Pascal piramidi

In matematik , Pascal piramit veya Pascal tetrahedron üç boyutlu bir genellemedir Pascal üçgeni . Aynı şekilde Pascal üçgeni verir binom katsayıları , Pascal piramit terimli katsayıları verir.

Trinom katsayıları

Sunum ve kullanışlılık

Trinomial katsayılar, çok terimli katsayıların özel bir halidir , üç doğal sayı (pozitif veya sıfır) şeklinde yazılırlar ve . Formül ile tanımlanırlar . Tüm çok terimli katsayılar gibi, ilgi alanları birden çoktur, bunları aşağıdaki durumlarda bulabiliriz: ${\ displaystyle {n \ i, j, k'yi seçin}}$ $(i, j, k)$ ${\ displaystyle n = i + j + k}$ ${\ displaystyle {n \ i seçin, j, k} = {\ frac {n!} {i! j! k!}}}$

Newton'un üç terimliğinin gelişimi ile cebirde.
Numaralandırmada, A türünün i nesnelerinden, j türünün nesnelerinden ve C türünün k nesnelerinden oluşan n nesneden oluşan bir popülasyonun olası düzenlemelerinin sayısı, aynı türe ait nesnelerin ayırt edilemez olması ve bunların göreceli konumlarıdır. bu nedenle önemli değil. ${\ displaystyle {n \ i, j, k'yi seçin}}$
İstatistiklerde, önceki özellik nedeniyle.

Üç terimli katsayılar ve Pascal piramidi arasındaki bağlantı

Pascal piramidi, üç terimli katsayıların Pascal ilişki türünün bir tekrarlama yasasına uyması gerçeğinden inşa edilmiştir: ile tüm doğal tamsayı üçlüleri için doğrudur . ${\ displaystyle {n \ i seçin, j, k} = {n-1 \ i-1 seçin, j, k} + {n-1 \ i seçin, j-1, k} + {n-1 \ seçin i, j, k-1}}$ $(i, j, k)$ ${\ displaystyle n = i + j + k}$

Bu kural i, j veya k'nin 0'a eşit olduğu durumlarda, aşağıdaki kuralın uygulanması koşuluyla geçerlidir: if . ${\ displaystyle {n '\ i'yi seç', j ', k'} = 0}$ ${\ displaystyle i '\ leq -1 {\ text {veya}} j' \ leq -1 {\ text {veya}} k '\ leq -1 {\ text {ve}} n' = i '+ j' + k '\ geq 0}$

Gösteri

Kanıt, ifadenin çarpanlara ayrılmasını aramaktan ibarettir.

${\ displaystyle {n-1 \ i-1'i seçin, j, k} + {n-1 \ i seçin, j-1, k} + {n-1 \ i seçin, j, k-1} = {\ frac {(n-1)!} {(i-1)! j! k!}} + {\ frac {(n-1)!} {i! (j-1)! k!}} + {\ frac {(n-1)!} {i! j! (k-1)!}}}$

(N-1) terimini koyarak başlayabiliriz! bir faktör olarak, üç terimi aynı paydaya indirgemeye çalışarak , bu nedenle ortak bir paydanın olduğunu fark edeceğiz. ${\ displaystyle {\ frac {1} {(i-1)!}} = {\ frac {i} {i!}}}$ ${\ displaystyle i! j! k!}$

Bu nedenle elimizde: ${\ displaystyle {n-1 \ i-1'i seçin, j, k} + {n-1 \ i seçin, j-1, k} + {n-1 \ i seçin, j, k-1} = {\ frac {(n-1)!} {i! j! k!}} \ left (i + j + k \ right)}$

Şimdi ve bu nedenle: ${\ displaystyle n = i + j + k}$ ${\ displaystyle (n-1)! n = n!}$

${\ displaystyle {n-1 \ i-1'i seçin, j, k} + {n-1 \ i seçin, j-1, k} + {n-1 \ i seçin, j, k-1} = {\ frac {n!} {i! j! k!}} = {n \ i, j, k'yi seçin}}$

