En az eylem ve genel görelilik ilkesi
Genel görelilik denklemlerini, özellikle de kütleçekim alanı denklemlerini elde etmek için en az eylem ilkesinin 1915'te ilk kullanımını David Hilbert'e borçluyuz .
Genel görelilik için, özel görelilik için olduğu gibi, denklemler en az eylem ilkesine başvurmadan elde edilebilir: "kütleçekim alanını her zaman yerel olarak iptal eden bir referans çerçevesi bulabiliriz" biçiminde ifade edilen eşdeğerlik ilkesi , doğrudan bir parçacığın hareket denklemlerini bulmanız; ve kovaryant türev tarafından iptal edilen geometrik tensör şeklinin benzersizliği, Élie Cartan tarafından kanıtlanan benzersizlik , Einstein'ın orijinal yöntemi olan yerçekimi alanının denklemlerini bulmaya izin verir (söz konusu benzersizlik henüz o zaman kanıtlanmış).
Genel görelilik denklemleri verilirse, ilkenin uygulanmasına izin veren eylemi çıkarabiliriz. Özellikle jeodezik denklemlerle ilgili ölçüyü bulabiliriz .
ds2{\ displaystyle ds ^ {2} \,}![{\ displaystyle ds ^ {2} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d554803fffead08dbf14e08276551c79bf81ba)
Parçacık
Yerçekimi alanındaki parçacık
Bu çalışmada, parçacığın çevresini değiştirmediği hipotezini kullanıyoruz: parçacığın kütlesi veya konumu çekim alanını değiştirmez , bu nedenle bu kütle "küçük" olmalıdır.
Einstein'ın eşdeğerlik ilkesi sayesinde , yerçekimi yerel olarak hızlandırılmış bir referans çerçevesi seçimine eşdeğerdir.
Özel göreliliğin bir parçası olarak, hızlandırılmış bir çerçeve (koordinatlar ) alarak , yerel algı yerçekimsel bir alandır ve eylemsiz bir referans çerçevesine (koordinat ) göre referans değişikliği, önemsiz katsayılara sahip bir metrik empoze eder . Özel görelilikte en az eylem ilkesi nedeniyle bu referans çerçevesinde hareket denklemlerinin belirlenmesi yeterlidir.
(x0′;x1′;x2′;x3′){\ displaystyle \ (x '_ {0}; x' _ {1}; x '_ {2}; x' _ {3})}
(x0;x1;x2;x3){\ displaystyle \ (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}
ds2=(x0)2-(x1)2-(x2)2-(x3)2=gbenj(x′)xben′xj′{\ displaystyle \ ds ^ {2} = (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - (x_ {2}) ^ {2} - (x_ {3}) ^ {2} = g ^ {ij} (x ') x' _ {i} x '_ {j}}![{\ displaystyle \ ds ^ {2} = (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - (x_ {2}) ^ {2} - (x_ {3}) ^ {2} = g ^ {ij} (x ') x' _ {i} x '_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93198c882d20f0555b285ee1c0266c9a9acf4a8)
Eşdeğerlik ilkesi, gerçek bir yerçekimi alanının (referans çerçevesinin seçiminden dolayı değil) metrik tarafından da belirlendiğini (ve metriğin yerçekimi alanı tarafından belirlendiğini) söylemeyi mümkün kılar ; Bir referans çerçevesi değişikliğiyle neden olunmayan ve bu nedenle yerel bir uzay-zaman alanının ötesinde telafi edilemeyen bir metriğin kullanılması, uzay-zamanın Öklid olmadığını ima etse de (açıklanan dönen diskin düşünce deneyine bakın) içinde genel görelilik :) ve o zaman yeni bir teori inşa etmek özel görelilik çerçevesi dışında gitmek genel görelilik .
ds2{\ displaystyle \ ds ^ {2}}
ds2=gbenj(x)xbenxj=gbenjxbenxj{\ displaystyle \ ds ^ {2} = g ^ {ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g ^ {ij} x_ {i} x_ {j}}![{\ displaystyle \ ds ^ {2} = g ^ {ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g ^ {ij} x_ {i} x_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54da33d4cd60b4033b54cf8cf56409f8b5f63904)
Bu nedenle, özel göreliliğin sürekliliği içinde kalabiliriz ve tek başına yerçekiminden etkilenen bir nokta parçacığının sonsuz küçük hareketinin genel görelilikte şöyle olduğunu onaylayabiliriz:
dS=-mvsgbenjdxbendxj{\ displaystyle dS = -mc {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}
burada genellikten hiçbir şey koparmadan bunu varsayıyoruz .
gbenj=gjben{\ displaystyle \ g ^ {ij} = g ^ {ji}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij} = g ^ {ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b8584650ae4e243416c383b2198066c5daf97a)
Parçacığın sekizinci zamanı olduğu gerçeğini kullanarak, uzay-zamanda iki nokta arasındaki en aza indirilmiş eylem , özel görelilikte olduğu gibi, A noktasından B noktasına gitmenin sekizinci zaman olduğunu ve prensip. Jeodezik, parçacığın kendi zamanını (yerel olarak) maksimize eden yollardır .
ds=gbenjdxbendxj{\ displaystyle \ ds = {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}
S=-mvs∫ATBds{\ displaystyle \ S = -mc \ int _ {A} ^ {B} ds}![{\ displaystyle \ S = -mc \ int _ {A} ^ {B} ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8394718280722f97507648831023bdb1598a35d6)
Fiziksel tutarlılığı korumak için , sürekli olduğunu varsaymamız gerekir ; bilinen araçlarla, yani türetmelerle çalışabilmek için, ama aynı zamanda yerçekimi alanının sürekli olduğunu varsaymak için, bunların türevlenebilir olduklarını varsaymak gerekir. Daha sonra, Einstein'ın denklemleri için, bunların C 2 olduğunu varsaymak elzem olacaktır .
gbenj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Herhangi bir zamanda göz önünde bulundurarak :
t0{\ displaystyle \ t_ {0}}![{\ displaystyle \ t_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fdad18377dd2cf65ddf58d31ac5cb20bca7e79)
dSdt0=L0=-mvsgbenjVbenVj{\ displaystyle {\ frac {dS} {dt_ {0}}} = L_ {0} = - mc {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}
Buradaki katsayıya böldükten sonra her zaman Euler-Lagrange denklemleri kullanılır .
