In cebir , bir bir sayının güç sonucudur defalarca çarparak o numarayı kendisiyle. Çoğunlukla, sayının bir tamsayı ile eşleştirilmesiyle not edilir , üst simge yazılır ve bu, sayının bu çarpmada faktör olarak kaç kez göründüğünü belirtir.
Bu "okur için gücünün n " ya da " bir karşı üs n ". Tam sayı n , üs olarak adlandırılır .
Özellikle kare ve küp , sırasıyla üs 2 ve 3'ün üsleridir.
Herhangi bir sayı kendi üssü 1'e eşitken, üs sıfırın herhangi bir kuvveti geleneksel olarak 1'e eşittir .
Bu nedenle, her üs için güç , gösterimi temel cebirsel işlemlerin diğer sembollerine göre öncelikli olan bir işlemi tanımlar . İlişkili ikili işlemdir üs alma bazen, özellikle hesap makineleri üzerinde, sembolü "^" kullanılarak belirtilmektedir. Bazı programlama dillerinde de ** sembolünü buluyoruz (örneğin Python veya Ada )
Bir sayının tersi olduğunda , negatif üssün kuvvetlerini bu tersin üsleri olarak tanımlamak mümkündür . Belirli koşullar altında, pozitif gerçeklerin kareköküne karşılık gelen 1/2 gibi rasyonel üssün güçlerini tanımlamak bile mümkündür . Üstel fonksiyon o zaman mümkün bu tanımı genişletmek de mümkündür , gerçek veya karmaşık üs .
Bir veya birkaç sayının üsleri üzerindeki cebirsel işlemler belirli özelliklere sahiptir. 10 −5 gibi 10'un gücü , diğer bilimlerde , özellikle fizik ve kimyada düzenli olarak kullanılmaktadır .
Herhangi bir a sayısını ve sıfır olmayan bir doğal sayıyı n olarak kabul ederiz . N'inci güç bir kaydetti bir n ve “okuma için gücü n ” “ya bir üs n ” bu sayı çarpımı sonucu a kendisi tarafından n - 1 defa:
N sayısı , a n kuvvetinin üssü olarak adlandırılır .
N sayısı doğal bir tamsayıdır (bu nedenle pozitiftir) ve a n , a'nın pozitif tamsayı üssüne sahip bir kuvvettir .
Özel durumlarSıfır olmayan doğal sayı n , 0 n = 0 ve 1 n = 1 (bu sayılar idempotenttir).
Herhangi bir gerçek için a , set bir 0 uygun = 1 boş ürünler esası . Bu tanım , güçler üzerindeki cebirsel işlemlerle tutarlı olacaktır .
0 0 = 1 kuralı , daha geniş bir soyut çerçevede kullanılır, örneğin, X 0 polinomunu değer 1'in sabit fonksiyonu ile tanımlamak için kullanılır . Benzer şekilde, küme teorisi çerçevesinde, 0 0 gösterimi , eşleştirmeleri grubu arasında boş grubu , bu nedenle, kendi içinde ve 1 eşittir.
Bununla birlikte, üzerinde iyi tanımlanmış olan uygulama , herhangi bir genellikte kabul edilebilir bir konvansiyonun seçimini yasaklayan (0, 0) 'da süreklilikle devam etmeyi kabul etmez . Yine de, iyi tanımlanmış alanlarla sınırlı anlaşmalar mümkündür.
Şimdi sıfır olmayan bir sayı a ve bir doğal sayı n olarak kabul ediyoruz . Numara bir -n , okumak “ vardır gücünü eksi n , veya” “ Bir üs eksi n ” Dilin istismar, tersidir n -inci gücün arasında bir demek ki,:
–N sayısı , a –n kuvvetinin üssüdür .
Sayı yana -n çünkü negatif olan n, doğal tam sayı olduğu, bir n bir gücü bir ile negatif üs . Özellikle a –1 = 1 / a ( a sayısının tersi) olduğuna dikkat edin .
Pozitif bir gücü negatif gücün tersine dönüştürmek için bu kuralı uygulayabiliriz:
Arasında doğrudan bir ilişki yoktur işareti sayısının ve sonucun işareti. Bu, üssün paritesine bağlıdır.
Çift kuvvete yükseltilmiş bir sayı pozitif bir sonuç verir: eğer n çift ise, o zaman (- a ) n = a n .
Tek bir kuvvete yükseltilmiş bir sayı aynı işaretin bir sonucu verir: eğer , n , daha sonra tek bir (- bir ) , n = - bir n .
