11 Piramidi

11 Piramit bir varyantı olan Pascal üçgeni . Tam olarak hesaplamak için izin güçleri arasında 11 veya . Pascal üçgeni ile fark biz gelince aktarımla görünümünü olması yanında . ${\ displaystyle A \ times 11 ^ {n}}$

Kurallar

11 piramidi, doğal sayının çarpımını 11 kuvvetiyle ardışık toplamalarla hesaplamayı mümkün kılar. Bu, sağdan sola çiftler halinde art arda bir basamak atlayarak, ardışık rakamlar eklenerek elde edilir. tüm doğal sayıyı (11'in üssüyle çarpmak istediğimiz) oluşturun: ilk satır söz konusu sayınınki, sonraki satır bu hesaplamayla elde edilen sayıdır ve sonraki satırlar için böyle devam eder. İlk satır aslında 11'i 0'ın üssü ile çarpan sayıya, ikincisi 11'i 1'in üssüne çarpan sayıya karşılık gelir ve bu şekilde, (n + 1). Satır, başlangıç sayısının çarpımının sonucudur. 11 iktidara Örneğin 2156478 sayısını 11 kuvvetli bir çarpan olarak alın ve aşağıdaki satırda görünecek sayıyı hesaplayın, bu sayının 11 ile çarpımının sonucu olacaktır. Kuralı uygulamak için, başlangıç numarası "02156478,0", sayının her iki tarafına da "sanal" sıfır ekleyerek . Soldan sağa art arda gelen çiftler şu şekilde olacaktır: "8 + 0" (çünkü 2156478 = 2156478,0 sayısı), "7 + 8", "4 + 7", "6 + 4", "6 + 5 "," 5 + 1 "," 2 + 1 "ve" 0 + 2 "(2156478 = 02156478 olduğu için elde edilen sayıyı sonlandırmak için). Bu eklemelerin sonucu 10'dan büyük veya eşitse, sonucu oluşturan son basamağı alırız ve soldaki sonraki çifte eklenecek olan 1'i tutarız. Tüm bu eklemelerin olası sonuçları şu aralığa aittir:

{\ displaystyle S = [0,19]}

Sayının birden fazla ardışık 0'ı varsa, örneğin 2006'da sıfır sonuç gerçekten mümkündür.

Örneği baştan ele alırsak, 2156478'in 11'in (aslında 11 üs 1) çarpımının sonucu:

2156478 23721258

Bunun yerine, hesaplamayı detaylandıralım:

8 + 0 = 8, 8'i ilk sıraya koyarız
8 + 7 = 15, 5'i 8'in önüne koyarız ve bir sonraki toplama için 1'i tutarız
7 + 4 + 1 = 12, 2'yi 5'in önüne koyarız ve bir sonraki ekleme için 1'i tutarız
6 + 4 + 1 = 11, 1'i 2'nin önüne koyarız ve sonraki toplama için 1'i tutarız
6 + 5 + 1 = 12, 2'yi 1'in önüne koyarız ve bir sonraki toplama için 1'i tutarız
5 + 1 + 1 = 7, 7'yi 2'nin önüne koyarız
2 + 1 = 3, 3'ü 7'nin önüne koyarız
2 + 0 = 2, 2'yi 3'ün önüne koyarız.

Bu son işlemdir çünkü hesaplanacak sayıyı oluşturan ilk haneye ulaştık. Hesaplamak için elde edilen 23721258 rakamı üzerinde aynı işlemi gerçekleştiriyoruz . ${\ displaystyle 2156478 \ times 11 ^ {2}}$

Kuvvet "n" ( ), 11'in üssü n'nin çarpma sayısına karşılık gelen ilk satırdan sonra gerçekleştirilen satır sayısı ile belirlenir. Örneğin elde etmek için 31 sayısını alırız ve aşağıdakini hesaplarız. Kuralı her satıra uygulayarak 10 satır. A birinci satırdaki sayı, n bir tam sayı, p ilk yazılı satırın ikinci rakamı (sağdan başlayan) ve son satırın ikinci rakamı (sağdan başlayan) olsun. ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle 31 \ times 11 ^ {10}}$

{\ displaystyle A \ times 10 ^ {n}}

(nerede )

{\ displaystyle n = qp}

Bu formül, satır sayısı 10'u aştığında çalışmaz.

Gösteri

Herhangi bir sayı ile deneyebilirsiniz, 11 tekniğinin piramidi her zaman çalışır. Öyleyse böyle bir yöntemin işe yarayabileceğini nasıl gösterebiliriz?