Pascal üçgenini okumak

Piramit, tepeden başlayarak (n = 0) ve aşağıya (n'yi artırarak) kat kat inşa edilir. Üstten birinci katlar böylelikle oluşur:

1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 1 3 6 3 6 12 6 1 3 3 1 4 12 12 4 1 4 6 4 1

Aşama n'de, doğal sayılar ilişkiye saygı göstermesi gerektiğinden , üç terimli katsayının n aşamasındaki konumunu şu gibi kuralları kullanarak buluruz (bu durumda n = 3'e uygulanır): $(i, j, k)$ ${\ displaystyle n = i + j + k}$ ${\ displaystyle {n \ i, j, k'yi seçin}}$

k=0 \ k=1 1 - j=3 \ / \ k=2 3 - 3 - j=2 \ / \ / \ k=3 3 - 6 - 3 - j=1 \ / \ / \ / \ 1 - 3 - 3 - 3 - j=0 / / / / i=0 i=1 i=2 i=3

Anlaşmasının kabul sahip Böylece, söz konusu görebilir Benzer şekilde, bu nedenle, 6'ya eşit alt kısmından başlayarak ikinci katsayılar ikinci satırda mevcut (I 1 =) (j = 1) ve bir ikinci (i + 1) alttan başlayarak üçüncü (j + 1) çizgisinin elemanı, bu nedenle 3'e eşittir, söz konusu elemanın k = 0 indeksi doğrusunda olduğunu fark edeceğiz. ${\ displaystyle {3 \ 1,1,1'i seçin}}$ ${\ displaystyle {3 \ 1, 2, 0'ı seçin}}$

Pascal'ın ilişkisi, bir elemanın değeri, bir önceki katta doğrudan ilkinin hemen yukarısında bulunan üç (bir yüzdeysek iki, bir kenar için 1) elemanın toplamı olduğu için bulunur. Örneğin, n = 3 katı için, merkezi 6, n = 2 katının hemen yukarısında bulunan üç 2'nin toplamı olur.

Özellikleri

Pascal piramidinin her yüzü, Pascal üçgeni ile tanımlanabilir. Bu ya tümevarımla açıklanabilir, ancak piramidin bir yüzünün i = 0, j = 0 ya da k = 0'ı karşılayan bir düzleme karşılık geldiğine dikkat etmek daha kolaydır ve biz de buna sahip olduğumuz için nerede olduğunu da not edebiliriz. ${\ displaystyle 0! = 1}$ ${\ displaystyle {n \ 0 seçin, j, k} = {\ frac {n!} {j! k!}} = {n \ j seçin, k}}$ ${n \ k seçin}$ ${\ displaystyle {n \ j seçin}}$

Pascal piramidi, aşağıdaki formül sayesinde newton üç terimliğinin geliştirilmesinde kullanılabilir:

${\ displaystyle (x + y + z) ^ {n} = \ toplamı _ {i, j, k \ geq 0, i + j + k = n} {{n \ i, j, k} x ^ { i} y ^ {j} z ^ {k}}}$

Bu formülden veya tümevarım yoluyla, n aşamasının elemanlarının toplamının eşit olacağı sonucunu çıkarabiliriz . ${\ displaystyle 3 ^ {n}}$

N kenarına sahip bir Pascal piramidi sayılardan oluşur, bu sayıların toplamı eşittir . ${\ frac {(n + 2)!} {6 (n-1)!}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3 ^ {n} -1} {2}}}$

D ve n kenarının bir Pascal simpleksi sayılardan oluşur , bu sayıların toplamı eşittir . ${\ frac {(n + d-1)!} {d! (n-1)!}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} -1} {d-1}}}$

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Pascal piramit " ( yazarların listesini görmek ) .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Dış bağlantılar

(tr) Düz Ülkenin Ötesinde: 21. Yüzyıl için Geometri. BÖLÜM I: Pascal'ın Tetrahedronu
( fr ) Pascal's Simplices on Pascal's Triangle, Pascal's Pyramid ve daha fazlası