Euler ürünü

In matematik ve daha doğrusu içinde analitik sayılar teorisi , bir Euler ürün haline bir genişleme sonsuz ürüne tarafından dizine, asal sayılar .

Asal sayıların dağılımını ölçmeyi mümkün kılar ve Riemann zeta fonksiyonu ile yakından bağlantılıdır .

İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'in onuruna seçildi .

Euler'in çalışması

Euler hesabı

Euler, p 1 = 2, p 2 = 3,… asal sayıların dağılımını değerlendirmeye çalışır . Bunun için, herhangi bir gerçek s > 1 için şunları tanımlar :

ζ(s): =∑değil=1∞1değils,{\ displaystyle \ zeta (s): = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}},}

buna zeta fonksiyonu ve aşağıdaki formülü kurar:

ζ(s)=∏ben=1∞11-pben-s.{\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p_ {i} ^ {- s}}}.}

Tanımı ve formülü, gerçekte 1'den kesinlikle büyük olan gerçek parçanın karmaşık sayılarının tüm yarı düzlemlerinde geçerlidir.

Euler sayesinde temel kanıt

Bu gösterinin şeması, yalnızca liselerde öğretilen ve "ilköğretim" gösterisinin niteliğini haklı çıkaran olağan bilgilere hitap etmektedir. Euler bu formülü
böyle keşfetti. Yukarıda görülen Eratosthenes eleğinin özelliklerini kullanır:

Riemann zeta fonksiyonunu tanımlayan aşağıdaki eşitliği düşünün:

ζ(s)=1+12s+13s+14s+15s+...{\ displaystyle \ zeta (s) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + \ ldots}

Eşitliğin tüm koşullarını böldüğümüzde eşitliği elde ederiz: 2s{\ displaystyle {2 ^ {s}}}

12sζ(s)=12s+14s+16s+18s+110s+...{\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ zeta (s) = {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s} }} + {\ frac {1} {6 ^ {s}}} + {\ frac {1} {8 ^ {s}}} + {\ frac {1} {10 ^ {s}}} + \ ldots }

Çıkarma 2 için eşit 1 st , bu (demek ki bütün paydalar "eş" ortadan kaldırır  ;  ;  ; ,  vb eşitlik sağ üyesinin). 12s{\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {s}}}}14s{\ displaystyle {\ frac {1} {4 ^ {s}}}}16s{\ displaystyle {\ frac {1} {6 ^ {s}}}}18s{\ displaystyle {\ frac {1} {8 ^ {s}}}}

Sol vadede çarpanlara ayırarak şunu elde ederiz: ζ(s){\ displaystyle \ zeta (s)}

(1-12s)ζ(s)=1+13s+15s+17s+19s+111s+113s+...{\ displaystyle \ sol (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ sağ) \ zeta (s) = 1 + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + {\ frac {1} {9 ^ {s}}} + {\ frac {1} { 11 ^ {s}}} + {\ frac {1} {13 ^ {s}}} + \ ldots}

Aynı işlemi aşağıdaki asal sayıyı kullanarak tekrarlıyoruz, yani önceki eşitliği böleriz ve şunu elde ederiz: 3s{\ displaystyle {3 ^ {s}}}

13s(1-12s)ζ(s)=13s+19s+115s+121s+127s+133s+...{\ displaystyle {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ sol (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ sağ) \ zeta (s) = {\ frac {1 } {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {9 ^ {s}}} + {\ frac {1} {15 ^ {s}}} + {\ frac {1} {21 ^ { s}}} + {\ frac {1} {27 ^ {s}}} + {\ frac {1} {33 ^ {s}}} + \ ldots}

Önceki iki çizgiden yeni bir çıkarma yaparak ve soldaki terimi çarpanlara ayırarak elde edilir: (1-12s)ζ(s){\ displaystyle \ sol (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ sağ) \ zeta (s)}

(1-13s)(1-12s)ζ(s)=1+15s+17s+111s+113s+117s+...{\ displaystyle \ sol (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ sağ) \ sol (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ sağ) \ zeta ( s) = 1 + {\ frac {1} {5 ^ {s}}} + {\ frac {1} {7 ^ {s}}} + {\ frac {1} {11 ^ {s}}} + {\ frac {1} {13 ^ {s}}} + {\ frac {1} {17 ^ {s}}} + \ ldots}

paydası 2, 3'ün (veya her ikisinin birden) katından yazılan tüm terimler elendi.