d dt0∂L0∂Vk - ∂L0∂xk = 0 {\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} {\ frac {\ kısmi L_ {0}} {\ kısmi V_ {k}}} \ - \ {\ frac {\ kısmi L_ { 0}} {\ kısmi x_ {k}}} \ = \ 0 ~~}
-mvs{\ displaystyle \ -mc}![{\ displaystyle \ -mc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9e1ca791f0437dbb6ae823111daa880ddfad23)
Gösteri Ayrıntıları
Elde ederiz : d dt0(2.gbenkVben2.gbenjVbenVj)- ∂kgbenj.VbenVj2.gbenjVbenVj = 0 {\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {2.g ^ {ik} V_ {i}} {2. {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}} \ sağ) - \ {\ frac {\ kısmi ^ {k} g ^ {ij} .V_ {i} V_ {j}} {2. {\ Sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}} \ = \ 0 ~~}
Şimdi uygun zamanı alarak , türetmeyi basitleştiren eşitliği kullanabiliriz ,
t0={\ displaystyle t_ {0} =}
gbenjVbenVj=vs{\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}} = c}
d dt0{\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}}}![{\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929f908502f0e71205a89def2865f4f63b89cdc3)
sonucu değiştirmeden ileriye doğru kayarsak ve
d dt0(gbenkVbengbenjVbenVj)=1vs.(∂değilgbenk.VdeğilVben+gbenkVben˙){\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ left ({\ frac {g ^ {ik} V_ {i}} {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}} \ right) = {\ frac {1} {c}}. (\ kısmi ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} + g ^ {ik} {\ nokta {V_ {i}}})}
Ağırlıklı olarak estetik nedenlerle kullanacağımızı belirterek ve endeksleri sadece i, j ve k kullanacak şekilde değiştirerek,
∂değilgbenk.VdeğilVben=12.(∂değilgbenk.VdeğilVben+∂bengdeğilk.VdeğilVben){\ displaystyle \ kısmi ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} = {\ frac {1} {2}}. (\ kısmi ^ {n} g ^ {ik} .V_ { n} V_ {i} + \ kısmi ^ {i} g ^ {nk} .V_ {n} V_ {i})}![{\ displaystyle \ kısmi ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} = {\ frac {1} {2}}. (\ kısmi ^ {n} g ^ {ik} .V_ { n} V_ {i} + \ kısmi ^ {i} g ^ {nk} .V_ {n} V_ {i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2932b5d53854435e255e70d5957dedd3a38ffc)
Euler-Lagrange denklemleri şunu verir: gbenkVben˙+12.(-∂kgbenj+∂bengjk+∂jgbenk)VbenVj=0{\ displaystyle g ^ {ik} {\ dot {V_ {i}}} + {\ frac {1} {2}}. (- \ kısmi ^ {k} g ^ {ij} + \ kısmi ^ {i} g ^ {jk} + \ kısmi ^ {j} g ^ {ik}) V_ {i} V_ {j} = 0}
Eşitlik
ve Christoffel'in sembolü ile : gkmgkben=δmben{\ displaystyle \ g_ {km} g ^ {ki} = \ delta _ {m} ^ {i}}
Γmbenj=12.gkm(-∂kgbenj+∂bengjk+∂jgbenk){\ displaystyle \ Gama _ {m} ^ {ij} = {\ frac {1} {2}}. g_ {km} (- \ kısmi ^ {k} g ^ {ij} + \ kısmi ^ {i} g ^ {jk} + \ kısmi ^ {j} g ^ {ik})}
Denklemi alıyoruz:
V˙m+ΓmbenjVbenVj=0{\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gama _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}
biz de yazabiliriz:
d2xkds2+Γkbenjdxbendsxjds=0{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x_ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gama _ {k} ^ {ij} {\ frac {dx_ {i}} {ds}} { \ frac {x_ {j}} {ds}} = 0}
veya:
DVkds=0{\ displaystyle {\ frac {DV_ {k}} {ds}} = 0}
: “eşdeğişkin türevi” ile ve , için doğru zamanda.
DVk=dVk+ΓkbenjVbendVj{\ displaystyle DV_ {k} = dV_ {k} + \ Gama _ {k} ^ {ij} V_ {i} dV_ {j}}
DVk=dVk+ΓbenjkVbendVj{\ displaystyle DV ^ {k} = dV ^ {k} + \ Gama _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dV ^ {j}}
Vk=dxkdt0{\ displaystyle \ V_ {k} = {\ frac {dx_ {k}} {dt_ {0}}}}
t0={\ displaystyle \ t_ {0} =}![{\ displaystyle \ t_ {0} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d18c9e9696f00442d22f9fa43fd7829246846f)
Christoffel'in sembolü , hareket denklemlerinde yerçekiminin tezahürü olarak öne çıkıyor.
Γkbenj{\ displaystyle \ Gama _ {k} ^ {ij}}![{\ displaystyle \ Gama _ {k} ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb5208d336eda0ce39cb64ee789cd3ff952f1a5)
Hareket denklemleri parçacığın kütlesine bağlı değildir (uzaysal kapsamını ve çevresi üzerindeki etkisini ihmal ettiğimiz için bu şekilde adlandırılmıştır): tüm parçacıklar aynı yörüngeleri izler (aynı başlangıç koşulları altında), sadece yerçekiminin varlığında genel görelilikte jeodezikler.
Bununla birlikte, bu hareket denklemleri sıfır kütleli bir parçacık için geçerli değildir çünkü bu durumda, yukarıda yapılan tüm hesaplamaları yasaklayan baştan beri var ; Bir de sıfır kütleli bir parçacık için uygun zaman geçmediği için (bkz. Sınırlandırılmış Görelilik ), terimin hiçbir durumda anlamı olamaz. Parçacıkla ilişkili dalganın bir anlamı olan bir denkleme sahip olduğunu düşünmeliyiz, dahası genel görelilik yazılırken ışık bir parçacık ( sıfır kütleli foton ) yerine bir dalga (elektromanyetik) olarak anlaşıldı .
dS=0 {\ displaystyle ~ dS = 0 ~~}
ds=vs.dt0=0 {\ displaystyle ~ ds = c.dt_ {0} = 0 ~~}
V˙m{\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m}}![{\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d9851f8e745aaae350f44cba57a418d68b5543)
Özel göreliliğe benzer şekilde , bir elektromanyetik alandaki bir nokta yük parçacığının sonsuz küçük görelilik eyleminin tanımı da şöyledir .
e{\ displaystyle \ e}
L.dt= -mvs.gbenjdxben.dxj-e.ATj.dxj{\ displaystyle \ L.dt = \ -mc. {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} - eA ^ {j} .dx_ {j}}![{\ displaystyle \ L.dt = \ -mc. {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} - eA ^ {j} .dx_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e3fe611b99618c4a5a93d7dc749d387207eb98)
Tamamen benzer hesaplamalarla, hareket denklemlerini türetiyoruz:
m.(V˙k+ΓbenjkVbenVj)=e.Vj.Fkj{\ displaystyle m. ({\ nokta {V}} ^ {k} + \ Gama _ {ij} ^ {k} V ^ {i} V ^ {j}) = e.V_ {j} .F ^ { KJ}}
yazabileceğimiz:
mvs.(d2xkds2+Γbenjkdxbendsdxjds)=e.Fkjdxjds{\ displaystyle mc. \ left ({\ frac {d ^ {2} x ^ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gama _ {ij} ^ {k} {\ frac {dx ^ {i }} {ds}} {\ frac {dx ^ {j}} {ds}} \ right) = eF ^ {kj} {\ frac {dx_ {j}} {ds}}}
veya:
mvs.DVkds=e.FkjVj{\ displaystyle mc. {\ frac {DV ^ {k}} {ds}} = eF ^ {kj} V_ {j}}
Lagrangian yoğunluğunu, ardından denklemleri belirlemek için, yukarıda tartışılan bazı hususları ve hatta bazı yenilerini geliştirmek gerekir.
Eğri uzayda Lagrange yoğunluğu
Alanın yörüngesinin, gözlemlendiği referans çerçevelerine göre değişmezliği nedeniyle, onu karakterize eden eylem , referans çerçevesinin değişmesiyle değişmez olmalıdır.
Sg=∫LdΩ{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega}![{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f38236295a85d99ab9530494d06a4ee2cf038b)
Lagrange yoğunluğunu doğrulayan ayrıntılar
Eylemin iki farklı referans çerçevesinde olmasına izin verin .
