCD ( PU N , S ) ve hipotez;
- ikincisi için: pgcd'den ( U n +1 , U n ) = pgcd ( QU n- 1 , U n ) ve birinciden .
Bu iki özellikten ve U m + n = U n U m +1 - QU n –1 U m özdeşliğinden pgcd ( U m + n , U n ) = pgcd ( QU n –1 U m , U n ) = pgcd ( U m , U n ). By anthypheresis , güçlü bölünebilme izler.
Özel durumlar
U(1,−1){\displaystyle U(1,-1)}![{\displaystyle U(1,-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea62ec968d998363ee85f266aecd92365348ed79)
olan
Fibonacci dizisi ve
Fibonacci Lucas sekansı .
V(1,−1){\displaystyle V(1,-1)}
U(2,−1){\displaystyle U(2,-1)}![{\displaystyle U(2,-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b99f6b0126912f905c72bbdbf4fbe6851d22104)
olduğu
Pell devamı ve
Pell-Lucas devamı .
V(2,−1){\displaystyle V(2,-1)}
Daha genel olarak, ve de değerlerdir P arasında n- inci Fibonacci polinom ve n- inci Lucas polinom .
Un(P,−1){\displaystyle U_{n}(P,-1)}
Vn(P,−1){\displaystyle V_{n}(P,-1)}![V_{n}(P,-1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bbd308828cdf213144f7fd33ae1b5f41f3556a)
U(a+b,ab)=(an−bna−b){\displaystyle U(a+b,ab)=\left({\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}\right)}
özel bir durum olarak verir ki bu Mersenne asallarının sırasıdır ve daha genel olarak b tabanını yeniden çevirmelerin sonucudur .
U(3,2)=(2n−1){\displaystyle U(3,2)=(2^{n}-1)}
U(b+1,b){\displaystyle U(b+1,b)}![{\displaystyle U(b+1,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7245b5d7c3bca9117ea0fb122b21a63fc0a4276)
U(1,−2){\displaystyle U(1,-2)}![{\displaystyle U(1,-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6ff0d6e5031186a05b1d743c6e9586883940d5)
olduğu
Jacobstahl süit ve Jacobsthal-Lucas süit.
V(1,−2){\displaystyle V(1,-2)}
U(1,1)=(2sinnπ33)=(0,1,1,0,−1,−1,0,...){\displaystyle U(1,1)=\left({\frac {2\sin {\frac {n\pi }{3}}}{\sqrt {3}}}\right)=(0,1,1,0,-1,-1,0,...)}![{\displaystyle U(1,1)=\left({\frac {2\sin {\frac {n\pi }{3}}}{\sqrt {3}}}\right)=(0,1,1,0,-1,-1,0,...)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ab860cb3461d8932c7b397c44717cbc34a4805)
, .
V(1,1)=(2cosnπ3)=(2,1,−1,−2,−1,1,2,...){\displaystyle V(1,1)=\left(2\cos {\frac {n\pi }{3}}\right)=(2,1,-1,-2,-1,1,2,...)}
Sk:=V2k(2,−1){\displaystyle S_{k}:=V_{2^{k}}({\sqrt {2}},-1)}![{\displaystyle S_{k}:=V_{2^{k}}({\sqrt {2}},-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec797df1ae4d9e080af54449e991b8cf8ab4797e)
( k ≥ 1),
Mersenne sayıları için Lucas-Lehmer asallık testinde meydana gelen dizidir : S 1 = V 2 = 4 ve S k +1 = S k 2 - 2.
Notlar ve referanslar
(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır
İngilizce başlıklı
" Lucas dizisi " ( yazarların listesini görmek ) .
-
Édouard Lucas, " Basit periyodik sayısal fonksiyonlar teorisi ", Amer. J. Math. , cilt. 1, n o 21878, s. 184-196, 197-240, 289-321 ( çevrimiçi okuyun ).
-
Bu, Ribenboim 2006 , s. 2. (tr) DH Lehmer , " Lucas'ın fonksiyonlarının genişletilmiş bir teorisi " , Ann. Matematik. , 2 nd serisi, cilt. 31,1930, s. 419-448 ( JSTOR 1968235 ), Duruma uzatır P olan kare kökü bir tamsayı nispeten asal Q . Lucas, P ve Q'yu aralarında bir numara olarak aldı .
-
" The Fibonacci Quarterly'nin sayılarına bakıldığında , bu kimlik ve özelliklerin daha yeni biçimlerini üretmeye çabalayan matematikçilerin hayal gücünün sınırlarının olmadığı izlenimi bırakacak. […] En yararlı olduğunu düşündüğüm az sayıda formül seçeceğim. İspatları, Binet'in formüllerini uygulayarak veya tümevarım yoluyla neredeyse her zaman basit alıştırmalardır. » Ribenboim 2006 , s. 2.
-
Bu denklem, 2. dereceden doğrusal tekrarlayan diziler tarafından doğrulanan özel bir dikkat çekici özdeşlik durumudur . Halen dejenere vakalarda tatmin olur.
-
(in) Peter Bala, " güçlü bölünebilme dizilerinden bölünebilme dizileri " üzerine OEIS ,2014, s. 9, Önerme A.3.
-
Ribenboim 2006 , s. 9.
-
Lucas 1878 , s. 206.
-
Bala 2014 , Ek (s. 8-10). Sadece mülkiyet halka ait tamsayılar kullanılan bir olmasıdır tamlık GCF içinde . Gösteri, dejenere durumlarda geçerliliğini korur.
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Kaynakça
(en) Paulo Ribenboim , Numaralarım, Arkadaşlarım: Sayı Teorisi Üzerine Popüler Dersler , Springer ,2006( çevrimiçi okuyun ) , böl. 1
Dış bağlantı
(tr) Eric W. Weisstein , " Lucas Sequence " , MathWorld'de
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">