Bu, Eratosthenes'in eleği ile olan bağlantıdır çünkü aynı işlemi sürdürerek, sağ taraftan aşağıdaki asal sayılardan 5, 7, 11, 13 sonsuzluğa yazılan terimleri ortadan kaldırırız ve elde ederiz:

...(1-111s)(1-17s)(1-15s)(1-13s)(1-12s)ζ(s)=1{\ displaystyle \ ldots \ sol (1 - {\ frac {1} {11 ^ {s}}} \ sağ) \ sol (1 - {\ frac {1} {7 ^ {s}}} \ sağ) \ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ sağ) \ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ sağ) \ zeta (s) = 1}

Her iki tarafı da ζ ( s ) hariç her şeye bölersek şunu elde ederiz:

ζ(s)=1(1-12s)(1-13s)(1-15s)(1-17s)(1-111s)...{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ sol (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ sağ) \ sol (1 - {\ frac {1} { 3 ^ {s}}} \ sağ) \ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ sağ) \ left (1 - {\ frac {1} {7 ^ {s}} } \ sağ) \ left (1 - {\ frac {1} {11 ^ {s}}} \ sağ) \ ldots}}}

Bu gösterimi bitirmek için , taramadan dolayı terimlerin kademeli olarak “ortadan kalktığı” sağ taraftaki toplamın 1'e yakınsadığını ve Dirichlet serisinin (( z ). Yeniden⁡(s)>1{\ displaystyle \ operatorname {Re} (s)> 1}

Modern gösteri

Riemann serisi tanımlar olduğunu mutlak yakınsak böylece (tarafından, toplanabilir ailelerin ilişkilendirilebilirlik ) ile ζ(s){\ displaystyle \ zeta (s)}ζ(s)=limk→∞Sk{\ displaystyle \ zeta (s) = \ lim _ {k \ ila \ infty} S_ {k}}

Sk: =∑j1∈DEĞİL...∑jk∈DEĞİL1(p1j1...pkjk)s=∏ben=1k∑j=0∞pben-js=∏ben=1k11-pben-s{\ displaystyle S_ {k}: = \ sum _ {j_ {1} \ in \ mathbb {N}} \ dots \ sum _ {j_ {k} \ in \ mathbb {N}} {\ frac {1} { \ left (p_ {1} ^ {j_ {1}} \ noktalar p_ {k} ^ {j_ {k}} \ sağ) ^ {s}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ toplam _ {j = 0} ^ {\ infty} p_ {i} ^ {- js} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {1} {1-p_ {i} ^ {- s}}}}

( Karşılaşılan geometrik serilerin toplamlarının olağan formülle dönüştürüldüğü yer ).

Sonsuzluğa yöneldiğinde sınıra geçerek sonuca varıyoruz . k{\ displaystyle k}

Euler ayrıca Mengoli'nin değerinin belirlenmesinden oluşan sorununu çözmeyi de başarır . Bu çözünürlüğü 1735 (ζ (2) = π açıkladı 2 1743 yılında yayınlanmış / 6) ve. ∑değil=1∞1değil2{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

Sonsuz bir çarpım biçiminde ζ'nın yukarıdaki ifadesini dikkate alarak, böylece elde eder:

π26=∏ben=1∞11-pben-2.{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p_ {i} ^ {- 2} }}.}

Asal sayıların ters dizileri

Euler, asal sayıların ters dizilerinin ıraksamasını göstererek (ayrıntılı makaleye bakın) asal sayıların sıklığına ilişkin bir birinci yasa belirler :

∑ben=1∞1pben=+∞{\ displaystyle \ toplam _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p}} _ {i} = + \ infty}

ve hatta olduğunu belirten "gibi logaritmanın ait harmonik dizisi  " ve "daha asal sayılar sonsuz vardır kareler sayıların hepsi dizisinde" .