Sg=∫LdΩ=∫L′dΩ′{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '}![{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75f8e25ec75a63b7e1fbfd277dccd5ffbdfc831)
Elimizde: ve dΩ=dx0.dx1.dx2.dx3{\ displaystyle \ d \ Omega = dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}
dΩ′=dx0′.dx1′.dx2′.dx3′=J.dx0.dx1.dx2.dx3{\ displaystyle \ d \ Omega '= dx' _ {0} .dx '_ {1} .dx' _ {2} .dx '_ {3} = J.dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}
nerede olduğunu Jakobyan değişkenlerin değişim.
J{\ displaystyle \ J}![{\ displaystyle \ J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b76908898a1720a1694bff403ed3a1fd84d180)
Sahibiz : J=|det(∂xben′∂xj)| {\ displaystyle J = \ sol | \ det \ sol ({\ frac {\ kısmi x '_ {i}} {\ kısmi x_ {j}}} \ sağ) \ sağ | ~}
Veya : determinantları alarak .
ds2=gbenjdxbendxj=g′kldxk′dxl′→ gkl=∂xben′∂xk.∂xj′∂xlg′benj→g=J2.g′{\ displaystyle ds ^ {2} = g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j} = g '^ {kl} dx' _ {k} dx '_ {l} \ ile \ g ^ {kl} = {\ frac {\ kısmi x '_ {i}} {\ kısmi x_ {k}}}. {\ frac {\ kısmi x' _ {j}} {\ kısmi x_ {l}}} g '^ {ij } \ - g = J ^ {2} .g '}![{\ displaystyle ds ^ {2} = g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j} = g '^ {kl} dx' _ {k} dx '_ {l} \ ile \ g ^ {kl} = {\ frac {\ kısmi x '_ {i}} {\ kısmi x_ {k}}}. {\ frac {\ kısmi x' _ {j}} {\ kısmi x_ {l}}} g '^ {ij } \ - g = J ^ {2} .g '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173fe5452c7005e86416b5850027894d93d48497)
Bu nedenle: J=|g|12|g′|12{\ displaystyle J = {\ frac {| g | ^ {\ frac {1} {2}}} {| g '| ^ {\ frac {1} {2}}}}}
Böylece , referans çerçevelerindeki değişikliklere göre alanın sabitidir.
Sg=∫LdΩ=∫L′dΩ′=∫L′.JdΩ→L=L′.J→L.|g|-12=L′.|g′|-12=Λ{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '= \ int L'.Jd \ Omega \ ila L = L'.J \ ila L | g | ^ {- { \ frac {1} {2}}} = L '. | g' | ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ Lambda}![{\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '= \ int L'.Jd \ Omega \ ila L = L'.J \ ila L | g | ^ {- { \ frac {1} {2}}} = L '. | g' | ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ Lambda}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b9c9579698066f78805edabced722c51de8233)
Bu nedenle amaç, referans çerçevelerindeki değişikliklere göre değişmeyen alanın skalerlerini bulmaktır.
Alanın skalerini not ederek , referans çerçevelerindeki değişikliklerle karşılaştırıldığında değişmez, Lagrangian yoğunluğu şöyle olacaktır: Λ{\ displaystyle \ \ Lambda}
L=Λ.|g|12{\ displaystyle \ L = \ Lambda. | g | ^ {\ frac {1} {2}}}
Élie Cartan'ın tarzında
Matematiksel terimlerle, yukarıdaki hususlar tarafından tanımlanan dört boyutlu uzay, bir C 2 manifoldudur ; burada dört hız, türetdiğimiz noktaya teğet vektör uzayına ait vektörlerdir , bu vektör uzayı metrik ile sağlanır .
gbenj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Koordinatların , herhangi bir koordinat sistemi ile sağlanan ve gözlemcinin fiziksel referans çerçevesinin keyfi seçimini temsil eden manifold noktalarının koordinatları olduğunu hatırlayın .
(x0;x1;x2;x3){\ displaystyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}![{\ displaystyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd3615003dbb3481a738f9c960e69c0bda2a737)
Jeodezikleri etkileyen yerçekimi ölçümü, tek bir orijinal vektörün iki farklı jeodezik yolla aynı son noktaya taşınmasından kaynaklanan iki vektör arasındaki yönelim farkı aracılığıyla yapılabilir.
- Jeodezik denklemi eşdeğerdir .V˙m+ΓmbenjVbenVj=0{\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gama _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}
dVkdt0=-ΓkbenjVbenVj{\ displaystyle {\ frac {dV_ {k}} {dt_ {0}}} = - \ Gama _ {k} ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}![{\ displaystyle {\ frac {dV_ {k}} {dt_ {0}}} = - \ Gama _ {k} ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2443f4be02a9284a27dec626900ac52e2909060)
Çünkü çıkardık ; tanımından gördüğümüz gibi sahip olduğumuzu bilerek, yazabiliriz de .
Vj=dxjdt0{\ displaystyle V_ {j} = {\ frac {dx_ {j}} {dt_ {0}}}}
dVk=-ΓkbenjVbendxj{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gama _ {k} ^ {ij} V_ {i} dx_ {j}}
Γkbenj=Γkjben{\ displaystyle \ Gama _ {k} ^ {ij} = \ Gama _ {k} ^ {ji}}
dVk=-ΓkbenjdxbenVj{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gama _ {k} ^ {ij} dx_ {i} V_ {j}}![{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gama _ {k} ^ {ij} dx_ {i} V_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7413c60c61746fc6d10c828007a9a134830a2cf)
Benzer şekilde, alırız
dVk=-ΓbenjkVbendxj{\ displaystyle dV ^ {k} = - \ Gama _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dx ^ {j}}
- Koordinatlarındaki varyasyonlar , jeodezik boyunca hareket ettiğini doğrularsa , bir vektörün bir jeodezik boyunca paralel olarak taşınacağı söylenir .(ATben){\ displaystyle \ sol (A_ {i} \ sağ)}
dATk=-ΓkbenjATbendxj{\ displaystyle dA_ {k} = - \ Gama _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ {j}}
(dxj)j=0;1;2;3{\ displaystyle \ (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}}![{\ displaystyle \ (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2330fedad18593c6fc4cffb6ba94433cd0e3796f)
Elie Cartan'ın yönteminin ayrıntıları
- Manifoldun herhangi bir M noktasından, iki sonsuz küçük varyasyonu ve herhangi iki jeodezik boyunca düşünün ve dönüşümlü olarak bu jeodeziklerden birini diğerini kullanan iki farklı yolu düşünün. d{\ displaystyle \ d}
δ{\ displaystyle \ \ delta}![{\ displaystyle \ \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb0f590831365ae4855082dfe93f9458947c988)
1 st yolu:
M(xben)→M1(xben+dxben)→M2(xben+dxben+δ(xben+dxben)){\ displaystyle M (x_ {i}) \ - M_ {1} (x_ {i} + dx_ {i}) \ - M_ {2} (x_ {i} + dx_ {i} + \ delta (x_ {i } + dx_ {i}))}![{\ displaystyle M (x_ {i}) \ - M_ {1} (x_ {i} + dx_ {i}) \ - M_ {2} (x_ {i} + dx_ {i} + \ delta (x_ {i } + dx_ {i}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e50a28142af3592d56dca661b211c326dfc724d)
2 e yolu:
M(xben)→M1′(xben+δxben)→M2′(xben+δxben+d(xben+δxben)){\ displaystyle M (x_ {i}) \ - M '_ {1} (x_ {i} + \ delta x_ {i}) \ - M' _ {2} (x_ {i} + \ delta x_ {i } + d (x_ {i} + \ delta x_ {i}))}![{\ displaystyle M (x_ {i}) \ - M '_ {1} (x_ {i} + \ delta x_ {i}) \ - M' _ {2} (x_ {i} + \ delta x_ {i } + d (x_ {i} + \ delta x_ {i}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc97b414d15b0f567d9508a3060ae980ff9f348c)
Bu iki yolun aynı noktada sona ermesi için , jeodeziklerin noktalardan kullanılması ve keyfi olması nedeniyle bunun elde edilebileceği varsayılmaktadır .