ÖrneklerGücün - a ( eksi işareti dahil) ve - a n'ye uygulandığı durumlarda (- a ) n komut dosyalarını karıştırmayın , burada gücün yalnızca a için geçerli olduğu durumlarda . Aslında :
İçin genel bir formül yoktur ekleme veya çıkarılarak dışında, güçleri ve çarpanlara bir n b - n ve genişlemesi ( a + b ) n .
Öte yandan, kuvvetlerin çarpılması ve bölünmesi için, tüm a ve b sayıları ve tüm m ve n doğal sayıları için şunu biliyoruz :
Bu formüller, m veya n kesinlikle negatif tamsayılarsa, a ve b'nin sıfır olmaması koşuluyla , yine de geçerlidir .
Tüm bu formüllerin birbiriyle ve “ a 0 = 1 herhangi bir gerçek sayı için a ≠ 0 ” konvansiyonu ile tutarlı olduğuna dikkat edin . Örneğin, tüm doğal sayılar için n ≠ 0 ve tüm gerçek sayılar için a ≠ 0 ,
10'un gücü özel iktidar durumlarıdır. Onların ilgisi, yazılarımızın ondalık olması gerçeğinde yatmaktadır .
On negatif veya sıfırın gücü |
Önek | On pozitif veya sıfırın gücü |
Önek | |
---|---|---|---|---|
10 0 = 1 | - | 10 0 = 1 | - | |
10 −1 = 0.1 | d (ondalık) | 10 1 = 10 | da (on-) | |
10 –2 = 0.01 | c (centi-) | 10 2 = 100 | h (hekto-) | |
10 –3 = 0,001 | m (milli-) | 10 3 = 1000 | k (kilo-) | |
10 –4 = 0.0001 | 10 4 = 10.000 | ma (myria-) | ||
10 –5 = 0.00001 | - | 10 5 = 100.000 | - | |
10 –6 = 0,000001 | µ (mikro-) | 10 6 = 1.000.000 | M (mega) | |
vb. | vb. | vb. | vb. |
Pozitif tamsayı kuvveti n'ye yükseltilen 10 sayısı, 1 sayısıdır ve ardından n sıfır gelir.
10 numara, bir negatif tamsayı kuvvete yükseltilmiş - n yerleştirilmiş bir 1 n ondalık sayı, inci pozisyon , yani öncesinde , n ondalık noktasından önce bir sayma, sıfır.
Uluslararası Birimler Sisteminin öneklerine karşılık gelen 3'ün katlarını sık sık kullanırız :
On negatifin gücü |
SI öneki | On pozitifin gücü |
SI öneki | |
---|---|---|---|---|
10 –3 = 0.001 binde biri |
m (milli-) | 10 3 = 1.000 bin |
k (kilo-) | |
10 –6 = 0,000001 milyonda bir |
µ (mikro-) | 10 6 = 1.000.000 bir milyon |
M (mega) | |
10 –9 = 0.000000001 bir milyarda biri |
n (nano-) | 10 9 = 1.000.000.000 bir milyar |
G (giga-) | |
10 –12 = 0.000000000001 milyarda biri |
p (pico-) | 10 12 = 1.000.000.000.000 trilyon |
T (tera-) | |
vb. | vb. | vb. | vb. |
Virgül, ondalık bir sayının yazılmasında birimlerin konumunu gösteriyorsa, 10 ile çarpmak, ondalık bir satırı sağa kaydırmaya eşdeğerdir ve 10'a bölmek, ondalık bir satırı sola kaydırmaya eşdeğerdir. Yani 10 ile çarpılarak n herhangi bir pozitif tamsayı için n ondalık noktayı hareketli tutarlar n sağa satırlar; 10 ile bölünmesi n herhangi bir pozitif tamsayı için n ondalık noktayı hareket ile aynıdır , n sola satır. Yani,
Yetkileri belirtilen özellikler bir 10 güçler için geçerli kalır.
10'un kuvvetlerinin kullanımı şöyle gerçekleşir:
Ayrıca , herhangi bir gerçek üssün olduğu bir kuvvete kesinlikle pozitif bir sayı a yükseltebiliriz .
Bunun için art arda tanımlayabiliriz:
Verilen bir sayı a > 0 için , bu şekilde elde edilen fonksiyona temel üssel fonksiyon a denir . Yalnızca doğal logaritma ve üstel fonksiyonlar kullanılarak ifade edilebilir :
Bu fraksiyonel ve gerçek güçler, tüm güçlerle aynı kuralları izler. Özellikle, tüm a > 0 , b ve c keyfi gerçek sayılar için:
Özellikle aşağıdakilere sahibiz:
Ya bulmak alan S a küp arasında hacmi V . Seçerek bir bir kenar uzunluğunu elimizde: .