Brokart sorunu

Brocard sorun bir sorun sayıda teorik olarak bulmak için ister değerleri tam sayıdır ve n, ve m tatmin edici Diofant denklemi :

{\ displaystyle n! + 1 = m ^ {2}}

nerede n! faktöriyel fonksiyondur . Bu, Henri Brocard tarafından 1876 ve 1885'te iki makalede ve bağımsız olarak 1913'te Srinivasa Ramanujan tarafından ortaya atıldı .

kahverengi sayılar

Brocard probleminin çözümleri olan ( n , m ) tam sayı çiftlerine Brown sayılar denir . Bilinen yalnızca üç Kahverengi sayı çifti vardır:

(4.5), (5.11) ve (7.71).

Paul Erdős , başka bir çözüm olmadığını tahmin etti. Overholt, 1993 yılında, abc varsayımının doğru olması koşuluyla, yalnızca sınırlı sayıda çözüm olduğunu gösterdi . 2000 yılında Berndt ve Galway, n'nin 10 9'dan küçük olduğu hesaplamalar yaptılar ve başka bir çözüm bulamadılar. Matson, 2017'de bu hesaplamaları 10 21'e çıkardığını iddia etti .

Sorunun çeşitleri

Dabrowski, Overholt'un 1996'daki sonucunu, bunun şu abc varsayımından çıkacağını göstererek genelleştirdi:

{\ displaystyle n! + A = k ^ {2}}

belirli bir tamsayı A için yalnızca sonlu sayıda çözüme sahip değildir . Bu sonuç, (yine abc varsayımının doğru olduğunu varsayarak) denklemin şu şekilde olduğunu gösteren Luca (2002) tarafından daha da genelleştirildi.

{\ görüntü stili n! = P (x)}

tamsayı katsayıları olan en az 2 dereceli belirli bir P polinomu için yalnızca sonlu sayıda tamsayı çözümüne sahiptir .

Cushinge ve Pascoe 2016'da abc varsayımından şu sonucu çıkaracağını gösterdiler.

{\ görüntü stili n! + K = m,}

çözümler yalnızca sınırlı sayıda sahip K bir tamsayıdır ve a, güçlü bir sayı . ${\ displaystyle m = a ^ {2} b ^ {3}}$

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " BROCARD sorunu " ( yazarların listesini görmek ) .

Bruce C. Berndt ve William F. Galway , “ Brocard – Ramanujan diofantin denklemi n ! + 1 = m 2 ”, The Ramanujan Journal , 1409 West Green Street, Urbana, Illinois 61801, ABD, Matematik Bölümü, Illinois Üniversitesi, cilt. 4, n o 1,Mart 2000, s. 41–42 ( DOI 10.1023 / A: 1009873805276 , çevrimiçi sunum , çevrimiçi okuyun ).
H. Brocard , “ Soru 166 ”, New Mathematical Correspondence , cilt. 2,1876( çevrimiçi sunum ).
H. Brocard , “ Soru 1532 ”, Nouvelles Annales de Mathématiques , cilt. 4,1885( çevrimiçi sunum ).
A. Dabrowski , “ Diophant Denklemi Üzerine x ! + A = y 2 ”, Nieuw Cadeaux voor Wiskunde , cilt. 14,Ocak 1996, s. 321–324 ( çevrimiçi sunum ).
RK Guy , Sayı Teorisinde Çözülmemiş Problemler , New York, Springer-Verlag ,1994, 2 nci baskı. ( ISBN 0-387-90593-6 ) , “D25: Faktöriyel İçeren Denklemler”, s. 193–194.
Florian Luca , “ Diofant denklemi P ( x )= n ! ve M. Overholt'un bir sonucu ”, Glasnik Matematički , cilt. 37,2002, s. 269–273 ( çevrimiçi okuyun ).
Robert Matson , “ Brocard'ın Problemi 4. Çözüm Araması Kuadratik Kalıntıları Kullanarak ”, Sayı Teorisi, Mantık ve Kriptografide Çözülmemiş Problemler ,2017( çevrimiçi okuyun ).
Marius Overholt , “ Diofant denklemi n ! + 1 = m 2 ”, Londra Matematik Derneği Bülteni , cilt. 25, n o 21993, s. 104 ( DOI 10.1112 / blms / 25.2.104 ).
(tr) Yazar bilinmiyor " Güçlü sayılar ve ABC varsayımı ",2016. .

Dış bağlantılar

Ed Copeland , " Brown Numbers " , Numberphile , Numberphile'de , Brady Haran