dδxben=δdxben{\ displaystyle \ d \ delta x_ {i} = \ delta dx_ {i}}
M1{\ displaystyle \ M_ {1}}
M1′{\ displaystyle \ M '_ {1}}![{\ displaystyle \ M '_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9e6ab8cd633afe3245eab789c21a2a897e19fa)
- Yolların her biri boyunca paralel olarak taşınan bir vektörün koordinatlarının varyasyonlarını inceleyelim :(ATben){\ displaystyle \ sol (A_ {i} \ sağ)}
![{\ displaystyle \ sol (A_ {i} \ sağ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef7dccc1d79c206bf74bad7f2a25f36953a0852)
1 st yolu:
ATben→ATben+dVben→ATben+dATben+δ(ATben+dATben)=ATben+dATben+δATben+δdATben=Wben{\ displaystyle \ A_ {i} \ - A_ {i} + dV_ {i} \ - A_ {i} + dA_ {i} + \ delta (A_ {i} + dA_ {i}) = A_ {i} + dA_ {i} + \ delta A_ {i} + \ delta dA_ {i} = W_ {i}}![{\ displaystyle \ A_ {i} \ - A_ {i} + dV_ {i} \ - A_ {i} + dA_ {i} + \ delta (A_ {i} + dA_ {i}) = A_ {i} + dA_ {i} + \ delta A_ {i} + \ delta dA_ {i} = W_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8249a42177e6681cfa34f8c45f5b3d1e8f46f08e)
2 e yolu:
ATben→ATben+δATben→ATben+δATben+d(ATben+δATben)=ATben+δATben+dATben+dδATben=Wben′{\ displaystyle \ A_ {i} \ - A_ {i} + \ delta A_ {i} \ - A_ {i} + \ delta A_ {i} + d (A_ {i} + \ delta A_ {i}) = A_ {i} + \ delta A_ {i} + dA_ {i} + d \ delta A_ {i} = W '_ {i}}![{\ displaystyle \ A_ {i} \ - A_ {i} + \ delta A_ {i} \ - A_ {i} + \ delta A_ {i} + d (A_ {i} + \ delta A_ {i}) = A_ {i} + \ delta A_ {i} + dA_ {i} + d \ delta A_ {i} = W '_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28e7358dd9a8741343f03c3402582b4cf561936)
Sahibiz :
Wben-Wben′=δdATben-dδATben=δ(-ΓkbenjATbendxj)-d(-ΓkbenjATbenδxj){\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = \ delta dA_ {i} -d \ delta A_ {i} = \ delta (- \ Gama _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ { j}) - d (- \ Gama _ {k} ^ {ij} A_ {i} \ delta x_ {j})}![{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = \ delta dA_ {i} -d \ delta A_ {i} = \ delta (- \ Gama _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ { j}) - d (- \ Gama _ {k} ^ {ij} A_ {i} \ delta x_ {j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ec4f266c890713c7ea61d92b4c8757235945dc)
Bazı hesaplamalardan sonra şunu elde ederiz:
Wben-Wben′=(∂jΓbenlk-∂lΓbenjk+ΓplkΓbenjp-ΓpjkΓbenlp)dxjδxkATl{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = (\ kısmi ^ {j} \ Gama _ {i} ^ {lk} - \ kısmi ^ {l} \ Gama _ {i} ^ {jk} + \ Gama _ {p} ^ {lk} \ Gama _ {i} ^ {jp} - \ Gama _ {p} ^ {jk} \ Gama _ {i} ^ {lp}) dx_ {j} \ delta x_ { k} A_ {l}}
- Riemann tensörünü şu şekilde tanımlıyoruz :Rbenjkl=∂jΓbenlk-∂lΓbenjk+ΓplkΓbenjp-ΓpjkΓbenlp{\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ kısmi ^ {j} \ Gama _ {i} ^ {lk} - \ kısmi ^ {l} \ Gama _ {i} ^ {jk} + \ Gama _ { p} ^ {lk} \ Gama _ {i} ^ {jp} - \ Gama _ {p} ^ {jk} \ Gama _ {i} ^ {lp}}
Eşitlik , bu tensörün, aynı orijinal vektörden kaynaklanan iki vektör arasındaki farkı, iki farklı yoldan paralel taşıma ile ölçtüğünü gösterir .
Wben-Wben′=RbenjkldxjδxkATl{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = R_ {i} ^ {jkl} dx_ {j} \ delta x_ {k} A_ {l}}
(ATben){\ displaystyle \ sol (A_ {i} \ sağ)}
- Riemann tensörünü şu şekilde tanımlıyoruz :
Rbenjkl=∂jΓbenlk-∂lΓbenjk+ΓplkΓbenjp-ΓpjkΓbenlp{\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ kısmi ^ {j} \ Gama _ {i} ^ {lk} - \ kısmi ^ {l} \ Gama _ {i} ^ {jk} + \ Gama _ { p} ^ {lk} \ Gama _ {i} ^ {jp} - \ Gama _ {p} ^ {jk} \ Gama _ {i} ^ {lp}}
- Ricci tensör Riemann tensörü in kısaltılmış halidir:Rbenj=Rkbenkj{\ displaystyle R ^ {ij} = R_ {k} ^ {ikj}}
Formülü, simetrik bir tensör olduğunu gösterir:
Rbenj=Rjben{\ displaystyle \ R ^ {ij} = R ^ {ji}}
- Riemannsal eğrilik Ricci tensörünün kasılması ile elde edilen bir sayıdır: R=gbenjRbenj{\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}
- “ Élie Cartan yönteminin ayrıntılarında ” kullanılan tüm eşitlikler , seçilen referans çerçevesinden bağımsızdır ve bu aynı zamanda Riemann ve Ricci tensörlerinin tanımları için de geçerlidir (bu aynı zamanda kendimize tensör dememize izin vermemizin nedenidir ). Bu aynı zamanda , yerçekimi alanının değişmez skaleri olmaya aday olan eğrilik için de geçerlidir . R{\ displaystyle \ R}
Λ{\ displaystyle \ \ Lambda}![\ \ Lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32e417c91957174c71af812f812a05d3ac3c2e0)
-
Élie Cartan , referans çerçevesinin değişmesiyle değişmeyen skalerlerin formda olduğunu gösterdi . αR+β {\ displaystyle \ \ alpha R + \ beta ~}
![{\ displaystyle \ \ alpha R + \ beta ~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b787d5877ecbea62c9d87ac5f9fc17b03d7714b)
α{\ displaystyle ~ \ \ alpha}![{\ displaystyle ~ \ \ alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e089c03621b8df53f237e5b5f694ce462affc2b7)
basitçe birim değişikliğinin her zaman mümkün olduğunu gösterir ,
kozmolojik sabiti tanıtmaya izin verir .