Teoremi edecek asal sayı bir belirtin eşdeğer  : p n ~ n ln n .

Diğer Euler ürünleri

Dirichlet karakteri

Dirichlet , m ve n aralarında asal ise , Z / nZ m sınıfındaki asal sayıların sonsuz olduğunu göstermek istiyor . Artık adını taşıyan karakterleri kullanır ve bu karakterlerle ilgili makalenin Euler Ürün paragrafında açıklanan bir hesaplama sırasında aşağıdaki ürünle sonuçlanır:

∏p∈P(1-χ(p)ps)-1.{\ displaystyle \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ left (1 - {\ frac {\ chi (p)} {p ^ {s}}} \ sağ) ^ {- 1}. }

Burada χ, bir Dirichlet karakterini belirtir, karakter seti not edilir ve s , birden büyük bir gerçek sayıyı temsil eder . Dirichlet daha sonra bir Euler ürünleri ailesi kurar: U^{\ displaystyle \ scriptstyle {\ widehat {U}}}

∀s∈]1,+∞[∀χ∈U^L(s,χ)=∑k=1∞χ(k)ks = ∏p∈P(1-χ(p)ps)-1.{\ displaystyle \ forall s \ in] 1, + \ infty [\ quad \ forall \ chi \ in {\ widehat {U}} \ quad L (s, \ chi) = \ sum _ {k = 1} ^ { \ infty} {\ frac {\ chi (k)} {k ^ {s}}} \ = \ \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ left (1 - {\ frac {\ chi (p)} {p ^ {s}}} \ sağ) ^ {- 1}.}

Gerçekte, multip fonksiyonu tamamen çarpımsal olduğundan , Euler'in hesaplaması da aynı şekilde geçerlidir.

• L ( s , χ) fonksiyonu , χ karakterinin Dirichlet serisi L olarak adlandırılır .

Eğer Yakınsama mutlak s a, karmaşık sayı ile bir reel kısma> 1 ile analitik uzantısı , bu işlev bir uzatılabilir meromorfik fonksiyonu ile ilgili tüm kompleks düzlemde .

Dirichlet L serisi, Riemann zeta fonksiyonunun doğrudan genellemeleridir ve genelleştirilmiş Riemann hipotezinde üstün görünmektedir .

Genelleme

Genel olarak, formun bir Dirichlet serisi

∑değil-de(değil)değil-s{\ displaystyle \ toplamı _ {n} a (n) n ^ {- s} \,}

burada A, çarpımsal fonksiyonu arasında n şu şekilde yazılabilir -de(değil){\ displaystyle a (n) \,}

∏pP(p,s){\ displaystyle \ prod _ {p} P (p, s) \,}

burada bir toplamıP(p,s){\ displaystyle P (p, s) \,}

1+-de(p)p-s+-de(p2)p-2s+...{\ displaystyle 1 + a (p) p ^ {- s} + a (p ^ {2}) p ^ {- 2s} + \ ldots} .

Aslında, biz bu kadar düşünecek olursak biçimsel üreten fonksiyonları , böyle bir varlığı resmi gelişiminde Euler üründe o kadar yeterli ve gerekli bir koşuldur bu tam olarak diyor ki: çarpımsal olmak ürünüdür nerede, p k olan birincil faktörler arasında n . -de(değil){\ displaystyle a (n)}-de(değil){\ displaystyle a (n)}-de(pk){\ displaystyle a (p ^ {k})}

Uygulamada, tüm önemli durumlar, sonsuz seriler ve sonsuz bir ürüne genişleme, belirli bir Re ( s )> C bölgesinde , yani sayılar kompleksinin belirli bir sağ yarı düzleminde mutlak yakınsaktır . Sonsuz çarpımın yakınsaması için sıfırdan farklı bir değer vermesi gerektiğinden, bu bize zaten bazı bilgiler veriyor; bu nedenle sonsuz seriler tarafından verilen fonksiyon böyle bir yarı düzlemde sıfır değildir.