Bu işlemi hesaplamaya çalışalım: ${\ displaystyle 118221 \ times 11 =?}$

Çarpma aşağıdaki gibi olsun:

118221 x 11 ------- =118221 1182210 ------- 1300431

Bir sayıyı 11 ile çarpmanın, bu komşu rakamlardan ikisi arasına toplamı toplamak anlamına geldiğine dikkat edin. Bu nedenle, çarpma işleminin doğrudan 11 piramidinin yöntemine gitmesini istemeden daha kolaydır.

118221 1300431

Örnekler

Başlangıç numarası 1 ile

1 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 172135352171

Buraya : ${\ displaystyle 11 ^ {7} = 19487171}$

Piramitte kullanılan hesaplama kuralında belirtilen örneği alarak hesaplayalım ${\ displaystyle 31 \ times 11 ^ {9}}$

31 341 3751 41261 453871 4992581 54918391 604102301 6645125311 73096378421

Bu nedenle: ${\ displaystyle 31 \ times 11 ^ {9} = 73096378421}$

Karşılıklı

11 Piramidinin tersi daha ilginç ama uygulanması çok daha zor.

Örnekler

11'e bölünebilen bir sayının durumu

1816474'ün 11'in katı olduğunu gösterin

1816474'ü sormayı planlıyoruz ve bu sayıya olası çıkarımları arıyoruz.

1.816.474,0

İlk çıkarma (sağdan) açıktır çünkü 4-0 = 4'tür.

18164 7 4 xxxxx 4
(x bir sayıyı temsil eder)

7 için, bir önceki sayının ikinci basamağı önceden 3 olmalıydı çünkü 7-4 = 3 Bu sayı 2 basamaktan oluştuğu için 14 olamazız

1816474 xxxx34

Daha sonra, kesinti ile, önceki sayının üçüncü basamağı 1'dir çünkü 4-3 = 1

1816474 xxx134

Ve benzeri :

6-1 = 5
11-5 = 6 (1-5 yapamayız çünkü aksi takdirde sonuç a ait olur ) $\ mathbb {Z}$
8-6-1 = 2-1 = 1

Böylece anlıyoruz

1816474 165134

Bunu sonuçlandırabiliriz : ${\ displaystyle 1816474 = 165134 \ times 11}$

11'e bölünemeyen bir sayının durumu

18225'in 11'e bölünemeyeceğini gösterin

18225'in 11'e bölünemeyeceğini göstermek için, 11 piramidinin karşılığının çalışmadığını göstermeliyiz. Yani, karşılığın sonucunu eklemek son basamağı vermek için işe yaramaz.

18225 xxx5

İlk olarak, karşılığın sonucunun ilk basamağına sahip olmak için, 5-0 = 5 yapmanız yeterlidir. Daha sonra ikinci sayı 12-5 yapılarak elde edilir (sonuç negatif sayı olduğu için 2-5 değil). 7 alırız ve 1 tutarız.

18225 xx75

Aşağıdaki çıkarmalar:

${\ displaystyle 12-1-7 = 4}$
${\ displaystyle 8-1-4 = 3}$

Karşılıklı sonucun sonucu 3475 olacaktır, ancak bu nedenle karşılıklı çalışmaz ve bu nedenle 18225'in 11'e bölünemeyeceği sonucuna varabiliriz. ${\ displaystyle 3 + 0 \ neq 1}$

Tabloya göre organizasyon

Bu, karşılıklılığın sonucunu oluşturan rakamları bulmanın başka bir yöntemidir. Örneğin 37250615421 sayısını alalım. 11'e bölünebilir mi bilmek istiyoruz. İlk sayıyı oluşturan rakamları ve karşılığın sonucunu diyoruz . $R_ {n}$ $T_ {n}$

37250615421 xxxxxxxxxx

Karşılıklı sonucun sonucunu, yapılacak işlemleri gruplandıran bir tablo ile düzenleriz:

	$R$	$T_1$	Ret.	$T_2$
1	1	0	0	1
2	2	1	0	1
3	4	1	0	3
4	5	3	0	2
5	11	2	0	9
6	16	9	1	6
7	10	6	1	3
8	5	3	1	1
9	2	1	0	1
10	7	1	0	6
11	6	0	0	6

Gibi , sayı 11 ile bölünebilir değildir ${\ displaystyle 6 + 0 \ neq 3}$

Masanın nasıl çalıştığına ve kısıtlamalara ilişkin açıklama

İlk olarak, 11'e bölünebilirliği aradığımız sayıdaki basamak sayısını sayarız. Tabloda basamak olduğu kadar satır da olacaktır. Başlık satırında dört sütun vardır: R (ilk satırdaki sayının rakamı ) ,, sağdan ilk rakam; Ret. engelleri koyduğumuz yer ve hesaplanan satırın ikinci rakamı. $T_1$ $T_2$