β{\ displaystyle \ \ beta}![{\ displaystyle \ \ beta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76b9bdff3e27343f8157af06a1008c9688a3f46)
Analitik araçlar
Eğri uzayda eylemsizlik ilkesinin bir uygulaması
Çalışmamızın gerçekten de en az eylem ilkesinin bir sonucu olması için, burada kullanılan yöntem, manifoldun özelliklerini teğet uzaylarının metriğinden belirlemekten ibarettir.
- Teğet vektör uzayları (boyut 4'ün) "doğal" temelleri ile sağlanır { }: teğet uzayını düşündüğümüz nokta buysa , ortaya koyarız ; sık sık yazdıklarımız . e→ 0;e→ 1;e→ 2;e→ 3{\ displaystyle \ \ {{\ vec {e}} ^ {~ 0}; {\ vec {e}} ^ {~ 1}; {\ vec {e}} ^ {~ 2}; {\ vec {e }} ^ {~ 3}}}
M(x0;x1;x2;x3){\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}
e→ ben=( ∂xj∂xben )j=0,1,2,3{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ sol (~ {\ frac {\ kısmi x_ {j}} {\ kısmi x_ {i}}} ~ \ sağ) _ {j = 0, 1,2,3}}
e→ ben=∂ ∂xben{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ frac {\ kısmi ~} {\ kısmi x_ {i}}}}![{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ frac {\ kısmi ~} {\ kısmi x_ {i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a917a4edae2d08a49b1455f6d00bf437ac37c25)
Jeodezik denklemler, koordinatlarla veya bu yörünge boyunca dörtlü hız ile ilgili özelliklerdir , bir kuadri vektörünün uzayın bir noktasından diğerine değişimi (türetilmesi) için veya hatta türetme için bir gösterge vermezler. dörtlü hız vektörünün .
dxbendtÖ{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt_ {o}}}}
dxbends{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {ds}}}
e→ ben{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i}}
V→=Vbene→ ben{\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}![{\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53150d56aef71bb7efa8252438040f93b4a0ee7c)
Bunun için, genel görelilik için uyarlanmış yeniden yazılmış bir fiziksel ilkeyi kullanabiliriz:
-
Eylemsizlik ilkesi : bir jeodezik boyunca ve harici müdahalenin yokluğunda, bir parçacığın (quadri-) hız vektörü sabittir.
Demek ki :
dV→=0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}![{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38cd774105322fc76ebc1ce7dc0dab5e6c4a592)
Biz alırız:
dV→=0→=dVben.e→ ben+Vben.de→ ben=-ΓbenjkdxjVk.e→ ben+Vben.de→ ben{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}} = dV_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec {e} } ^ {~ i} = - \ Gama _ {i} ^ {jk} dx_ {j} V_ {k}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec { e}} ^ {~ i}}![{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}} = dV_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec {e} } ^ {~ i} = - \ Gama _ {i} ^ {jk} dx_ {j} V_ {k}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec { e}} ^ {~ i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323fc15bbdaefa77f788e950bd10c68f5d08770c)
İlk dörtlü vektör hızı gelişigüzel olduğunda, şu elde edilir:
de→ ben=Γkbenjdxje→ k{\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ Gama _ {k} ^ {ij} dx_ {j} {\ vec {e}} ^ {~ k}}
Jeodezik denklemlerini analiz ederek veya koordinatların “eksenlerinin” zorunlu olarak jeodezik olmadığı gerçeğini hesaba katarak, dörtlü hız vektörünün koordinatlarının sabit olduğunu doğrulayamayız.
Seçim hakkında
dV→=0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}
- Türetmek, "hareketin yönünü gösteren çizgiyi belirlemek" anlamına gelir. Bütün sorun, koordinat sistemi eğri bir uzayda bile gelişigüzel olduğunda düz bir çizginin ne olduğunu bilmektir; çizgiler belirlendikten sonra türetme tanımlanabilir.
- Bizi ilgilendiren çerçevede, deneyci bir Minkowski uzayındayken ve muhtemelen orada yerçekimini tetikleyen herhangi bir koordinat sistemini seçtiğinde, türetme çizgileri, aynı zamanda eylemsizlik hareketi olan Minkowski uzayının çizgileridir. Yeni bir türetme tanımlamadıkça, eşitlik esastır.dV→=0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}
![{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38cd774105322fc76ebc1ce7dc0dab5e6c4a592)
- Deneyci, yerçekiminin olduğu bir referans çerçevesindeyken ve bu yerçekiminin nedenleri hakkında bilgi bulunmadığında (bir kütle nedeniyle veya hızlandırılmış bir referans çerçevesi veya her ikisi nedeniyle) bir fizikçi olarak erişime sahiptir, eylemsizlik hareketine sahiptir: bu nedenle türetme tarafından tanımlanır .dV→=0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}
![{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38cd774105322fc76ebc1ce7dc0dab5e6c4a592)
Ancak bu seçim, referans çerçevesinde eylemsizlik hareketinin gerçekten de düz bir çizgi izlediği varsayımına dayanmaktadır. Deneyci kendi referans çerçevesinin eksenlerini düz çizgiler olarak seçerse, bu nedenle , gözlemlenen "eylemsizlik" hareketi düz değildir ( ) ve bir kuvvet (yerçekimi) nedeniyle yorumlanabilir.
de→ ben=0→{\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ vec {0}}}
dV→≠0→{\ displaystyle d {\ vec {V}} \ neq {\ vec {0}}}![{\ displaystyle d {\ vec {V}} \ neq {\ vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2656b0303d13255eb755e7febc76e29faf36d590)
Bu iki seçenek, hayal edilebilecek diğerleri gibi, yalnızca yerel olarak geçerlidir: Birincisi, yerçekimini bir Minkowski uzayında hızlandırılmış bir referans çerçevesine yerel olarak asimile eder, ikincisi, başlangıçta doğru olan bir uzayda bir kuvvet varsayar; uzay-zamanı kendi yöntemleriyle düzelten, ancak yerel olarak yapılabilen iki seçenek.
Kovaryant türev
Izin vermek noktaya teğet uzayda bir quadri-vektör olsun .
AT→(x)=ATbene→ ben{\ displaystyle {\ vec {A}} (x) = A_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}
M(x0;x1;x2;x3){\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}![{\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69d4af04f8910bf1612b81c173f4480324d71fb)
Sahibiz : dAT→(x)=(dATben)e→ ben+ATbend(e→ ben)=(∂jATben+ATkΓbenjk)e→ bendxj=DjATben.e→ bendxj{\ displaystyle d {\ vec {A}} (x) = (dA_ {i}) {\ vec {e}} ^ {~ i} + A_ {i} d ({\ vec {e}}} ^ { ~ i}) = (\ kısmi ^ {j} A_ {i} + A_ {k} \ Gama _ {i} ^ {jk}) {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j} = D ^ {j} A_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j}}
Kovaryant türevi şu şekilde tanımlayarak :
DjATben=∂jATben+ΓbenjkATk{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ kısmi ^ {j} A_ {i} + \ Gama _ {i} ^ {jk} A_ {k}}
Emlak :
DjATbenl=∂jATbenl+ΓbenjkATkl+ΓljkATbenk{\ displaystyle D ^ {j} A_ {il} = \ kısmi ^ {j} A_ {il} + \ Gama _ {i} ^ {jk} A_ {kl} + \ Gama _ {l} ^ {jk} A_ {ik}}
DjATbenl=∂jATbenl+ΓbenjkATkl-ΓkjlATbenk{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} ^ {l} = \ kısmi ^ {j} A_ {i} ^ {l} + \ Gama _ {i} ^ {jk} A_ {k} ^ {l} - \ Gama _ {k} ^ {jl} A_ {i} ^ {k}}
Ve pozisyonlarına göre bir tensörün tüm indisleri ile böyle devam eder.