Önemli bir özel durum, P ( p, s ) 'nin geometrik bir dizi olduğu , çünkü tamamen çarpımsal olmasıdır. Yani sahip olacağız -de(değil){\ displaystyle a (n)}

P(p,s)=11--de(p)p-s,{\ displaystyle P (p, s) = {\ frac {1} {1-a (p) p ^ {- s}}},}

Riemann zeta fonksiyonu (ile ) ve daha genel olarak Dirichlet karakterleri için olduğu gibi. Modüler formlar teorisinde, paydada kuadratik polinomlara sahip Euler ürünlerine sahip olmak tipiktir. Genel Langlands programı derece polinom bağlantının karşılaştırmalı açıklama içerir m , ve gösterim teorisi GL için m . -de(değil)=1{\ displaystyle a (n) = 1}

Notlar ve referanslar

(tr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde "  Riemann zeta fonksiyonu için Euler çarpımı formülü Kanıtı  " ( yazarların listesini görmek ) .

1. Bununla birlikte, sin ( x ) / x'in (Euler tarafından keşfedilen) ve şimdi daha ziyade Weierstrass ürünü olarak adlandırdığımız gibi sonsuz bir ürüne genişlemeler için Euler ürününün ifadesini de buluyoruz.
2. (la) "  Sonsuz serilerle ilgili Variae gözlemleri  " (E 072), th. 19.
3. Euler, E 072'nin (th. 7, kor. 3) başka bir teoreminden "çıkarılan" ve Michèle Audin'in diğerlerinin yanı sıra , "  Jacques Hadamard ve asal sayılar teoremi  " , Matematik İmgeleri üzerine yaptığı gibi bundan değil ,17 Ekim 2013( "Örneğin, asal sayıların  tam sayıların karelerinden daha"  yoğun "olduğunu gösteren" ) veya (de) Alexander Schmidt , Einführung in die cebebraische Zahlentheorie , Springer ,2007( çevrimiçi okuyun ) , s.  5( "Çok özel bir anlamda, mükemmel karelerden daha fazla asal sayı vardır" ). Bu "kesinti" hakkında gayri resmi, ancak bakınız (içinde) Julian Havil , Gamma: Exploring Euler's Constant , Princeton University Press ,2010( çevrimiçi okuyun ) , s.  38-39ve "  Legendre Varsayımı  ".

Ayrıca görün

Kaynakça

• Jean-Benoît Bost , Pierre Colmez ve Philippe Biane , La fonction Zêta , Paris, Éditions de l'École polytechnique,2002, 193  s. ( ISBN  978-2-7302-1011-9 , çevrimiçi okuyun )
• (en) Harold Davenport , Çarpımsal Sayılar Teorisi , Springer,2000, 3 e  ed. , 182  p. ( Mayıs ISBN  978-0-387-95097-6 )
• (en) Anatoliĭ A. Karat͡suba , Temel analitik sayı teorisi , Springer,1993( Mayıs ISBN  978-0-387-53345-2 )
• (en) SJ Patterson  (de) , Riemann Zeta-Fonksiyonu Teorisine Giriş , Cambridge University Press , der.  "İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları" ( n o  14),1995, 172  s. ( ISBN  978-0-521-49905-7 , çevrimiçi okuyun )

Dış bağlantılar

• Leonhard Euler , Boris Gourévitch'in "π evreni" sitesinde
• ( fr ) Andrew Granville , “  Sonsuz sayıda asal; karmaşık analiz  ” , Université de Montréal'de ,2007
• (tr) Eric W. Weisstein , "  Başbakan Ürünleri  " üzerine, MathWorld

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">