Bulmak için çıkarma yapmanız gerekir . İlk satırda her zaman 0'a eşittir. İlk satırın her zaman eşit olduğunu da görebiliriz . Çizgileri numaralandırarak, yolunuzu bulmak daha kolay. R, hesaplamak istediğimiz n'inci rakam ile belirlenir. $T_2$ ${\ displaystyle R-T_ {2}}$ $T_1$ $T_2$ $T_1$

R , 10'dan küçükse , R'ye 10 eklenmeli, ancak sonraki satırda nihai sonuçtan 1 çıkarılmalıdır. $T_1$

Genelleme

İki sayı yazılsın:

{\ displaystyle N_ {1} = {\ overline {q_ {n} r_ {n-1} r_ {n-2} \ ldots r_ {1} r_ {0}}} ^ {10}}

veya

{\ displaystyle N_ {1} = q_ {n} \ times 10 ^ {n} + r_ {n-1} \ times 10 ^ {n-1} + r_ {n-2} \ times 10 ^ {n-2 } \ ldots r_ {1} \ times 10 + r_ {0}}

{\ displaystyle N_ {2} = {\ overline {s_ {n-1} t_ {n-2} t_ {n-3} \ ldots t_ {1} t_ {0}}} ^ {10}}

veya

{\ displaystyle N_ {2} = s_ {n} \ times 10 ^ {n} + t_ {n-1} \ times 10 ^ {n-1} + t_ {n-2} \ times 10 ^ {n-2 } \ ldots t_ {1} \ times 10 + t_ {0}}

11 piramidinin tersini uygulayarak bu sayının 11 ile bölünebilirliğini göstermek istiyoruz. Bunun için, ikinci bir sayının ( ) var olduğunu göstermeliyiz, öyle ki: $N_ {2}$

${\ displaystyle t_ {0} = r_ {0} -0}$
${\ displaystyle t_ {1} = r_ {1} -t_ {0}}$
${\ displaystyle t_ {2} = r_ {2} -t_ {1}}$

veya daha genel olarak . ${\ displaystyle r_ {n} = r_ {n-1} -t_ {n-1}}$

Aşağıdaki yapıya sahibiz:

{\ displaystyle {\ overline {q_ {n} r_ {n-1} r_ {n-2} \ ldots r_ {1} r_ {0}}}}

{\ displaystyle {\ overline {xxx \ ldots t_ {2} t_ {1} t_ {0}}}}

Yani , 10 ekleyebiliriz . Ancak bunu yapmak için, bu çıkarma işlemine sahip olmalısınız ${\ displaystyle r_ {n} \ neq r_ {n-1} -t_ {n-1}}$ ${\ displaystyle r_ {n-1}}$ ${\ displaystyle r_ {n + 1} = r_ {n} -1-t_ {n}}$

Genelleme

11 piramidi 10 tabanında çalışır. Aynısını n + 1 sayısı için bir n tabanında yapabiliriz. Bununla birlikte, sayıları 10 tabanına çevirmeyi ve maksimum n olan satır sayısına saygı göstermeyi unutmamalıyız.

Örnekler

4 tabanındaki 5 ^ n için:

5 ^ n	11 piramidi	5 piramidi
${\ displaystyle 5 ^ {0}}$	1	1
${\ displaystyle 5 ^ {1}}$	11	5
${\ displaystyle 5 ^ {2}}$	121	25
${\ displaystyle 5 ^ {3}}$	1331	125

	$R$	$T_1$	Ret.	$T_2$
1	1	0	0	1
2	2	1	0	1
3	4	1	0	3
4	5	3	0	2
5	11	2	0	9
6	16	9	1	6
7	10	6	1	3
8	5	3	1	1
9	2	1	0	1
10	7	1	0	6
11	6	0	0	6

	$R$	$T_1$	Ret.	$T_2$
1	1	0	0	1
2	2	1	0	1
3	4	1	0	3
4	5	3	0	2
5	11	2	0	9
6	16	9	1	6
7	10	6	1	3
8	5	3	1	1
9	2	1	0	1
10	7	1	0	6
11	6	0	0	6

	$R$	$T_1$	Ret.	$T_2$
1	1	0	0	1
2	2	1	0	1
3	4	1	0	3
4	5	3	0	2
5	11	2	0	9
6	16	9	1	6
7	10	6	1	3
8	5	3	1	1
9	2	1	0	1
10	7	1	0	6
11	6	0	0	6