Riemann tensörlerini vb. Nerede buluyoruz?
Kovaryant türevi kullanarak ve birkaç hesaplamaların ardından buluruz: .
(DbenDj-DjDben)ATk=Rkl,benjdxbendxjATl{\ displaystyle \ sol (D ^ {i} D ^ {j} -D ^ {j} D ^ {i} \ sağ) A_ {k} = R_ {k} ^ {l, ij} dx_ {i} dx_ {j} A_ {l}}![{\ displaystyle \ sol (D ^ {i} D ^ {j} -D ^ {j} D ^ {i} \ sağ) A_ {k} = R_ {k} ^ {l, ij} dx_ {i} dx_ {j} A_ {l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7464d32d28cd6c2cd7bb52bcea3537778de993b)
Böylece, "Elie Cartan tarzında" tanıtılan kavramları elde ederiz.
Eşitlikler ve faydalı özellikler
- Ricci teoremi: ve Dkgbenj=0 {\ displaystyle \ D_ {k} g ^ {ij} = 0 ~ \ quad ~}
Dkgbenj=0 {\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}
- Poz vererek şunlara sahibiz: g=det(gbenj){\ displaystyle \ g = \ det (g ^ {ij}) \ qquad}
|g|=-ggbenj.gbenj=δbenben=4 dg=g gbenj dgbenj{\ displaystyle | g | = -g \ qquad g ^ {ij} .g_ {ij} = \ delta _ {i} ^ {i} = 4 \ qquad \ dg = g ~ g_ {ij} ~ dg ^ {ij }}
- Ostrogradski teoremi: tensör ne zaman .∫V-g DbenATben dΩ=∮∂V-gATben dSben{\ displaystyle \ int _ {V} {\ sqrt {-g}} ~ D_ {i} A ^ {i} ~ d \ Omega = \ anint _ {\ kısmi V} {\ sqrt {-g}} A ^ {i} ~ dS_ {i}}
ATben{\ displaystyle \ A ^ {i}}![{\ displaystyle \ A ^ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855901b47d5a281a58bd5dc46b646c3e1cf978da)
Eşitlik taslakları
- Aynı teğet uzayda tanımlanan tensörlerin toplamı, farkı ve Einstein toplamı bir tensör verir; diğer yandan farklı teğet uzaylarda tanımlanan tensörler hakkındaysa, bunun bir tensör verdiğinden emin değildir.
Örneğin:
Christoffel sembolü metrik tensörden tanımlanır. Jeodezik denklem bize, tensör olmasına rağmen, iki farklı teğet uzayda tanımlanan iki tensör (dörtlü vektörler ve ) arasındaki bir farkla oluşturulabilen kullanılarak tanımlanabileceğini gösterir: Christoffel sembolü, o, bir tensör değildir (hariç belirli durumlar), tanım formülü kullanılarak gösterilebileceği gibi.
Γbenjk.Vk=∂jVben{\ displaystyle \ Gama _ {i} ^ {jk} .V_ {k} = \ kısmi ^ {j} V_ {i}}
∂jVben{\ displaystyle \ \ kısmi ^ {j} V_ {i}}
Vl(xm){\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m})}
Vl(xm+dxm){\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m} + dx_ {m})}![{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m} + dx_ {m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9164d048084e9812f1e8d066a165abb45a9396d)
- Herhangi bir noktada gösterilen gerici bir eşitlik, ancak belirli bir referans çerçevesi kullanılarak, bu noktada ve tüm referans çerçeveleri için gerçek bir eşitliktir: bu, tensörleri kullanmanın temel ilgi alanıdır.
Örneğin, herhangi bir noktada ağırlıksızlıkta (yerçekimi alanındaki serbest düşüşte), yani bunun için bir referans çerçevesi vardır . Böyle bir referans çerçevesinde, bir tensöre sahibiz ve ne zaman var : bu, referans çerçevesi ne olursa olsun doğru olacak bir tensör eşitliğini gerekçelendirmek için daha basittir.
Γbenjk=0{\ displaystyle \ Gama _ {i} ^ {jk} = 0}
Rbenj,kl=∂jΓbenlk-∂lΓbenjk{\ displaystyle R_ {i} ^ {j, kl} = \ kısmi ^ {j} \ Gama _ {i} ^ {lk} - \ kısmi ^ {l} \ Gama _ {i} ^ {jk}}
DjATben=∂jATben{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ kısmi ^ {j} A_ {i}}
ATben{\ displaystyle \ A_ {i}}![{\ displaystyle \ A_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f402ff8059031f6c485312e35156419e5d15808)
Dış durumda Einstein'ın yerçekimi alanı denklemleri
Tensörler, fizikçinin gözlem noktası ve referans çerçevesi ne olursa olsun eşitliklerin doğru olduğundan emin olmak için kullanılır. Tensörler, yalnızca gözlem noktası ve teğet uzayı ile ilgili bilgileri taşır, birdenbire orada kullanılan ve ondan üretilen bilgi yalnızca yereldir: tensörler hakkındaki bilgidir, evrensel olarak geçerli verilerden ayrı olarak, örn. sabit c, G ve orada bulunabilen diğerleri.
Alanın denklemlerinin ilk durumu, maddenin (yerel olarak) olmadığı durumdur: kişi, "konuyla" ima edilen "dış durum" hakkında konuşur.
Bu durumda, eylemin sadece bileşen yerçekimsel alanın bileşenidir , birimlerin seçimi ile ilgili bir sabittir: MKSA üniteleri için, birini alır , işaret nedeniyle eylem minimize ilkesine olmak .
Sg=K.∫-g.R.dΩ{\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}
K{\ displaystyle \ K}
K=-vs34πG{\ displaystyle \ K = - {\ frac {c ^ {3}} {4 \ pi G}}}
-{\ displaystyle \ -}![{\ displaystyle \ -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6805530f305c6b7f4b9d4ab5cc72ed75f5cef8)
Yerçekimi alanının denklemlerini simetrik olan enerji yoğunluğu tensörleri biçiminde bulmak için, Lagrangian'ı eylemin integrali altında dönüştürmek, Euler-Lagrange denklemlerini kullanmaktan daha kolaydır. Varyasyon ilkesi, Lagrangian yerçekiminin tezahürü olan metrik terimlerinin yukarıda uygulanan eşdeğerlik ilkesine göre değiştirilmesiyle uygulanır.
gbenj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Dış durumdaki Einstein denklemlerinin kanıtı
Eşitliğini kullanarak , elimizdeki
R=gbenjRbenj{\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}![{\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec3ea78b2ae84f246c6981bfebd23ff9db760e2)
δSg=K.∫δ(-g.gbenj.Rbenj)dΩ{\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ delta \ sol ({\ sqrt {-g}}. g_ {ij} .R ^ {ij} \ sağ) d \ Omega}
=K[∫δ(-g)gbenjRbenjdΩ+∫-g.δ(gbenj).RbenjdΩ+∫-g.gbenj.δ(Rbenj)dΩ]{\ displaystyle = K [\ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. \ delta (g_ {ij }). R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. G_ {ij}. \ Delta (R ^ {ij}) d \ Omega]}
Biz var çünküδ(-g)=-δg2-g=-12-gg.gbenk.δgbenk=-12-g.gbenkδgbenk{\ displaystyle \ delta ({\ sqrt {-g}}) = {\ frac {- \ delta g} {2 {\ sqrt {-g}}}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} g.g_ {ik}. \ delta g ^ {ik} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}}. g ^ {ik} \ delta g_ {ik}}
gbenk.gbenk=4→δ(gbenk).gbenk=-gbenk.δ(gbenk){\ displaystyle g ^ {ik} .g_ {ik} = 4 \ to \ delta (g ^ {ik}). g_ {ik} = - g ^ {ik}. \ delta (g_ {ik})}
İçin 1 st integrali oldu ∫δ(-g)gbenjRbenjdΩ=∫δ(-g)RdΩ=-12∫gbenj.R.-g.δgbenjdΩ{\ displaystyle \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega = \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) Rd \ Omega = - { \ frac {1} {2}} \ int g ^ {ij} .R. {\ sqrt {-g}}. \ delta g_ {ij} d \ Omega}
2 nd kravat değişmeden kalır.
İçin 3 rd integrali, hesaplamaları basitleştirmek için, biz bir referans ağırlıksız çerçeve içinde kendimize yer ve biz bu nedenle var . (Ama genel olarak Christoffel sembolü bir tensör olmadığı için).
Rbenj=∂lΓlbenj-∂benΓllj{\ displaystyle \ R ^ {ij} = \ kısmi ^ {l} \ Gama _ {l} ^ {ij} - \ kısmi ^ {i} \ Gama _ {l} ^ {lj}}
∂lΓlbenj≠DlΓlbenj{\ displaystyle \ kısmi ^ {l} \ Gama _ {l} ^ {ij} \ neq D ^ {l} \ Gama _ {l} ^ {ij}}![{\ displaystyle \ kısmi ^ {l} \ Gama _ {l} ^ {ij} \ neq D ^ {l} \ Gama _ {l} ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1faff72f7e19400f908b31b88f7ad0a6391d06ac)
Bu nedenle , varyasyonunun bu noktada referans çerçevesini ağırlıksız bıraktığını varsayarsak, bu da onlar için hala olası varyasyonların sonsuzluğunu bırakır .
δ(Rbenj)=δ∂lΓlbenj-δ∂benΓllj=∂lδΓlbenj-∂benδΓllj{\ displaystyle \ delta \ sol (R ^ {ij} \ sağ) = \ delta \ kısmi ^ {l} \ Gama _ {l} ^ {ij} - \ delta \ kısmi ^ {i} \ Gama _ {l} ^ {lj} = \ kısmi ^ {l} \ delta \ Gama _ {l} ^ {ij} - \ kısmi ^ {i} \ delta \ Gama _ {l} ^ {lj}}
gbenj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}
gbenj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Sembolün Christoffel'in sembolü olduğu herhangi bir arşivde, aynı noktada ancak değiştirilmiş
terimlerleδΓlbenj=Γlbenj-(Γlbenj)′{\ displaystyle \ delta \ Gama _ {l} ^ {ij} = \ Gama _ {l} ^ {ij} - \ sol (\ Gama _ {l} ^ {ij} \ sağ) '}
(Γlbenj)′{\ displaystyle \ sol (\ Gama _ {l} ^ {ij} \ sağ) '}
Γlbenj{\ displaystyle \ \ Gama _ {l} ^ {ij}}
gbenj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Aynı noktada tanımlanan iki tensör arasındaki farka sahibiz , bu nedenle bir tensördür (Christoffel sembolünün aksine).
Γkbenj.Vj=∂jVben→δΓkbenj.Vj=Γlbenj.Vj-(Γlbenj)′.Vj=∂jVben-(∂jVben)′{\ displaystyle \ Gama _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ kısmi ^ {j} V_ {i} \ ila \ delta \ Gama _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ Gama _ {l} ^ {ij} .V_ {j} - \ left (\ Gama _ {l} ^ {ij} \ sağ) '. V_ {j} = \ kısmi ^ {j} V_ {i} - \ sol (\ kısmi ^ {j} V_ {i} \ sağ) '}
δΓkbenj{\ displaystyle \ delta \ Gama _ {k} ^ {ij}}![{\ displaystyle \ delta \ Gama _ {k} ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c304a797e836f3228259ec1e34283bc55218d2)
Ve bu tensör için, ağırlıksızlık referans çerçevesinde (ve dikkate alınan noktada, varyasyonuyla olduğu gibi bırakılır ), dolayısıyla gbenj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}
∂lδΓkbenj=DlδΓkbenj{\ displaystyle \ kısmi ^ {l} \ delta \ Gama _ {k} ^ {ij} = D ^ {l} \ delta \ Gama _ {k} ^ {ij}}
δ(Rbenj)=∂lδΓlbenj-∂benδΓllj=DlδΓlbenj-DbenδΓllj{\ displaystyle \ delta \ sol (R ^ {ij} \ sağ) = \ kısmi ^ {l} \ delta \ Gama _ {l} ^ {ij} - \ kısmi ^ {i} \ delta \ Gama _ {l} ^ {lj} = D ^ {l} \ delta \ Gama _ {l} ^ {ij} -D ^ {i} \ delta \ Gama _ {l} ^ {lj}}
-g.gbenj.δRbenj=-g.[gbenj.DlδΓlbenj-gbenj.DbenδΓllj]=-g.[Dl(gbenj.δΓlbenj)-Dben(gbenj.δΓllj)]{\ displaystyle {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. [g_ {ij} .D ^ {l} \ delta \ Gama _ {l} ^ {ij} -g_ {ij} .D ^ {i} \ delta \ Gama _ {l} ^ {lj}] = {\ sqrt {-g}}. [D ^ {l} \ sol ( g_ {ij}. \ delta \ Gama _ {l} ^ {ij} \ sağ) -D ^ {i} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gama _ {l} ^ {lj} \ sağ)] }
çünkü ve ayrıca Dkgbenj=0 {\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}
Dkgbenj=0 {\ displaystyle ~ \ quad D ^ {k} g_ {ij} = 0 ~}
nereden .
-g.gbenj.δRbenj=-g.Dl(gbenj.δΓlbenj-glj.δΓbenbenj)=-g.DlATl{\ displaystyle ~ \ quad {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gama _ {l} ^ {ij} -g_ {lj}. \ delta \ Gama _ {i} ^ {ij} \ sağ) = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ { l}}![{\ displaystyle ~ \ quad {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} \ left (g_ {ij}. \ delta \ Gama _ {l} ^ {ij} -g_ {lj}. \ delta \ Gama _ {i} ^ {ij} \ sağ) = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ { l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1bee35bc91499e0d23c9cf3715fa4872f1bffa)
Dolayısıyla, Ostrogradski teoremini kullanarak, ∫-g.gbenj.δRbenjdΩ=∫-g.DlATldΩ=∫-g.ATl.dSl=0{\ displaystyle \ int {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ {l} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. A_ {l} .dS ^ {l} = 0}
Son integralin boşluğu, entegrasyon hacmini sınırlayan hiper yüzey üzerinde hesaplanması ve entegrasyon sınırında varyasyonlarının sıfır olması gerçeğinden kaynaklanmaktadır .
gbenj{\ displaystyle \ g ^ {ij}}![{\ displaystyle \ g ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9c1add9c6e627d1ded5db6757ce2e3d9144db)
Elde ederiz : δSg=K.∫(Rbenj-12gbenjR)-g.δgbenjdΩ{\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ sol (R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R \ sağ) {\ sqrt {-g}} . \ delta g_ {ij} d \ Omega}
Bunu söyleyen en az eylem ilkesi ve varyasyonların herhangi biri , kişinin yazdıklarını (ve gösterdiklerini) genellikle endeksleri düşürerek elde eder.
δSg=0{\ displaystyle \ \ delta S_ {g} = 0}
δgbenj{\ displaystyle \ \ delta g_ {ij}}
Rbenj-12gbenjR=0{\ displaystyle \ R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R = 0}![{\ displaystyle \ R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7da86cf0a208b43e1ad8dfd966345625792396)
Çıkarılan denklemler:
Rbenj-12gbenjR=0{\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = 0}
"Kasılmasını" yaparak , biz elde uzay düz olduğu anlamına gelmez ki, ancak bir hakkındadır ziyade bu minimal yüzeye orada gelişmeye çeşitli kitleler arasında gerilmiş dört boyutları ile.
gbenjRbenj-12gbenj.gbenjR=0{\ displaystyle \ g ^ {ij} R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} .g_ {ij} R = 0}
R=0{\ displaystyle \ R = 0}![{\ displaystyle \ R = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1533bc03779acaf1df6980dface0667a62f83408)
Einstein'ın dış durumdaki denklemleri bu nedenle:
Rbenj=0{\ displaystyle \ R_ {ij} = 0}
Einstein'ın iç durumda yerçekimi alanı denklemleri
Alan denklemlerinin ikinci durumu, maddenin (yerel olarak) olduğu durumdur: “iç durumdan”, yani “konudaki” durumdan söz ediyoruz.
Bu durumda, eylem, yerçekimi alanının eylemi ve yazılan elektromanyetik alan da dahil olmak üzere maddenin eyleminden oluşur .
Sg=K.∫-g.R.dΩ{\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}
Sm=1vs∫-g.ΛmdΩ{\ displaystyle \ S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ sqrt {-g}}. \ Lambda _ {m} d \ Omega}![{\ displaystyle \ S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ sqrt {-g}}. \ Lambda _ {m} d \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed121240cab5c07ca2b8c08af5970ced951e0030)
Einstein'ın iç durumda denklemlerinin kanıtı
Aynı varyasyonel yöntemi kullanarak , bunu bilerek , parçalarla entegrasyon kullanarak ve Ostrogradski'nin sıfır yerçekiminde bir referans çerçevesinde yazmaya izin veren teoremini kullanarak δ∂=∂δ{\ displaystyle \ \ delta \ kısmi = \ kısmi \ delta}
∫∂l[∂(-gΛm)∂(∂lgbenk)]dΩ=∫∂l[-g∂(Λm)∂(∂lgbenk)]dΩ=∫-g∂(Λm)∂(∂lgbenk)dSl=0{\ displaystyle \ int \ kısmi _ {l} [{\ frac {\ kısmi \ sol ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ sağ)} {\ kısmi \ sol (\ kısmi _ {l } g_ {ik} \ sağ)}}] d \ Omega = \ int \ kısmi _ {l} [{\ sqrt {-g}} {\ frac {\ partial \ left (\ Lambda _ {m} \ sağ) } {\ kısmi \ sol (\ kısmi _ {l} g_ {ik} \ sağ)}}] d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}} {\ frac {\ partic \ left (\ Lambda _ { m} \ sağ)} {\ kısmi \ sol (\ kısmi _ {l} g_ {ik} \ sağ)}} dS_ {l} = 0}
Eşitlik ile dürtü-enerji tensörünü tanımlayarak Tbenj{\ displaystyle \ T ^ {ij}}
12Tbenj-g=∂(-gΛm)∂gbenk-∂l[∂(-gΛm)∂(∂lgbenk)]{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} = {\ frac {\ kısmi \ sol ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ sağ)} {\ kısmi g_ {ik}}} - \ kısmi _ {l} [{\ frac {\ kısmi \ sol ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ sağ)} {\ kısmi \ sol (\ kısmi _ {l} g_ {ik} \ sağ)}}]}
Elde ederiz : δSm=1vs∫12Tbenj-gδgbenjdΩ{\ displaystyle \ delta S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} \ delta g_ {ij } d \ Omega}
Bu nedenle, poz vererek ve dış durumda olduğu gibi sonuca varırız .
χ=-12vs.K{\ displaystyle \ chi = - {\ frac {1} {2c.K}}}![{\ displaystyle \ chi = - {\ frac {1} {2c.K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1627185b308339c91445ae691614f68b81d26b)
Çıkarılan denklemler:
Rbenj-12gbenjR=χTbenj{\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = \ chi T_ {ij}}
Dış duruma benzer bir daralma ile , bunu bilerek ve poz vererek sahip olduk . Bu nedenle ana eğrilik , toplam enerji yoğunluğu (veya tensörün izi ) ile orantılıdır .
gbenjgbenj=4{\ displaystyle \ g_ {ij} g ^ {ij} = 4}
T=gbenjTbenj{\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}
R=-χT{\ displaystyle \ R = - \ chi T}
T=gbenjTbenj{\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}
Tbenj{\ displaystyle \ T_ {ij}}![{\ displaystyle \ T_ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ab023d2bde740ca2c127dbf6312e637fd2bab1)
Bu nedenle şunu da yazabiliriz:
Rbenj=χ(Tbenj-12gbenjT){\ displaystyle \ R_ {ij} = \ chi \ sol (T_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} T \ sağ)}
Notlar
-
Jean-Claude Boudenot, Électromagnétisme et gravitation relativistes , ellipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 ) adlı kitabının 1916, sayfa 162'sine dayanıyor ; içinde Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t. 2: Alan teorisi [ baskıların detayı ]Paragrafın başındaki dipnot §93, bu yöntemin Hilbert tarafından 1915 gibi erken bir tarihte önerildiği söylenir, bu da Jean-Paul Auffray s. 247 ( Hilbert balığa gidiyor paragrafı ) adlı kitabından Einstein et Poincaré , Le Pommier baskısı , 1999, ( ISBN 2 746 50015 9 ) .
-
Elie Cartan, Saf ve Uygulamalı Matematik Dergisi, 1, 1922, s. 141-203 .
Kaynaklar
- Jean-Claude Boudenot; Göreli Elektromanyetizma ve Yerçekimi , Ellipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 )
- Jean-Louis Basdevant; Varyasyon ve Dinamik İlkeler , Vuibert (2005), ( ISBN 2711771725 ) .
- Edgard Elbaz; Genel görelilik ve yerçekimi , elips (1986).
Kaynakça
- Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t. 2: Alan teorisi [ baskıların detayı ]
-
Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (in) ve Matthew Sands (in) , Fizik bölümünde anlatılmıştır Feynman Ders [ ayrıntıları yayıncılık ] , Elektromanyetizma (I) , böl. 19, InterEditions, 1979 ( ISBN 2-7296-0028-0 ) ; kamış. Dunod, 2000 ( ISBN 2-10-004861-9 )
- Florence Martin-Robine, Daha az eylem ilkesinin tarihi , Vuibert, 2006 ( ISBN 2711771512 )
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">